2026年高一数学沪教版寒假班预修提升讲义7.1.1 正弦函数的图像

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题7.1.1 正弦函数的图像 知识点一、几何法作图 推导过程：利用单位圆中的正弦线来绘制正弦函数（）的图像，步骤如下： 1.作单位圆：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作半径为1的单位圆. 2.等分单位圆：从单位圆与轴正半轴的交点开始，将单位圆平均分成12等份，对应角度分别为. 3.作正弦线：过每个等分点作轴的垂线，垂足为轴上对应的角度点，垂线段的长度（向上为正，向下为负）即为该角度的正弦值，这些垂线段就是正弦线（如角度的正弦线是从到的线段）. 4.平移正弦线：在轴上，将区间也平均分成12等份，对应标注各角度值，把每个角度对应的正弦线平移到轴上相应的角度位置，使正弦线的起点与该角度点重合，终点即为正弦函数图像上的点. 5.连线：用光滑的曲线将所有正弦线的终点依次连接，得到在上的图像. 6.拓展到全体实数：根据诱导公式（），将上的图像沿轴正、负方向每次平移个单位长度，即可得到（）的完整图像，称为正弦曲线. 知识点二、五点法作图 推导过程：观察在上的图像，发现有5个关键点决定了图像的基本形状，这5个点分别是图像的起点、最高点、零点、最低点、终点，通过描出这5个点并光滑连线，可快速画出正弦函数的简图，步骤如下： 1.确定关键点：在内，5个关键点的坐标为、、、、. 2.描点：在平面直角坐标系中准确描出这5个点. 3.连线：用光滑的曲线将5个点依次连接，得到上的正弦函数简图. 4.拓展：同样利用周期性平移，得到全体实数范围内的正弦曲线. 知识点三、利用正弦函数的图像求定义域 1、常常归结为解三角不等式（或等式）； 2、求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图像，有时也利用数轴； 3、对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式（组）分别求解，这时可利用基本三角函数的图像、数轴或三角函数线求交集； 知识点四、利用正弦函数图象解三角不等式和零点问题 （1）作出直线，作出的图象． （2）确定的x值． （3）确定的解集． 题型1 五点法作正弦函数的图像 【方法点拨】用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤 （1）列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y b A＋b b －A＋b b （2）描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的． （4）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b的图像像． 友情提示：作图像时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度； 【例1】已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【跟踪训练】 1．用“五点法”作函数在上的图象时，应取的五个点依次为 ､ ､ ､ ､ . 2．已知函数. (1)用“五点法”作法函数在上的简图；    (2)函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 3.作出函数,的简图,并求使成立的x的取值范围. 题型2 利用图象变换法作正弦函数图像 【方法点拨】利用图像变换画与正弦函数相关的图像；关键还是理解与用好函数图像的变换规律； 【例2】函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是（ ） 【例3】作出函数，的大致图象. 【例4】画出函数的简图． 【跟踪训练】 1．函数的图象是（  ） A．   B．   C．   D．   2.函数，方程有个根，求实数的取值范围． 题型03：利用正弦函数的图像求定义域 【方法点拨】求与正弦函数有关的定义域问题： 1、常常归结为解三角不等式（或等式）； 2、求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图像，有时也利用数轴； 3、对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式（组）分别求解，这时可利用基本三角函数的图像、数轴或三角函数线求交集； 【例5】函数的定义域 【例6】函数的定义域是 . 【跟踪训练】 1.函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 2.函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 题型04：利用正弦函数的图像解三角不等式 【方法点拨】借助三角函数的图象解的方法： （1）作出直线，作出的图象． （2）确定的x值． （3）确定的解集． 【例7】利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的集合 【跟踪训练】 1．在[0，2π]内，不等式sinx<－的解集是________． 2.已知函数对任意实数恒成立，则实数的范围为 . 题型05：利用正弦函数的图像解决零点、方程解的个数问题 【例8】函数的零点为 ； 【例9】已知函数，则在上的零点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【跟踪训练】 1.函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 一、选择题 1.(24-25上海高一阶段练习）用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 2.(2024徐汇中学高一期中）函数y＝|sin x|的图像(　　) A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．关于坐标轴对称 3.（2025复旦附中期中）若函数的定义域为（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 4.（2025七宝中学高一阶段练习）函数，的图像与直线的交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.（2025建平中学高一阶段练习）已知函数f(x)=-sinx，则f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6.（24-25高一上·上海·期末）函数y＝的定义域是________． 7.（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是________. 8.（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 9.（24-25高一上·上海·期末）在内，不等式的解集是________ 10.．（24-25高一上·上海·期末）根据函数图像，可得方程的解为 . 10．（24-25高一上·上海·期末）函数与图像交点的个数为________ 11．（24-25高一上·上海·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 12．（23-24高一上·上海·期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是 . 3、 解答题 13.作出函数，的大致图像． 14.作出函数的大致图像. 15.用“五点法”作下列函数的简图. （1）； （2）. （3）(). 16.利用正弦曲线，求满足的x的集合． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题7.1.1 正弦函数的图像 知识点一、几何法作图 推导过程：利用单位圆中的正弦线来绘制正弦函数（）的图像，步骤如下： 1.作单位圆：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作半径为1的单位圆. 2.等分单位圆：从单位圆与轴正半轴的交点开始，将单位圆平均分成12等份，对应角度分别为. 3.作正弦线：过每个等分点作轴的垂线，垂足为轴上对应的角度点，垂线段的长度（向上为正，向下为负）即为该角度的正弦值，这些垂线段就是正弦线（如角度的正弦线是从到的线段）. 4.平移正弦线：在轴上，将区间也平均分成12等份，对应标注各角度值，把每个角度对应的正弦线平移到轴上相应的角度位置，使正弦线的起点与该角度点重合，终点即为正弦函数图像上的点. 5.连线：用光滑的曲线将所有正弦线的终点依次连接，得到在上的图像. 6.拓展到全体实数：根据诱导公式（），将上的图像沿轴正、负方向每次平移个单位长度，即可得到（）的完整图像，称为正弦曲线. 知识点二、五点法作图 推导过程：观察在上的图像，发现有5个关键点决定了图像的基本形状，这5个点分别是图像的起点、最高点、零点、最低点、终点，通过描出这5个点并光滑连线，可快速画出正弦函数的简图，步骤如下： 1.确定关键点：在内，5个关键点的坐标为、、、、. 2.描点：在平面直角坐标系中准确描出这5个点. 3.连线：用光滑的曲线将5个点依次连接，得到上的正弦函数简图. 4.拓展：同样利用周期性平移，得到全体实数范围内的正弦曲线. 知识点三、利用正弦函数的图像求定义域 1、常常归结为解三角不等式（或等式）； 2、求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图像，有时也利用数轴； 3、对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式（组）分别求解，这时可利用基本三角函数的图像、数轴或三角函数线求交集； 知识点四、利用正弦函数图象解三角不等式和零点问题 （1）作出直线，作出的图象． （2）确定的x值． （3）确定的解集． 题型1 五点法作正弦函数的图像 【方法点拨】用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤 （1）列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y b A＋b b －A＋b b （2）描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的． （4）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin x＋b的图像像． 友情提示：作图像时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度； 【例1】已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【答案】(1)图象见解析；(2)答案见解析. 【详解】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图：    （2）其图象如图：    观察图象得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 【跟踪训练】 1．用“五点法”作函数在上的图象时，应取的五个点依次为 ､ ､ ､ ､ . 【答案】 【分析】根据正弦函数的“五点”，即可代换求出． 【解析】由的“五点”即可知，函数在上应取的五个点为，，，，． 故答案为：，，，，． 2．已知函数. (1)用“五点法”作法函数在上的简图；    (2)函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） 0 0 1 0 0 2 1 2 3 2    （2）由，得， 即两个函数的图象在上有两个交点， 因为，所以，    若两个函数的图象在上有两个交点， 则，解得. 所以实数的取值范围是. 3.作出函数,的简图,并求使成立的x的取值范围. 【答案】图见解析, 【分析】取分别为，求出对应的，然后描点,用平滑的曲线连接即可画出图像；令，求出，观察图像可得使的x的取值范围 【解析】解:列表如下: x 0 0 0 1 0 0 1 3 1 1 描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图). 令,即,则. ,, 或,或. 由图可知, 使成立的x的取值范围是. 题型2 利用图象变换法作正弦函数图像 【方法点拨】利用图像变换画与正弦函数相关的图像；关键还是理解与用好函数图像的变换规律； 【例2】函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是（ ） 【答案】B 【解析】y＝sin(－x)＝－sin x，故图像与y＝sin x的图像关于x轴对称，故选B. 【例3】作出函数，的大致图象. 【答案】作图见解析 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. 【例4】画出函数的简图． 【答案】图象见解析 【分析】分类讨论确定分段函数解析式，结合正弦函数图象可作出函数图象. 【详解】， 的图象如下图所示， 【跟踪训练】 1．函数的图象是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【解析】当时， 当时，， 由正弦函数的图象可知，A选项符合题意， 故选：A． 2.函数，方程有个根，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】将的解析式变形为分段函数类型，然后根据的图象有个交点确定出的取值范围. 【详解】由条件可知，， 在同一坐标系内，作出函数和函数的图象，如下图所示， 要使方程有个根，则函数和函数的图象有个交点， 由图象可知． 题型03：利用正弦函数的图像求定义域 【方法点拨】求与正弦函数有关的定义域问题： 1、常常归结为解三角不等式（或等式）； 2、求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图像，有时也利用数轴； 3、对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式（组）分别求解，这时可利用基本三角函数的图像、数轴或三角函数线求交集； 【例5】函数的定义域 【答案】 【详解】由题意有，解得， 所以， 故答案为：. 【例6】函数的定义域是 . 【答案】 【分析】满足被开方数大于等于0的自变量的范围构成的集合即为定义域. 【解析】要使函数有意义，需满足即 得 当时，解得；当时，解得. 综上，函数的定义域为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【解析】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2.函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 题型04：利用正弦函数的图像解三角不等式 【方法点拨】借助三角函数的图象解的方法： （1）作出直线，作出的图象． （2）确定的x值． （3）确定的解集． 【例7】利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的集合 【答案】，. 【解析】首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象.如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和； 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和. 观察图象可知，在[0，2π]上，当<x≤，或≤x<时，不等式<sin x≤成立. 所以<sin x≤的解集为 ，. 【跟踪训练】 1．在[0，2π]内，不等式sinx<－的解集是________． 【答案】　 【解析】画出y＝sinx，x∈[0，2π]的草图如下，因为sin＝，所以sin＝－，sin＝－，即在[0，2π]内，满足sinx＝－的是x＝或x＝.结合图象可知不等式sinx<－的解集是. 故答案为：　 2.已知函数对任意实数恒成立，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】对任意实数恒成立，则，讨论与0的大小可得答案. 【解析】因对任意实数恒成立，则. 当时，符合题意； 当时，； 当时，. 综上，. 故答案为： 题型05：利用正弦函数的图像解决零点、方程解的个数问题 【例8】函数的零点为 ； 【答案】 【详解】令，解得，， 又因为，所以， 所以的零点为， 故答案为：. 【例9】已知函数，则在上的零点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【详解】求函数在上的零点个数，即求函数的图象与函数的图象在上的交点的个数．如图所示，显然函数的图象与函数的图象在上的交点的个数为3． 【跟踪训练】 1.函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中作出函数，的图象与直线的图象，数形结合即可求解. 【解析】在同一直角坐标系中，作出，与图象， 由图象可知，函数，的图象与直线（为常数）的交点个数可能为0，1，2，结合选项可知选项A正确； 故选：A. 2.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分类讨论去绝对值号，得出函数的解析式，然后画出函数与的图象进行判断. 【解析】， 如图所示， 要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需. 故选：C. 一、选择题 1.(24-25上海高一阶段练习）用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由“五点法”作图知：令2x＝0，，π，，2π， 解得x＝0，，，，π，即为五个关键点的横坐标，故选：B. 2.(2024徐汇中学高一期中）函数y＝|sin x|的图像(　　) A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．关于坐标轴对称 【答案】C 【解析】函数y＝|sin x|的图像是由y＝sin x的图像x轴上方不动， x轴下方的部分关于x轴翻折到x轴上方而得到， 易知只有C正确. 3.（2025复旦附中期中）若函数的定义域为（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】B 【解析】要使函数有意义，则，即， 即，，得，， 即函数的定义域为（）.故选：B 4.（2025七宝中学高一阶段练习）函数，的图像与直线的交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】在同一平面直角坐标系内，先画函数，的图像，再画直线， 可知所求交点的个数为2．故选：C． 5.（2025建平中学高一阶段练习）已知函数f(x)=-sinx，则f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】令，则， 在同一坐标系中，作出，如下图所示： 由图知，f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为2个.故选：B. 二、填空题 6.（24-25高一上·上海·期末）函数y＝的定义域是________． 【答案】 【解析】由知，， 由正弦函数图象特征知，． 故定义域为. 故答案为：. 7.（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是________. 【答案】 【解析】因为，所以，解得，即函数的定义域为故答案为： 8.（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】因为所以，解得，解得，所以或，故函数的定义域为 故答案为： 9.（24-25高一上·上海·期末）在内，不等式的解集是________ 【解析】画出y＝sin x，的草图如下． 内，令，解得或， 结合图象可知不等式的解集为．故选：C． 10.．（24-25高一上·上海·期末）根据函数图像，可得方程的解为 . 【答案】 【分析】由函数在上图像可知，的解为或，即可求出的解． 【解析】 如图所示，当时，的解为或，而函数的周期为，所以方程的解为． 故答案为：． 10．（24-25高一上·上海·期末）函数与图像交点的个数为________ 【分析】作出直线与函数在上的图象，观察图形即可得解. 【解析】作出函数在上的图象，并作出直线，如图：    观察图形知：函数在上的图象与直线有两个公共点， 所以函数与图像交点的个数为2. 11．（24-25高一上·上海·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，时显然不成立，时，，根据可求得的取值范围. 【解析】当时，显然不成立. 当时，，又，所以， 当时，无解；当时，解得； 所以. 故答案为： 12．（23-24高一上·上海·期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为求三角函数值域问题，结合辅助角公式和三角函数相关知识求解即可. 【解析】若存在，使成立， 即，其中， 由于值域为，则，则. 故答案为： 3、 解答题 13.作出函数，的大致图像． 【答案】图见解析 【解析】函数， 其图如下所示： 14.作出函数的大致图像. 【答案】图象见解析 【解析】列表 x 0 0 1 0 -1 0 作图：先作出的图像，又原函数是偶函数,图像关于y轴对称， 即可作出的图像. 15.用“五点法”作下列函数的简图. （1）； （2）. （3）(). 【答案】（1）图象答案见解析；（2）图象答案见解析；（3）图象答案见解析. 【解析】（1）列表如下： x 0 0 2 0 -2 0 描点连线如图： （2）列表如下： x 0 1 0 -1 0 描点连线如图： （3）函数在长为一个周期的区间上的图象，列表如下： x 0 y 0 2 0 -2 0 再向左右两边扩展，其图象如下： 16.利用正弦曲线，求满足的x的集合． 【答案】 【解析】正弦函数一个周期内的图象如图，满足，由图可知， 所以满足的x的集合为 1 学科网（北京）股份有限公司 $