21.1四边形及多边形寒假预习讲义（4知识点+16题型+过关检测） 2025-2026学年人教版八年级数学下册寒假预习

21.1四边形及多边形寒假预习讲义 （4知识点+16题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 四边形的不稳定性】 3 【题型2 多边形的概念与分类】 5 【题型3 正多边形】 6 【题型4 多边形截角后的边数问题】 8 【题型5 多边形的周长】 10 【题型6 网格中多边形面积】 12 【题型7 多边形对角线的条数】 14 【题型8 对角线分成的三角形个数问题】 16 【题型9 多边形内角和问题】 18 【题型10 多（少）算一个角问题】 19 【题型11 多边形截角后的内角和问题】 23 【题型12 复杂图形的内角和】 25 【题型13 正多边形的外角问题】 28 【题型14 多边形外角和的实际应用】 30 【题型15多边形内角和与外角和综合】 32 【题型16 平面镶嵌】 34 1.理解多边形的有关概念，认识多边形的边、内角、外角、顶点、对角线.模块二 预习目标导航 2.认识正多边形，知道正多边形的每条边都相等，每个内角都相等. 3.探索并掌握多边形的内角和公式与外角和，会用多边形的内角和公式与外角和进行简单的计算与说理. 【知识点1 多边形的有关概念】模块三 知识点梳理 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角. 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形可分为凸多边形和凹多边形(如下图所示).本章我们所讲的多边形都是指凸多边形. 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.如图，是常见的正多边形. 提示： (1)多边形是由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，多边形的边数大于或等于3，有几条边就是几边形. (2)用大写字母表示多边形时，字母必须按顺时针或逆时针的顺序排列. 画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形. 提示： 正多边形必须具备两个条件：①边相等；②角相等，二者缺一不可. 【知识点2 多边形的对角线】 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 例 填空： (1)从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； (2)从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； (3)从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形； (4)从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形. 答案:(1)1 2 (2)2 3 (3)3 4 (4)(n-3) (n-2) 【知识点3 多边形的内角和】 多边形内角和公式：n边形内角和等于(n-2)·180°. 正多边形的每个内角的度数为 提示 (1)探求方法：从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的所有内角的和即为n边形的内角和，所以n边形的内角和为(n-2)×180°. (2)一个多边形的内角和取决于它的边数，随着边数的增加而增加，并且每增加一条边，内角和就增加180°. (3)内角和公式的应用：①求多边形的内角和；②由多边形的内角和确定多边形的边数；③求正多边形的每个内角的度数；④由正多边形的每个内角的度数确定正多边形的边数. 规律总结： 从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形. 点拨： n边形共有 条对角线.对 的理解：从n边形的一个顶点出发有(n-3)条对角线，因为它有n个顶点，所以共有n(n-3)条对角线，其中每条对角线都重复数了一次，因此共有 条对角线. 多边形内角和公式的推导方法多样，如图所示，都是把多边形的问题转化为三角形的问题进行解决. 【知识点4 多边形的外角和】 定理：多边形的外角和等于360°. 多边形外角和定理的证明；多边形的每个内角和与它相邻的外角都互为邻补角，所以n边形的内角和加外角和为n×180°，所以多边形的外角和等于 外角和定理的应用：(1)已知外角的度数求正多边形的边数；(2)已知正多边形的边数求外角的度数. 模块四 题型汇总 【题型1 四边形的不稳定性】 【典例1】．如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是 ． 【答案】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的性质，掌握四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性是解题的关键． 观察伸缩校门的结构，它由多个四边形组成，能够伸缩变形，结合四边形的特性，判断其利用的性质． 【详解】解：伸缩校门可以通过改变形状实现伸缩，这是因为四边形具有不稳定性，容易发生变形，因此它利用的四边形的性质是：四边形的不稳定性． 故答案为：四边形的不稳定性． 变式1-1．下列图形具有稳定性的是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，掌握并理解三角形的特性是解题的关键．另外补充知识：四边形如正方形、长方形、平行四边形不具有稳定性．根据三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定，可得答案． 【详解】解：∵三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定， ∴三角形具有稳定性． ∵四边形四边长度固定时，其角度可改变，形状不固定， ∴四边形不具有稳定性． 因此，具有稳定性的是三角形． 故选：D． 变式1-2．下列图形中，最具有稳定性质的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性判断． 【详解】解：A、图形具有稳定性，符合题意； B、图形不具有稳定性，不符合题意； C、图形不具有稳定性，不符合题意； D、图形不具有稳定性，不符合题意； 故选：A． 变式1-3．下列图形不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性．三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得B、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是A选项． 故选：A． 【题型2 多边形的概念与分类】 【典例2】．下列图形不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了凸多边形的概念，根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【详解】 解：根据凸多边形的概念，可知图形不是凸多边形的是． 故选：D． 变式2-1．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 变式2-2．如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了多边形，关键是掌握多边形的定义． 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：题图中依次是扇形、八边形、半圆形、五边形和长方体，其中八边形和五边形是多边形， 所以多边形的个数为， 故选：A． 变式2-3．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的概念逐个判断即可． 【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫做多边形，所以①错误； 因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误； 因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确； 因此正确的说法只有1个， 故选：B． 【题型3 正多边形】 【典例3】．下列图形中，是正多边形的是（   ） A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．五边都相等的五边形 【答案】C 【分析】该题考查了正多边形的定义，正多边形需所有边相等且所有角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵正多边形定义：各边相等，各角相等； A．等腰三角形不一定各边都相等，各角也不一定都相等，不是正多边形，不符合题意； B．长方形角相等但边不一定相等，不是正多边形，不符合题意； C．正方形四边相等且四角均为，是正多边形，符合题意； D．五边都相等的五边形边相等但角不一定相等，不是正多边形，不符合题意； 故选：C． 变式3-1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 变式3-2．下面图形中，是正多边形的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查四边形，解题的关键是理解正多边形的定义． 正多边形需所有边相等且所有角相等，矩形角相等但边不一定相等；菱形边相等但角不一定相等；梯形边和角都不一定相等；正方形所有边相等且所有角相等，符合正多边形定义． 【详解】解： 正多边形必须所有边相等且所有角相等， A、矩形所有角相等但边不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意； B、菱形所有边相等但角不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意； C、正方形所有边相等且所有角相等，故是正多边形，符合题意； D、梯形边和角都不一定相等，故不是正多边形，不符合题意； 故选：C． 变式3-3．下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，牢记各边相等且各角相等是解题关键． 根据正多边形的定义逐一分析即可． 【详解】解：正多边形需同时满足各边相等和各角相等． ∵正三角形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故A错误； ∵平行四边形邻边不一定相等，邻角也不一定相等， ∴不一定是正多边形，故B错误； ∵正方形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故C正确； ∵各角相等的多边形边不一定相等（如矩形）， ∴不一定是正多边形，故D错误． 故选：C． 【题型4 多边形截角后的边数问题】 【典例4】．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 变式4-1．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 变式4-2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 变式4-3．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是 ． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 【题型5 多边形的周长】 【典例5】．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 变式5-1．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 变式5-2．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了周长的求解，原正方形边长为30厘米，剪去四个角的小正方形后，虽然原边长被截短，但新增了与原截短部分等长的边，故周长不变． 【详解】解：如图：    因为剪去一个小正方形后，剪掉了与的长度，但又多出了与的长度，并且， 同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变， 故选：B． 变式5-3．如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长 ．（填“大”或“小”） 【答案】小 【分析】根据题意，五边形的周长为，六边形的周长为，作差，结合三角形两边之和大于第三边，解答即可． 本题考查了图形的周长，三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得：五边形的周长为，六边形的周长为， 故 ， 由，得， 得， 该六边形的周长一定比原五边形的周长小． 故答案为：小． 【题型6 网格中多边形面积】 【典例6】．如图，每个小正方形的边长为1，图中阴影部分是一个大正方形，求这个大正方形的面积和边长． 【答案】面积为13，边长为 【分析】本题主要考查了割补法求图形的面积、算术平方根的应用等知识点，求得阴影正方形的面积是解题的关键． 运用割补法求得阴影正方形的面积，然后运用算术平方根求正方形的边长即可． 【详解】解：根据题意可得，， 正方形的边长为． 变式6-1．如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 【答案】作图见解析； 【分析】本题考查作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 根据轴对称的性质作图即可；再利用割补法计算即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 四边形的面积为． 变式6-2．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 变式6-3．如下图，已知四边形ABCD的顶点． (1)在方格图中建立平面直角坐标系，并写出B，C两点的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了平移变换作图，不规则图形的面积求解，熟练掌握网格结构找出对应点的位置是解题的关键. （1）以点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出点的坐标即可； （2）根据图形，把四边形分成两个直角三角形与一个梯形，列式进行计算即可求解. 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．． （2）解： ． 故四边形的面积为． 【题型7 多边形对角线的条数】 【典例7】．十二边形一共有 条对角线． 【答案】 54 【分析】本题考查求多边形的对角线条数，利用多边形的对角线公式进行求解即可． 【详解】解：n边形的对角线条数公式为， ∴当时，计算得． 故答案为：54 变式7-1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是 边形，该多边形有 条对角线． 【答案】 七 14 【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点得出，求出n的值，再代入，计算即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得， 解得， 所以． 即这个多边形是七边形，该多边形有14条对角线． 故答案为：七；14． 变式7-2．银川市金凤区某中学要举办数学文化节，需要制作一种多边形的宣传标牌．已知从这个多边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则它的边数为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了多边形对角线的计算，根据多边形中，从一个顶点出发可以引出（是多边形的边数）条对角线的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，设多边形的边数为， ， 解得，， ∴这个多边形的边数为15， 故答案为：15． 变式7-3．学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 【答案】7/七 【分析】本题考查了多边形对角线的性质，根据多边形对角线的性质，从边形的一个顶点出发可以作条对角线，即可得出结果，熟练掌握多边形对角线的性质是解此题的关键． 【详解】解：对于一个边形，从一个顶点出发，不能与自己连对角线，也不能与相邻的两个顶点连对角线，因此只能与剩下的个顶点连对角线，故可以作条对角线， 对于十边形，，故可以作条对角线， 故答案为：7． 【题型8 对角线分成的三角形个数问题】 【典例8】．从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的性质，熟练掌握多边形的性质是解题关键．从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形，据此解答即可得． 【详解】解：∵十边形的边数为10， ∴分成三角形的个数是（个）． 故选：C． 变式8-1．在研究多边形的几何特征时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从六边形的一个顶点出发画对角线，这些对角线可以将六边形分割为 个三角形． 【答案】4 【分析】本题考查多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出条对角线，把n边形分成个三角形，由此解答即可． 【详解】解：从六边形的一个顶点出发可引出3条对角线，把六边形分成4个三角形； 故答案为：4． 变式8-2．已知从n边形的一个顶点引出的所有对角线，恰好将该多边形分成10个三角形，则这个n边形的边数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了多边形的性质，n边形从一个顶点出发可以引出条对角线，把多边形分成个三角形，据此作答即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则， 解得， 即这个多边形的边数是12， 故答案为：12． 变式8-3．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 【题型9 多边形内角和问题】 【典例9】．一个正六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形内角和，解题关键是掌握多边形的内角和公式，其中为边数．利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：一个正六边形的内角和为， 故选：A． 变式9-1．一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握好多边形内角和的计算方法是解题关键 利用九边形内角和公式求出剩余六个内角的和，再根据凸多边形每个内角小于的性质，分析哪个选项作为内角会导致剩余五个内角的和不小于． 【详解】解：九边形内角和为， ∵有三个内角之和为， ∴剩下六个角之和为， 设其中一个角为，则剩下五个角之和为， ∵凸多边形每个内角都小于， ∴， 解得，，只有选项A不满足． 故选：A． 变式9-2．若一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角（   ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的内角和，牢记四边形内角和为是关键． 利用四边形内角和为的性质，结合已知一组对角互补，推导另一组对角的关系． 【详解】解：∵ 四边形内角和为，且一组对角互补，即和为， ∴ 另一组对角之和为，即互补. ∴ 另一组对角互补. 故选：B． 变式9-3．已知一个多边形的内角和是，则边数为 ． 【答案】 18 【分析】本题考查多边形的内角和问题，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则内角和为． 根据题意，得， 解得． 故答案为：18． 【题型10 多（少）算一个角问题】 【典例10】．小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 【答案】， 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．根据多边形内角和定理：（且为整数），可得：多边形的内角和一定是的倍数，而多边形的内角一定大于，并且小于，用除以，根据商和余数的情况，求出加的这个内角的度数，进而可求出这个多边形的边数． 【详解】解：， 少加的这个内角的度数是：． ∴这个多边形的边数是：． 答：这个内角的度数为，多边形的边数为14． 变式10-1．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了多边形内角和、解一元一次方程等知识点，牢记“多边形的内角和一定是的整数倍”是解题的关键． 设少输入的内角为，则；由结合可得：，再将代入，解关于n的方程即可． 【详解】解：设少输入的内角为， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴， ∴， 解得：． 故答案为14． 变式10-2．看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形 【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和是的倍数这一性质，以及通过不等式求正整数边数的方法是解题的关键． （1）根据多边形内角和公式，判断是否满足这一特征． （2）根据内角和小于列不等式，求解正整数得到多边形的边数． 【详解】（1）解：边形的内角和是， ∴内角和一定是的倍数． ， ∴内角和不可能是． （2）解：依题意，得， 解得， ∴这个多边形的边数是，即小芳求的是十三边形的内角和． 变式10-3．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 【题型11 多边形截角后的内角和问题】 【典例11】．一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和．先根据新多边形内角和求出其边数，再分情况讨论原多边形截去一个角后边数的变化，从而确定原多边形可能的边数． 【详解】解：第一种情况： 当按照顶点的连线剪，此时得到的多边形的边数比原来的边数少， ， 解得：； 第二种情况： 当只过一个顶点剪，此时得到的多边形的边数和原来的边数相等， 解得：， 第三种情况： 当不经过顶点剪时，此时得到的多边形的边数比原来的边数多， 解得：， ∴原来多边形的边数为或者或者． 故选：D． 变式11-1．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 【答案】D 【分析】根据多边形截角的不同情况（截线不过顶点、过一个顶点、过两个顶点），分析原多边形边数的可能情况．本题主要考查了多边形截角后边数的变化情况，熟练掌握多边形截角的三种不同情况是解题的关键． 【详解】解：一个多边形截去一个角，有三种情况： 截线不过任何顶点，此时边数增加，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过一个顶点，此时边数不变，若截后是十四边形，则原多边形边数为； 截线过两个顶点，此时边数减少，若截后是十四边形，则原多边形边数为． ∴ 原来的多边形的边数可能为或或． 故选：D． 变式11-2．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 变式11-3. 如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了多边形的内角，分类讨论的思想，如图，一条直线将该五边形分割成两个多边形（含三角形）的情况有5种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断． 【详解】解：图①中，； 图②中，； 图③中，； 图④中，； 图⑤中，． 由上述分析可知，的最大值为． 故答案为：． 【题型12 复杂图形的内角和】 【典例12】．如图，的度数为 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 变式12-1．如图，正八边形内接于，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查正多边形内角和公式，正多边形的内角性质，熟练掌握正多边形内角和公式是解题关键． 先确定正八边形的边数为，然后代入正多边形内角和公式算出内角和，再结合正八边形内角相等的性质，求出作为其内角的的度数． 【详解】解：对于边数为（且为整数）的正多边形，其内角和为， 正八边形的边数为， 则其内角和为， 正八边形的所有内角大小相等且为其内角， ． 故答案为：． 变式12-2．直线l与正六边形的边、分别相交于点，如图所示，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，对顶角． 根据多边形的内角和公式可得：正六边形的内角和为，再根据正六边形定义可得，由此可得．在四边形中，可知，即可得出的度数，根据对顶角性质可得：，，进而得出答案． 【详解】解：∵是正六边形， ∴正六边形的各内角相等， ∴． ∵正六边形的内角和为：， ∴． 在四边形中，， ∴ ． ∵，， ∴． 故答案为：． 变式12-3．如图，在正五边形中，连接，相交于点，则的度数为 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查正多边形有关的角，多边形内角求法，等腰三角形的性质，三角形内角和，利用数形结合求解是解答此题的关键． 首先根据正五边形的性质得到，然后利用三角形内角和定理得，最后利用三角形的内角和得到，即可得出答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型13 正多边形的外角问题】 【典例13】．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据任意多边形外角和为，结合四个外角的比例关系，设未知数求出各外角的度数，进而确定最大外角的度数． 【详解】解：设四个外角的度数分别为、、、． ∵任意四边形的外角和为， ∴． 解得， 即：． 最大的外角为． 逐一分析选项： A、，与计算结果一致，符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的外角和性质，解题关键是利用多边形外角和为，结合比例关系列方程求解各外角的度数． 变式13-1．已知一个正多边形的外角是，则这个多边形的边数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于度是解题的关键．根据多边形外角和定理，正多边形的每个外角相等，用外角和除以每个外角的度数即可得到边数． 【详解】解：多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等，且已知一个外角为， 边数． 故答案为：． 变式13-2．一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是 ． 【答案】5/五 【分析】本题考查正多边形的内角，掌握好正多边形内角和外角的计算公式是解题关键． 由内角为，推出其外角为，由多边形外角和为，计算出边数． 【详解】解：∵正多边形的每个内角等于， ∴该正多边形的一个外角为， ∵多边形外角和为， ∴该正多边形的边数为． 故答案为：5． 变式13-3．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角性质，先求出的度数，即可得出的值，熟练掌握正多边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则，， ∴， ∵是某正多边形的一个外角， ∴， 故选：D． 【题型14 多边形外角和的实际应用】 【典例14】．如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，掌握正多边形外角和为是解题的关键． 先根据总路程与每段路程的长度求出正多边形的边数，再利用正多边形外角和为的性质求出每次右转的角度． 【详解】解：小红的路径构成一个正多边形，正多边形的边数 ，这是一个正六边形． 角度是正六边形的外角，正六边形的每个外角大小为 ． 故选：D． 变式14-1．如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了 【答案】 【分析】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解决问题的前提．根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出多边形的周长即可． 【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个每条边都相等的多边形， 由于多边形的外角和是，且每一个外角为， ， 所以它是一个十八边形，且每条边都相等， 因此所走的路程为， 故答案为：． 变式14-2．如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，， 故答案为：． 变式14-3．如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用多边形的外角和等于，可知机器人回到点时，恰好沿着边形的边走了一圈，即可求得路程． 【详解】解：米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让除以一个外角即可． 【题型15多边形内角和与外角和综合】 【典例15】．若一个正多边形的内角和等于，则这个正多边形的每一个外角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意多边形的外角和是定值，且为．应用方程思想求边数是解题的关键． 利用多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求每个外角即可. 【详解】解：设正多边形的边数为. 由题意得： = , 解得： . 又∵ 多边形的外角和为, ∴ 该正多边形的每个外角为： . 故选：C． 变式15-1．如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：A． 变式15-2．某正多边形的一个内角的度数是它一个外角的度数的三倍，则这个正多边形的内角和为 度． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和，掌握正多边形的每一个外角都相等是解题的关键．设这个正多边形的一个外角的度数为度，则一个内角的度数为度，根据内角与外角互补的关系列方程求解，再计算边数，最后利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的一个外角的度数为度，则一个内角的度数为度． 由内角与外角互补，得，解得， 一个外角度数为度， 正多边形的边数． 这个正多边形的内角和为． 故答案为：． 变式15-3．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 【题型16 平面镶嵌】 【典例16】．要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，二元一次方程的正整数解，正确计算是解题的关键，先求出正三角形、正六边形的每个内角的度数，再根据题意列出，再求正整数解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， 根据题意得，即（、n为正整数）， 解得，， 的值是2或4， 故答案为：2或． 变式16-1．如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理即可得出，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形内角和为：， 根据图中密铺可得， ， 故答案为：． 变式16-2．某城市进行旧城区人行道的路面翻新，准备对地面密铺彩色地砖，有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是 ． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合内角度数能整除的条件． 分别求出各个正多边形每个内角的度数，结合密铺的条件即可作出判断． 【详解】解：①正三角形的每个内角都是，能整除，6个能组成镶嵌； ②正方形的每个内角都是，能整除，4个能组成镶嵌； ③正五边形每个内角都是，不能整除，不能镶嵌； ④正六边形的每个内角都是，能整除，3个能组成镶嵌； ∴不能进行密铺的地砖的形状是③． 故答案为：③． 变式16-3．用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平面图形的镶嵌和密铺，根据两个图形能够密铺，得到每个公共顶点处各角的和为360度，如图，易得， ，进而得到，再根据公共顶点处各角的和为360度，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：如图， 由题意和图（2）可知：， 可得 ∴ 故答案为：． 1．若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ）模块五 过关检测 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可；本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵多边形的外角和为， ∴一个外角的度数为． 故选：B． 2．四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和外角的关系，利用内角和定理是解题关键． 四边形的外角与内角互补，外角为钝角当且仅当内角为锐角，因此，问题转化为求四边形内角中最多有多少个锐角． 【详解】解：∵四边形的内角和为，且每个锐角小于， ∴若四个内角均为锐角，则内角和，矛盾， ∴最多有三个内角为锐角． ∵每个锐角内角对应一个钝角外角， ∴最多有三个钝角外角． 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．从六边形的一个顶点出发可以画出四条对角线 B．一定是负数 C．用一个平面截一个正方体，所得的截面可以是一个五边形 D．春节档某部电影大年初一当天的票房是定性数据 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的性质，正负数的定义，用一个平面截一个正方体，数据分类，熟练掌握以上这些知识点，是解题的关键．六边形从一个顶点出发有3条对角线，从而判断A错误；不一定是负数，从而判断B错误；正方体截面可以是五边形，从而判断C正确；票房是定量数据，从而判断D错误． 【详解】解：A．从六边形的一个顶点出发可以画出3条对角线，故A错误； B．不一定是负数，故B错误； C．用一个平面截一个正方体，所得的截面可以是一个五边形，故C正确； D．春节档某部电影大年初一当天的票房是定量数据，故D错误． 故选：C． 4．小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式，并能结合已知条件进行角度计算是解题的关键． 先判断该图形为五边形，利用多边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合已知，通过内角和减去这两个角的和，得到的度数． 【详解】解：根据题意可得． ， ． 故选：C． 5．下列命题中，是假命题的是（    ） A．四边形的外角和等于 B．两直线平行，内错角相等 C．若，则 D．在实数范围内，负数没有平方根 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，多边形外角和，平行线的性质，不等式的性质，平方根的概念理解． 根据多边形外角和，平行线的性质，不等式的性质，平方根的概念一一判断即可． 【详解】解：A、多边形外角和恒为，正确； B、平行线性质，内错角相等，正确； C、若，只有时，才成立，故错误； D、实数范围内负数无平方根，正确； ∴假命题是C， 故选：C． 6．从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到7个三角形，那么这个多边形的边数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，从一个顶点出发连接不相邻顶点，形成的三角形个数等于多边形的边数减2．据此即可求解． 【详解】解：设多边形的边数为n． ∵从一个顶点出发，连接不相邻顶点，得到个三角形， ∴， ∴． 因此，多边形的边数是9． 故选：B． 7．如图，四边形中，．若中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和，掌握三角形和四边形的内角和是正确解答的关键． 先根据三角形内角和为求出，再根据四边形内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ． ∵在四边形中，， ． 故选：B． 8．新考法  将图1的等边三角形沿折线剪开得到图2的两部分，则图2中的（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，多边形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，结合等边三角形的性质，邻补角互补得，则图2是五边形，故内角和是，然后得，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵将图1的等边三角形沿折线剪开得到图2的两部分 ∴， 则图2是五边形，故内角和是， ∴， 即， 解得， 故选：D． 9．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，多边形的外角和为，每个外角都是，因此边数为外角和除以每个外角的度数的值． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为8， 故答案为：8． 10．如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据四边形内角和为360度和平角的定义，则由角平分线的定义可得从而求出的度数，运用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，分别平分和且相交于点P， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 11．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 12．如图，中，，点D是外一点，是等边三角形，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的特征，多边形内角和，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 过点B，C，分别作的垂线，垂足为，利用多边形内角和定理及等边三角形的性质证明，，设，，则，利用在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点B，C，分别作的垂线，垂足为， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得：， ， ， ， ， ， ， 设，，则，， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由三角形内角和定理得，从而所求角的和转化为求五边形的内角和问题解决． 本题主要考查多边形内角和、三角形内角和定理，将所求角度和转化为多边形内角和是解题的关键． 【详解】解：连接，如图． ， ． 即． 14．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 15．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)200°；100° (2)．理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形内角和为 ，以及角平分线的性质是解题的关键． （1）在中，由的度数利用三角形内角和求出的度数，再根据角平分线性质得到的度数，接着利用四边形内角和求出的度数，结合角平分线求出的度数，最后在中求出的度数； （2）先根据四边形内角和得到四个内角和为，结合角平分线性质得到的度数，再分别在和中用内角和定理，联立推导与的数量关系． 【详解】（1）解：在中； ∵ 平分，平分； ∴； 在四边形中； ∵ 平分，平分； ∴； 在中． ∴． （2）解：．理由如下： ，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点， ． ，， ， ． 16．如图是3×3的正方形网格，在所给网格中以格点A，B为其中两个顶点，在下列每个网格图中各画出一个顶点都在格点上，有一组对角之差为，且互不全等的四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了在正方形网格中作图，四边形的内角问题，勾股定理及其逆定理． 对于第一个图，由网格特征可得，；对于第二个图，由网格特征可得，；对于第三个图，若连接，根据勾股定理以及逆定理可得为等腰直角三角形，则． 【详解】解：如图四边形即为所求； 17．如下图，已知正五边形，，交的延长线于点．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质与平行线的性质，掌握正五边形的内角计算方法，及利用等腰三角形、平行线转化角的关系是解题的关键． 先利用正五边形的性质求出内角及等腰三角形的角，再结合平行线的性质得到相等的角，最后通过角的差计算出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， ， ． ． 18．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 19．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． (1)如图，是等边三角形，点D是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点E，使，根据，可证，易证，得出是等边三角形，所以，从而解决问题． 根据上述解题思路，三条线段、、之间的等量关系是 ；（直接写出结果） (2)如图，中，，．点D是边下方一点，，探索三条线段、、之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）延长到点E，使，连接，由题意得，从而得，证得，得，，进而证得是等边三角形，得即可得证； （2）延长到点E，使，连接，根据四边形内角和和等量代换得，证得，得，，再根据勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：结论：理由如下： 如图1，延长到点E，使，连接， 由等边三角形知，， 又∵， ， 又， ， ∴， ， ，， ∴， 是等边三角形， ∴； （2）解：结论：，理由如下： 如图2，延长到点E，使，连接， ，， ， ∵， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、四边形内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键． 20.如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出、的度数是解题的关键． 根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出的度数，同理可求出的度数，再根据即可求出结论． 【详解】解：六边形为正六边形， ，， ． 四边形为正方形， ，， ， ， ． 21．如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 22．如图，四边形中，，平分，，交于点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据多边形内角和可证得，结合，即可得到结论．②根据角平分线的定义可求得，结合，可证得，即可得到结论． （2）延长，交于点，可先证得，结合，，可求得． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴． ∵， ∴． ②∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）延长，交于点，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴平分． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角的性质、多边形内角和、平行线的判定，能根据题意构建辅助线是解题的关键． 23．【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）先利用角平分线的意义得出，根据垂直的意义得出，从而可求得，于是可得出，再证明，根据全等三角形的性质可得； （2）如图，过点作，，垂足分别为，，先根据同角的补角相等，得出，再根据证明，从而可根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为，， ∴， 又∵平分，， ∴，， 在四边形中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了手拉手模型，同(等)角的余(补)角相等的应用，全等的性质和（）综合（或者），多边形内角和问题，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1四边形及多边形寒假预习讲义 （4知识点+16题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 四边形的不稳定性】 3 【题型2 多边形的概念与分类】 5 【题型3 正多边形】 6 【题型4 多边形截角后的边数问题】 8 【题型5 多边形的周长】 10 【题型6 网格中多边形面积】 12 【题型7 多边形对角线的条数】 14 【题型8 对角线分成的三角形个数问题】 16 【题型9 多边形内角和问题】 18 【题型10 多（少）算一个角问题】 19 【题型11 多边形截角后的内角和问题】 23 【题型12 复杂图形的内角和】 25 【题型13 正多边形的外角问题】 28 【题型14 多边形外角和的实际应用】 30 【题型15多边形内角和与外角和综合】 32 【题型16 平面镶嵌】 34 1.理解多边形的有关概念，认识多边形的边、内角、外角、顶点、对角线.模块二 预习目标导航 2.认识正多边形，知道正多边形的每条边都相等，每个内角都相等. 3.探索并掌握多边形的内角和公式与外角和，会用多边形的内角和公式与外角和进行简单的计算与说理. 【知识点1 多边形的有关概念】模块三 知识点梳理 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角. 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 多边形可分为凸多边形和凹多边形(如下图所示).本章我们所讲的多边形都是指凸多边形. 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.如图，是常见的正多边形. 提示： (1)多边形是由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，多边形的边数大于或等于3，有几条边就是几边形. (2)用大写字母表示多边形时，字母必须按顺时针或逆时针的顺序排列. 画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形. 提示： 正多边形必须具备两个条件：①边相等；②角相等，二者缺一不可. 【知识点2 多边形的对角线】 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 例 填空： (1)从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形； (2)从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形； (3)从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形； (4)从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形. 答案:(1)1 2 (2)2 3 (3)3 4 (4)(n-3) (n-2) 【知识点3 多边形的内角和】 多边形内角和公式：n边形内角和等于(n-2)·180°. 正多边形的每个内角的度数为 提示 (1)探求方法：从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的所有内角的和即为n边形的内角和，所以n边形的内角和为(n-2)×180°. (2)一个多边形的内角和取决于它的边数，随着边数的增加而增加，并且每增加一条边，内角和就增加180°. (3)内角和公式的应用：①求多边形的内角和；②由多边形的内角和确定多边形的边数；③求正多边形的每个内角的度数；④由正多边形的每个内角的度数确定正多边形的边数. 规律总结： 从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形. 点拨： n边形共有 条对角线.对 的理解：从n边形的一个顶点出发有(n-3)条对角线，因为它有n个顶点，所以共有n(n-3)条对角线，其中每条对角线都重复数了一次，因此共有 条对角线. 多边形内角和公式的推导方法多样，如图所示，都是把多边形的问题转化为三角形的问题进行解决. 【知识点4 多边形的外角和】 定理：多边形的外角和等于360°. 多边形外角和定理的证明；多边形的每个内角和与它相邻的外角都互为邻补角，所以n边形的内角和加外角和为n×180°，所以多边形的外角和等于 外角和定理的应用：(1)已知外角的度数求正多边形的边数；(2)已知正多边形的边数求外角的度数. 模块四 题型汇总 【题型1 四边形的不稳定性】 【典例1】．如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是 ． 变式1-1．下列图形具有稳定性的是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 变式1-2．下列图形中，最具有稳定性质的是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．下列图形不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 多边形的概念与分类】 【典例2】．下列图形不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 变式2-1．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式2-2．如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式2-3．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型3 正多边形】 【典例3】．下列图形中，是正多边形的是（   ） A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．五边都相等的五边形 变式3-1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 变式3-2．下面图形中，是正多边形的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 变式3-3．下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【题型4 多边形截角后的边数问题】 【典例4】．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 变式4-1．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 变式4-2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 变式4-3．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是 ． 【题型5 多边形的周长】 【典例5】．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 变式5-1．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 变式5-2．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 变式5-3．如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长 ．（填“大”或“小”） 【题型6 网格中多边形面积】 【典例6】．如图，每个小正方形的边长为1，图中阴影部分是一个大正方形，求这个大正方形的面积和边长． 变式6-1．如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 变式6-2．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 变式6-3．如下图，已知四边形ABCD的顶点． (1)在方格图中建立平面直角坐标系，并写出B，C两点的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 【题型7 多边形对角线的条数】 【典例7】．十二边形一共有 条对角线． 变式7-1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是 边形，该多边形有 条对角线． 变式7-2．银川市金凤区某中学要举办数学文化节，需要制作一种多边形的宣传标牌．已知从这个多边形的一个顶点出发，最多可以引出12条对角线，则它的边数为 ． 变式7-3．学习了多边形后，我们知道过多边形（三角形除外）的一个顶点可作若干条对角线，过十边形的一个顶点可以作 条对角线． 【题型8 对角线分成的三角形个数问题】 【典例8】．从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 变式8-1．在研究多边形的几何特征时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从六边形的一个顶点出发画对角线，这些对角线可以将六边形分割为 个三角形． 变式8-2．已知从n边形的一个顶点引出的所有对角线，恰好将该多边形分成10个三角形，则这个n边形的边数为 ． 变式8-3．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【题型9 多边形内角和问题】 【典例9】．一个正六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 变式9-1．一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 变式9-2．若一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角（   ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 变式9-3．已知一个多边形的内角和是，则边数为 ． 【题型10 多（少）算一个角问题】 【典例10】．小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 变式10-1．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 变式10-2．看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 变式10-3．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【题型11 多边形截角后的内角和问题】 【典例11】．一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 变式11-1．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（    ） A．13 B．14或15 C．13或15 D．13或14或15 变式11-2．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 变式11-3. 如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为 ． 【题型12 复杂图形的内角和】 【典例12】．如图，的度数为 ． 变式12-1．如图，正八边形内接于，则的度数为 ． 变式12-2．直线l与正六边形的边、分别相交于点，如图所示，则 度． 变式12-3．如图，在正五边形中，连接，相交于点，则的度数为 ． 【题型13 正多边形的外角问题】 【典例13】．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 变式13-1．已知一个正多边形的外角是，则这个多边形的边数是 ． 变式13-2．一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是 ． 变式13-3．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【题型14 多边形外角和的实际应用】 【典例14】．如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式14-1．如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了 变式14-2．如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 变式14-3．如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【题型15多边形内角和与外角和综合】 【典例15】．若一个正多边形的内角和等于，则这个正多边形的每一个外角等于（    ） A． B． C． D． 变式15-1．如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 变式15-2．某正多边形的一个内角的度数是它一个外角的度数的三倍，则这个正多边形的内角和为 度． 变式15-3．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【题型16 平面镶嵌】 【典例16】．要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则 ． 变式16-1．如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为 ． 变式16-2．某城市进行旧城区人行道的路面翻新，准备对地面密铺彩色地砖，有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是 ． 变式16-3．用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于 ． 1．若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（   ）模块五 过关检测 A． B． C． D． 2．四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 3．下列说法正确的是（   ） A．从六边形的一个顶点出发可以画出四条对角线 B．一定是负数 C．用一个平面截一个正方体，所得的截面可以是一个五边形 D．春节档某部电影大年初一当天的票房是定性数据 4．小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．下列命题中，是假命题的是（    ） A．四边形的外角和等于 B．两直线平行，内错角相等 C．若，则 D．在实数范围内，负数没有平方根 6．从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到7个三角形，那么这个多边形的边数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 7．如图，四边形中，．若中，，，则（   ） A． B． C． D． 8．新考法  将图1的等边三角形沿折线剪开得到图2的两部分，则图2中的（     ） A． B． C． D． 9．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ． 10．如图，，是四边形的外角，，分别平分和且相交于点P．若，，则 ．    11．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 ． 12．如图，中，，点D是外一点，是等边三角形，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F，若，则的值为 ． 13．如图，求的度数． 14．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 15．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 16．如图是3×3的正方形网格，在所给网格中以格点A，B为其中两个顶点，在下列每个网格图中各画出一个顶点都在格点上，有一组对角之差为，且互不全等的四边形． 17．如下图，已知正五边形，，交的延长线于点．求的度数． 18．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 19．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． (1)如图，是等边三角形，点D是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点E，使，根据，可证，易证，得出是等边三角形，所以，从而解决问题． 根据上述解题思路，三条线段、、之间的等量关系是 ；（直接写出结果） (2)如图，中，，．点D是边下方一点，，探索三条线段、、之间的等量关系，并证明你的结论． 20.如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 21．如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 22．如图，四边形中，，平分，，交于点． (1)如图1，若， ①求证：； ②作平分，如图2，求证：． (2)如图3，作平分，在锐角内部作射线，交于，若的大小为，试说明：平分． 23．【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $