精品解析：山东省蒙阴第一中学2025-2026学年高一期末第二次模拟考试数学试题（火箭部）

2025-2026学年蒙阴一中高一火箭部赢期末第二次模拟考试 数学试题 2026.01 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形.如图，若莱洛三角形的长为，则该莱洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数且的图象恒过定点 C. 为奇函数 D. 函数的单调递增区间为， 10. 设函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在上的最小值为 11. 函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（ ） A. 方程有唯一根 B. 函数在区间单调递增 C. 函数在区间的值域为 D. 方程有两个不同的根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是终边上一点，则的值为______． 13. 已知，则的最大值为___________. 14. 设满足，满足，则的值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为第三象限角，且 （1）求，的值； （2）求的值. 16. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 17. 已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． （1）求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； （2）当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象． （i）若在区间上没有对称轴，求的取值范围； （ii）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围． 19. 若函数满足：对于任意正数都有，且，则称为“速增函数”. （1）试判断函数与是否是“速增函数”； （2）若为“速增函数”，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若满足，满足，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年蒙阴一中高一火箭部赢期末第二次模拟考试 数学试题 2026.01 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用诱导公式及特殊角的函数值确定函数值. 【详解】由. 故选：B 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合和集合，根据交集的定义求出. 【详解】由题意知，，，所以. 故选：C. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理求解即可. 【详解】因为，，且为增函数， 所以的零点所在的区间为. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用指数函数及对数函数的单调性结合边界值1比较大小即可. 【详解】因为单调递增，单调递增， 所以， 则. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 6. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再代入特殊值，排除选项. 【详解】设，则，所以为奇函数，排除. 令，则，排除. 故选：. 7. 若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 8. 莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形.如图，若莱洛三角形的长为，则该莱洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形面积公式及三角形面积公式求出弓形面积进而求出莱洛三角形的面积即可. 【详解】因为莱洛三角形的长为， 所以，所以， 则的面积 线段AB与围成的弓形面积 所以“莱洛三角形”的面积 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数且的图象恒过定点 C. 为奇函数 D. 函数的单调递增区间为， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定是把任意改为存在并否定原结论判断A，由对数的性质确定函数图象所过的定点判断B，由奇偶性的定义判断C，利用复合函数的单调性及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A：由全称量词命题的否定是特称量词命题，则原命题的否定为，，所以A正确； 对于B：由，则函数图象过定点，所以B错误； 对于C：由，函数定义域为， 且，即函数为奇函数，所以C正确； 对于D：令，由， 令在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递增， 综上，在、上单调递减，在、上单调递增， 所以的单调递增区间为，，所以D正确. 故选：ACD 10. 设函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在上的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入即可验证AB，利用整体法，求解范围，结合正弦函数的性质即可求解CD. 【详解】对于A，，故是函数的对称中心，A正确， 对于B，，故是的一条对称轴，B正确， 对于C,当时，，由于在单调递减，而是的子集，因此在上单调递减，C错误， 对于D，当时，，则，故在上的最小值为，D正确， 故选：ABD 11. 函数称为“对勾函数”，类比研究“对勾函数”的图象和性质的方法，研究函数的图象和性质，以下关于函数的结论正确的有（ ） A. 方程有唯一根 B. 函数在区间单调递增 C. 函数在区间的值域为 D. 方程有两个不同的根 【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析函数性质，根据函数性质及零点存在性定理可判断A；根据函数性质可判断B，根据函数单调性求解可判断C，由化简可得，计算可判断D. 【详解】函数的定义域为， 当时，单调递减，单调递减， 所以函数在区间上单调递减； 当时，设， 则， 当时，，则，， 所以函数在区间上单调递减； 当，，则，， 所以函数在区间单调递增； 综上，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间单调递增； 对于A，当时，因为，， 所以函数在区间上有唯一零点， 当时，，所以函数在区间没有零点， 综上，方程有唯一根，故A正确； 对于B，由函数性质可知函数在区间单调递增，故B正确； 对于C，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，， 所以函数在区间的值域为，故C错误； 对于D，方程，即，有， 即，， 化简得，即方程有两个不同的根，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是终边上一点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用任意角的三角函数定义计算即可. 【详解】因为点是终边上一点，则. 故答案为：. 13. 已知，则的最大值为___________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由，利用基本不等式求解. 【详解】解， 令， 则原式变为，当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 14. 设满足，满足，则的值是______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据条件，整理变形，可得和均为的根，设，根据函数的单调性，即可得答案. 【详解】由题意，， ，则，可得，则， 令，则， 所以和t为的根， 设， 因为与在均为单调递增函数， 所以在上单调递增， 所以只有一个根，则，即， 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为第三象限角，且 （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据角度所在象限和同角三角函数关系计算得到答案. （2）利用诱导公式化简，再根据齐次式计算得到答案. 【小问1详解】 是第三象限角，且， ， ； 【小问2详解】 16. 已知函数的部分图像，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解； （2）由三角函数图像的平移和伸缩变换求出函数的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可. 【小问1详解】 由题图得， 因为，∴. 由，得， 所以，解得. 又因为，∴当时，. 又由，得. 故. 【小问2详解】 将 的图像向右平移个单位， 得到的图像， 再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图像. 由，，得， 当时，；当时，， 因为，所以函数在区间上的单调递增区间为， 17. 已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． （1）求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； （2）当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1），400万元． （2）生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 【解析】 【分析】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润销售额-成本，易得利润的解析式，代值计算即得生产20台设备时的利润； （2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润. 【小问1详解】 当时，； 当时，； 综上， 当台时，万元， 所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元． 【小问2详解】 当时，， 故当台时，取得最大值，最大值为500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当台时，取得最大值，最大值为820万元； 因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象． （i）若在区间上没有对称轴，求的取值范围； （ii）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）或． 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式以及辅助角公式把合并，然后利用最小正周期计算公式可得答案； （2）利用平移伸缩法则可得到的解析式，（i）法一：利用，得到的范围，然后使它在相邻两条对称轴之间即可，法二：求出的对称轴，使区间在相邻两条对称轴之间即可，（ii）利用三角恒等变换化简，令，然后把问题转化为关于的不等式有解问题，法一：利用二次函数实根分布可得答案；法二：从反面入手，把能成立问题转化为恒成立问题，然后利用实根分布可得答案；法三：利用分离参数，把问题转化为求函数最值问题. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期为； 【小问2详解】 （i）将函数的图象向左平移个单位长度，得到 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数 （i）（法一） ，而， . . 解得. 又， 当时，； 当时， 综上可知，的取值范围是. （法二） 令， 则的对称轴方程为，. 又在区间上没有对称轴， ， 解得， （后同法一）； （ii）由， 可得， 即，． 即， 即，其中， 因为，则， 令， 则关于的不等式在上有解， （法一） 设， 则或， 解得或； （法二） 依题意先研究：当在上恒成立时的取值范围，再求其补集即可． 设， 则即. 解得 满足题意的的取值范围是或．. （法三） 由可得， 当，即时，不等式不成立，舍去；. 当，即时，有解， 设，令， 则在上单调递增，所以当时， 即可，解得； 当，即时，有解， 此时， 而在上单调递增，所以当时， 即可，解得； 综上可知，或． 19. 若函数满足：对于任意正数都有，且，则称为“速增函数”. （1）试判断函数与是否是“速增函数”； （2）若为“速增函数”，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若满足，满足，求的值. 【答案】（1）不是“速增函数”，不是“速增函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“速增函数”的定义，通过举反例即可判断； （2）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解； （3）构造函数，由已知代入运算可得，又在上单调递增，则得，进而可得的值. 【小问1详解】 对于函数，当时，不符合， 故不是“速增函数” 对于函数，当时，， 故不是“速增函数”. 【小问2详解】 为“速增函数”，有，即在恒成立， ，， ，时有， ，， ，即， 对一切正数m，n恒成立，，， 的取值范围是 【小问3详解】 由（2）知，又由题意得，即， 由得， 令，，则， ， ， 在上单调递增，， ， 【点睛】关键点点睛：（3）小问构造函数，由已知代入运算可得，再利用单调性，求得的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $