第十九章 二次根式 寒假预习题2025--2026学年人教版八年级数学下册

第十九章：《二次根式》寒假预习题 2025--2026学年人教版八年级数学下册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（6小题，每题3分，共18分） 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 4．计算的值为（   ） A． B． C． D． 5．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 7．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 8．化简： ． 9．将化成最简二次根式为 ． 10．已知，则代数式的值为 ． 11．化简： ． 12．化简＝ ． 三、解答题（5小题，每题6分，共30分） 13．当时，求二次根式的值． 14．若，化简． 15．计算： (1) (2) 16．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 17．计算： (1)； (2)． 四、解答题（3小题，每题8分，共24分） 18．已知a，b满足． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 19．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 20．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 五：解答题（2小题，每题9分，共18分） 21． 为我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数，简称取整，记为．这里，其中是一个整数，，a称为实数x的“小数部分”，记作，所以有．例如，，，，． 关于取整运算有部分性质如下： ①； ②若n为整数，则． 请根据以上材料，解决问题： (1)________；若，则________（用含的式子表示）； (2)记，求； (3)若，求x的值． 22．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 六、解答题（12分） 23．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十九章：《二次根式》寒假预习题 2025--2026学年人教版八年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A B B A D 1．D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 2．A 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、是二次根式，A符合题意； B、，不是二次根式，B不符合题意； C、不是二次根式，C不符合题意； D、不是二次根式，D不符合题意． 故选：A． 3．B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 4．B 【分析】本题考查了二次根式乘法，利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简． 【详解】解： ， 故选：B． 5．A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有根号内的数相同时才能直接合并系数．对此一一计算即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式加减时，需被开方数相同才能合并， 选项A：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项D：，正确． 故选D． 7． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 8．/ 【分析】本题考查了二次根式的除法，算术平方根． 根据二次根式的除法运算法则计算，再求算术平方根，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．4 【分析】本题考查完全平方公式及二次根式，先将配方为，再代入x的值即可计算，也可直接代入x的值，然后直接计算即可． 【详解】解：， 当时，， 故答案为：4． 11． 【分析】本题考查了分式的化简，利用平方差公式分母有理化即可，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12． 【分析】根据平方的性质，二次根式的性质化简即可； 【详解】解： ＝ ＝5， 故答案为：5； 【点睛】本题考查了平方的非负性，二次根式因数的外移；掌握是解题关键． 13．1 【分析】根据二次分式的性质即可求解． 【详解】解：当时， ． 【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解． 14． 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．(1)3； (2)2. 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法及应用平方差公式进行二次根式计算，掌握二次根式的乘除法法则及平方差公式是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法法则计算即可． （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 16． 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 17．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及平方根的求解，根据题意得是解题关键． （1）由题意得，即可得，从而可求； （2）求解即3的平方根即可； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴的平方根为． 19．1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 20．(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 21．(1)3；； (2) (3)或． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义直接求解即可； （2）先进行分母有理化，找出无理数的取值范围，再根据定义求解即可； （3）先得出，再求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴；； （2） ， ， ， ； （3）， ， ， 解得； ； 是整数， 或， 解得或． 22．(1) (2) (3) (4)当 时，最小值为 【分析】本题为新定义问题，考查了完全平方公式的变形，分式的计算，二次根式的化简等知识，难度较大． （1）把变形为即可求解； （2）把变形为即可求解； （3）把变形为即可求解； （4）把变形为，进而变形为，根据“均值不等式”结论得到，进而得到，从而得到当且仅当即时，等号成立，原式的最小值为3． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：； （3）解：； 故答案为： （4）解：条件可得， ∴ ∵， ∴ ， ∴当且仅当即时，等号成立， ∴原式的最小值为3． 23．(1)6，4 (2) (3)100 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：6，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $