第二章 不等式与不等式组（章节复习）课件-2025-2026学年北师大版数学八年级下册同步培优讲义

第二章 不等式与不等式组 北师大版数学八年级下册章节复习培优精讲练 目录 CONTENT 01 02 导图指引 03 04 05 知识点梳理 重点难点考点讲练 真题实战演练 难度分层训练 导图指引 Part 01 导图指引 知识点梳理 Part 02 不等式定义 知识点梳理01：不等式 用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如 ， 等；另一种是用数轴表示，如图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 知识点梳理01：不等式 不等式的性质： 性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或 )． 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或 )． 定义 不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 解法 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 知识点梳理02：一元一次不等式 应用 列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理02：一元一次不等式 定义 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理03：一元一次不等式组 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于 、 的一元一次方程 =0 （ ≠0）的解 为何值时，函数 的值为0？ 确定直线 与 轴（即直线 ＝0）交点的横坐标. 求关于 、 的二元一次方程组 的解． 为何值时，函数 与函数 的值相等？ 确定直线 与直线 的交点的坐标. 求关于 的一元一次不等式 ＞0（ ≠0）的解集 为何值时，函数 的值大于0？ 确定直线 在 轴（即直线 ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 重点难点考点讲练 Part 03 典例精讲 题型1：求一元一次不等式的解集 （2025·陕西·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 解：， 解得：， 在数轴上表示为： 故选：D． 变式训练 题型1：求一元一次不等式的解集 （2025·北京海淀·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 典例精讲 题型2：在数轴上表示不等式的解集 （23-24八年级下·广东清远·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的（   ） A． B． C． D． 解：把不等式组的解集表示在数轴上， 如图： 故选：B． 变式训练 题型2：在数轴上表示不等式的解集 （24-25八年级下·青海玉树·期末）若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则 ． 解：，解集在数轴上为， ， 解得： 故答案为： 典例精讲 题型3：求一元一次不等式的整数解 （2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 典例精讲 题型3：求一元一次不等式的整数解 （1）解：， ， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 满足条件的负整数为， 故答案为：． 典例精讲 题型4：求一元一次不等式解的最值 （23-24八年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 典例精讲 题型5：用一元一次不等式解决实际问题 （24-25八年级下·全国·单元测试）在一次数学竞赛中，共有20道选择题，答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分．小红有2道题未答，设小红答对x道题． (1)用含x的式子表示小红的得分y； (2)若小红的得分不低于70分，求x的取值范围； (3)小红的得分能达到95分吗？为什么？ 典例精讲 题型5：用一元一次不等式解决实际问题 （1）解：总题数20，2道未答，答对道，答错道． ， ， ； （2）解：由，即， ， ， ， 因为为整数且， 所以； （3）解：假设能达到，， ， ， ， 因为不是整数， 所以不能达到． 典例精讲 题型6：用一元一次不等式解决几何问题 （24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 典例精讲 题型6：用一元一次不等式解决几何问题 解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 典例精讲 题型7：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 （24-25八年级下·江苏南通·期末）函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 解：当时，，则 直线与轴的交点坐标为， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 典例精讲 题型8：根据两条直线的交点求不等式的解集 （23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，一次函数和的图象交于点，观察图象可知，当时，的取值范围是 ． 典例精讲 题型8：根据两条直线的交点求不等式的解集 解：把代入，得， 解得， ∴， 由图象可知，当时， 即一次函数的图象在一次函数的图象的下方时，， ∴当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 典例精讲 题型9：求不等式组的解集 （2024·湖北·三模）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上，如图： 故选：B． 典例精讲 题型10：求一元一次不等式组的整数解 （24-25八年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 典例精讲 题型11：由一元一次不等式组的解集求参数 （24-25八年级下·河北沧州·期末）若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有 个． 解： 解不等式①得，， ∵不等式组无解， ∴， 满足条件的正整数n有：1,2，共2个， 故答案为：2． 典例精讲 题型12：由不等式组解集的情况求参数 （23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 解： 由①，得 ， 由②，得 ， 由该不等式组有解，得 ， ∵关于的不等式组有且只有两个整数解， ∴， 解得． 故答案为：． 典例精讲 题型13：不等式组和方程组结合的问题 （24-25八年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组的解是一对正数，求a的取值范围． 解：由，得：， ∵方程组的解是一对正数， ∴， 解得：． 典例精讲 题型14：不等式组的经济问题 （23-24八年级下·浙江金华·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (3)该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送（每种至少一辆），已知它们的总辆数为辆，你能分别求出运费最省时三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 题型14：不等式组的经济问题 （1）解：（辆）， 故答案为：； （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； 题型14：不等式组的经济问题 （3）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆，则需丙型车辆， 根据题意得，， 化简得， 满足题意整数解为或， 当甲型辆，乙型辆，丙型辆时，总费用为： （元）， 当甲型辆，乙型辆，丙型辆时，总费用为： （元）， ， 答：当甲型辆，乙型辆，丙型辆时，总费用最省为元． 题型15：一元一次不等式组的其他应用 （24-25八年级下·甘肃张掖·月考）某班班委会购买了一批书奖励班级进步学生，如果分给每位同学4本书，那么还剩下28本书；如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本．求该班进步学生有多少个，共购买了多少本书？ 典例精讲 题型15：一元一次不等式组的其他应用 典例精讲 解：设该班进步学生有x个，共购买了本书， 由题意得：， 解得：； 由于x为正整数，则x为30或31或32； 当时，则购买了（本）； 当时，则购买了（本）； 当时，则购买了（本）； 答：该班进步学生有30个时，共购买了148本书；该班进步学生有31个时，共购买了152本书；该班进步学生有32个时，共购买了156本书． 真题实战演练 Part 04 中考真题 1．（2024·河南周口·中考真题）已知整数a使得不等式组的解集为，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为（　　） A． B． C． D． 中考真题 解：∵不等式组的解集为， ∴的解集为， ∴， ∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得：， ∴， ∴整数a的值为：，，， ∴． 故选：D． 中考真题 2．（2024·陕西西安·中考真题）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为 ． 解：∵, ∴， 不等式即为：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是2． 故答案为： 2． 中考真题 3．（2024·上海·中考真题）2024年春节，重庆铜梁龙舞火爆全网，磁器口古镇成为山城文化打卡地．游客徐小客来渝游玩，计划购买甲、乙两种纪念品作为伴手礼馈赠亲友，已知3件甲种纪念品和2件乙种纪念品共需80元，2件甲种纪念品和3件乙种纪念品共需70元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)根据徐小客的亲友圈子，他需购买甲、乙两种纪念品共50件，乙种纪念品数量不大于甲种纪念品数量的2倍，设购买两种纪念品总费用（w元），甲种纪念品t（件），请问如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 中考真题 （1）解：设甲种纪念品的单价为a元，乙种纪念品的单价为b元， 依题意，得：， 解得：． 答：甲种纪念品的单价为20元，乙种纪念品的单价为10元； （2）解：依题意，得 ， 由题意得 ， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∵是整数， ∴当时， （元），（件）， ∴当购买甲种纪念品17件，乙种纪念品33件时，所需费用最少，最少费用为670元． 难度分层训练 Part 05 基础夯实 分层训练 1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 解：A、可能大于0也可能小于0，当时，与大小关系不能确定，故错误，不符合题意； B、若，当时，，故错误，不符合题意； C、若，所以，则，故错误，不符合题意； D、若，可确定且，则，故正确，符合题意； 故选：D． 基础夯实 分层训练 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，某书架长，在该书架上按图示方式摆放语文书和数学书，已知每本语文书厚，每本数学书厚．若书架上已摆放20本语文书，则最多还可以摆放 本数学书． 解：设数学书还可以摆x本， 由题意得， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为16， ∴数学书最多还可以摆16本， 故答案为：16． 基础夯实 分层训练 3．（24-25八年级下·福建宁德·月考）解不等式（组），并把（2）的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 基础夯实 分层训练 （1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：． 故不等式组的解集为：， 在数轴上表示出来为： 培优拔高 分层训练 1．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知关于的方程的解是非正数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 培优拔高 分层训练 解：解关于的方程，得： ， ， 关于的方程的解是非正数， ， ， 解关于的不等式组得： 关于的不等式组至多有3个整数解， ， ， ， 为整数， 符合条件的整数a有： 符合条件的整数a的和． 故选：A． 培优拔高 分层训练 2．（23-24八年级下·重庆渝北·月考）若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 培优拔高 分层训练 解： 解不等式①得，； 解不等式②得， ； ∴不等式组的解集为， 有且仅有2个奇数解，即奇数解为和，需满足， 解得，整数为， ， ， ， ， ， ， 解为整数且，故为整数，需为偶数， 结合取值范围，偶数值为， 经检验：当时，为整数且；当时，分母为零，舍去；当时，为整数且， 满足条件的整数为和，积为， 故答案为：． 培优拔高 分层训练 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 培优拔高 分层训练 （1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 谢谢大家 $