2.1.1椭圆及其标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 圆锥曲线 第1节 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义． 2、掌握椭圆的标准方程及推导过程． 3、会求简单的椭圆的标准方程． 1、了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义． 2、会求简单的椭圆的标准方程． 1、理解椭圆的定义． 2、会求简单的椭圆的标准方程． 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、什么是圆锥曲线？ 如图，用一个平面从不同的角度来截一个圆锥，截面会呈现出不同的形状：圆、椭圆、抛物线、双曲线。 我们把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线。 3 新 知 引 入 韦 达 2、椭圆形状在日常生活中会经常看到。 4 新 知 引 入 布 丰 3、本节课我们来研究椭圆，怎么研究呢？ 我们回顾一下研究圆的过程： 直观感知 轨迹定义 建立方程 性质探究 实际应用 从实践到理论 从“形”到“数” 从外在到内含 从理论到实践 我们类比研究圆的途径来研究椭圆 5 新 知 引 入 伯努利 4、我们知道：平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.如何直观的观察呢？ O P P O OP是一条绳子。将绳子的一端O固定，在绳子保持拉紧的前提下，绳子的另一端点P在平面内运动。 现在，我们把绳子的两端固定在两点F1、F2（F1F2＜OP)，用笔尖把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出图形。 F1 F2 椭 圆 圆 6 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫做椭圆。 两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点。 两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距。 椭 圆 定义中的“常数”通常用2a表示，焦距用2c表示。有2a＞2c＞0. 设点P为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知. 注意：1、 2、 3、 4、 5、 6、 必须在平面内。 两个定点——两点间距离确定。 定长——椭圆上任意一点到两定点的距离之和确定。 时，P点的轨迹是一条线段：线段   时，P点不存在. 7 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 根据椭圆的定义有 设点P1为点P关于直线F1F2的对称点， 则据椭圆的定义有 即点P1也在椭圆上 所以_______________是椭圆的对称轴。 线段F1F2的____________________也是椭圆的对称轴。 线段F1F2的___________是椭圆的对称中心。 垂直平分线MN 中点O 直线F1F2 8 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、已知△ABC的周长为10，且|BC|=4，则△ABC的顶点A的轨迹是什么？并说明理由。 解：因为△ABC的周长为10，且|BC|=4， 所以|AB|+|AC|=6，且|AB|+|AC|>|BC| 根据椭圆的定义可知，△ABC的顶点A的 轨迹是以B，C为焦点，焦距长为4的椭圆。 B C A 9 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、如图，两个定圆⊙C1和⊙C2内切，且半径分别为r1=1,r2=3,动圆M与⊙C1外切且与⊙C2内切，那么动圆圆心M的轨迹是什么？并说明理由。 C1 C2 M 解：设动圆M半径为r,由两圆外 切与内切满足的条件可得： |MC1|+|MC2|=(r1+r)+（r2-r)=r1+r2=4 又因为|C1C2|=r2-r1=2 所以由椭圆的定义可知，动圆圆心M的轨迹是以圆心C1、C2为焦点，焦距为2的椭圆（除掉⊙C1和⊙C2的切点）。 10 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 设椭圆的焦距 椭圆上任意一点到两个焦点 的距离之和为2a(a>c). 求椭圆方程 以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0) F1 F2 O 设P(x,y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知点P满足 P 因为________________________, ______________________ 所以____________________________________________________ 11 学 习 新 知 拉格朗日 设椭圆的焦距 椭圆上任意一点到两个焦点 的距离之和为2a(a>c). 求椭圆方程 F1 F2 O P 即 两边平方、整理得 _______________________ 上式两边再平方、整理，得 ___________________________________________ 即__________________________ 令b2=a2-c2,代入上式得______________________________ 12 学 习 新 知 柯 西 椭圆的标准方程 我们将方程(a＞b＞0)叫作椭圆的标准方程。 注意：1、 2、 3、 4、 5、 6、 方程的左端两分式用“+”连接，右端是1。 方程左端各个分子、分母都是平方项。 b2=a2-c2即c2=a2-b2即a2=b2+c2 焦点在x轴，焦点坐标F1 (-c,0),F2(c,0)。 a＞b,a＞c，b与c的大小不确定。 焦点不是椭圆上的点。 13 学 习 新 知 (a＞b＞0) 注意：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 方程的左端两分式用“+”连接，右端是1。 方程左端各个分子、分母都是平方项。 b2=a2-c2即c2=a2-b2即a2=b2+c2 焦点在y轴，焦点坐标F1 (0,-c),F2(0,c)。 a＞b,a＞c，b与c的大小不确定。 牛 顿 同理可得，焦点在y轴的椭圆的标准方程为： O F1 F2 判断椭圆焦点在哪个轴上的准则：谁对应分母大焦点就在哪个轴上。 焦点不是椭圆上的点。 14 典 例 引 路 华罗庚 例2、椭圆 上一点P到焦点F₁的距离等于6，则点P到另一焦点的距离是_____________． 解: ∵2a=2×10=20 ∴|PF2| ∴|PF2|=14 15 同 步 练 习 陈景润 练2、已知F1,F2是椭圆+=1的左右焦点，若直线 l 过焦点F1，且与椭圆交于A,B，则△ABF2的周长为______________ 解：根据椭圆定义可知， AB+BF2+AF2 =AF1+BF1+BF2+AF2 =(AF1+AF2)+(BF1+BF2) =2a+2a =4a =8 16 典 例 引 路 狄利克雷 例3、判断下列椭圆的焦点在哪条轴上，并指明a、b,写出焦点坐标。 (1) (2) (3) 解：方程化为 =1， 焦点在x轴上，a=5,b=4,焦点坐标：(-3,0)、(3,0) 解：方程化为 =1 焦点在y轴上，a=13,b=12,焦点坐标：(0,-5)、(0,5) 解：方程化为 =1 焦点在x轴上，a=5,b=3,焦点坐标：(-4,0)、(4,0) 17 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练3、判断下列椭圆的焦点在哪条轴上，并指明a、b,写出焦点坐标。 (1) (2) (3) 解：方程化为 =1， 焦点在x轴上，a=10,b=8,焦点坐标：(-6,0)、(6,0) 解：方程化为 =1， 焦点在y轴上，a=4,b=3,焦点坐标：(0,-)、(0,) 解：方程化为 =1， 焦点在y轴上，a=,b=1,焦点坐标：(0,-1)、(0,1) 18 典 例 引 路 贝叶斯 例4、若 + =1 表示焦点在x轴上的椭圆，则m取值范围是______________ 解：依题意得 解得2＜m＜3 19 同 步 练 习 庞加莱 练4、若方程 + =1 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的范围为_____________. 解：依题意得 解得 -1＜k＜1 20 典 例 引 路 丘成桐 例5、求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)b=1,c=,焦点在y轴上. (2)a=10,c=6 解：a2 = b2+c2 = 1+15 =16 椭圆的标准方程为 解：b2=a2-c2=100-36=64 当焦点在x轴时，椭圆的方程为 当焦点在y轴时，椭圆的方程为 21 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、分别写出满足下列条件的动点P的轨迹方程： (1)点P到点F1(-3,0)、F2(3,0)的距离之和为10； (2)点P到点F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为12； (3)点P到点F1(-4,0)、F2(4,0)的距离之和为8． 解:因为|PF1|+|PF2|=10＞|F1F2|=6， 所以动点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆， 这里2a=10,2c=6，即a=5,c=3，所以b2=a2-c2=25-9=16， 所以动点P的轨迹方程为 解:因为|PF1|+|PF2|=12＞|F1F2|=4， 所以动点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆， 这里2a=12,2c=4，即a=6,c=2，所以b2=a2-c2=36-4=32， 所以动点P的轨迹方程为 解：因为|PF1|+|PF2|=8=|F1F2|， 所以动点P的轨迹是线段F1F2，其方程为y=0(-4≤x≤4). 22 典 例 引 路 皮 亚 诺 例6、已知椭圆的两个焦点分别为F1 (0,-2),F2(0,2)，并且经过点P(),求椭圆的标准方程 。 法二：因为点P()在椭圆上，又c=2,所以 解得b2=6,a2=10 所以椭圆的标准方程为 法一： 从而,又c=2,所以 所以椭圆的标准方程为 解：依题意设椭圆的标准方程为 23 同 步 练 习 洛必达 练6、已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0)，并且经过点（，），则它的标准方程是___________ 解：依题意设椭圆方程为 则 解得a2=10,b2=6 故椭圆方程为 24 典 例 引 路 佩雷尔曼 例7、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点（- ， ），(,),则椭圆方程为________________. 当不确定椭圆的焦点在哪个轴时，可以设椭圆 方程为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0，且m≠n),从而避免讨论。 解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0，且m≠n) 依题意得,解得 所以所求椭圆方程为 25 同 步 练 习 黎 曼 例8、已知椭圆E经过点A(1,),B(,),则E的标准方程 为__________ 解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0,n＞0，且m≠n) 依题意得,解得 所以所求椭圆方程为 26 典 例 引 路 傅里叶 例9、已知F1是椭圆C： 的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q(4,3)，则|PF1|+|PQ|的最大值是______________． 解：设F2是椭圆C：+=1的右焦点 则F1(-2,0),F2(2,0),a=3,b= 根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=6 所以|PF1|= 6-|PF2| 所以|PF1|+|PQ|=6-|PF2|+|PQ|= 6+(|PQ|-|PF2|) ∵|PQ|-|PF2|≤|QF2|== ∴|PQ|-|PF2|的最大值为 ∴|PF1|+|PQ|的最大值为6+ 27 同 步 练 习 毕达哥拉斯 练9、已知F1是椭圆C： 的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点A(1,1)，则|PF1|+|PA|的最大值是______________． 解:由椭圆方程可知a=2,b=2,所以c=2 F1(-2,0),F2(2,0) 根据椭圆的定义： |PF1|+|PA|= 2a-|PF2|+|PA| = 4+(|PA|-|PF2|) ≤4+|PF2| =4+ =5 28 全 课 总 结 焦点在x轴 焦点在y轴 不同点 图形 标准方程 焦点坐标 F1 (-c,0),F2(c,0) F1 (0,-c),F2(0,c) 相同点 定义 |PF1|+|PF2|=2a |PF1|+|PF2|=2a a,b,c的关系 a2=b2+c2 a2=b2+c2 F1 F2 O P O F1 F2 一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程 29 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 30 $