江西丰城市第一中学2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷(人教版)

丰城一中2025-2026学年上学期初三数学期末试卷 一、单选题（每小题3分，共18分） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．2026 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3. 某种球形病毒的直径为0.000 000 43米，将数据0.000 000 43用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4．抛物线如图所示，现有下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 6．如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7.已知函数是反比例函数，则m的值为　 　． 8．因式分解： ． 9．如图，点A和点B分别是反比例的数y＝（x＞0）和y＝（x＞0），AB⊥x轴，点C为y轴上一点则m﹣n的值为 ． 10．设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　 　． 11.观察下列一行数：4，1，－8，1，16，1，－32，1，64，1，－128，1，…则第19个数与第20个数的和为_______． 12．在中，，，，点，分别是，上一动点，且，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）计算：． （2)化简: 14．解不等式组，并在数轴上表示解集． 15．如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； (2)如图2，作一个底角为的等腰三角形． 16.如图，在▱ABCD中，，，点E、F分别是BC、DA的中点． 求证：四边形AECF是菱形； 若，求BD的长． 17．“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． (2)小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 四（共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，已知等腰，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积（结果用表示） 19．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中部、高中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 初中部：． 高中部：． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中部 8 a b 0.8 高中部 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：_______，_______． (2)求m的值． (3)综合表中数据，你认为是初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致还是高中部的学生？请说明理由． (4)若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”．已知该中学初中部有800名学生，高中部有600学生，请估计该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”． 20．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB＝3m，∠BAC＝53°，∠DOC＝37°． （1）求BO的长； （2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度． （参考数据，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44） 五．（共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，直线y=k1x（x≥0）与双曲线y=（x＞0）相交于点P（2，4）．已知点A（4，0），B（0，3），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C． （1）求k1与k2的值； （2）求直线PC的表达式； （3）直接写出线段AB扫过的面积． 22．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．   （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 六（本题12分） 23．如图（1），在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 初步感知 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， __________； ②S关于t的函数解析式为__________． 深入探究 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图（2）所示． ①的值为__________； ②求S关于t的函数解析式． 延伸探究 （3） 当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为， ①求与的数量关系； ②当时，的值？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D D B D C 1．A 【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解： 的相反数为． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选：D． 3．D 4．B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标，结合等式、不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，因此，对称轴为，因此a、b异号，所以， 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，因此，所以， 因此①是正确的；由于对称轴为，即，所以，因此③不正确； 设抛物线与x轴两个交点坐标为，， 由图象可知，而对称轴为，根据对称性可知，， 所以当时，，又，所以， 即，因此②是正确； 当时，，即，所以④不正确； 综上所述，正确的结论有①②，错误的结论有③④， 故选：B． 5．D 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、，由正方形的性质得，，则，，由旋转得，，，则点在上，所以，，则，可证明，则，所以，求得四边形的周长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， 把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E， ，，， ，点在上，，，， ，，， ，， ，， 四边形的周长是，故选：D． 6．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图1和图2，得，再证明，故，最后运用配方法解得，即可作答． 【详解】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上）， ∴，， 设，则，∴， ∵，，∴， ∴即，∴，整理得 ∴解得（舍去），，故选：C 7．-1 8． 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 9．4 【分析】连接AO，BO，将△ABC面积转化为△ABO的面积，再通过求解． 【详解】解：连接， ∵AB⊥x轴，点C为y轴上一点，∴ABy轴，∴S△ABC＝S△ABO＝2， ∴．＞＜ ∴即m﹣n＝4．故答案为：4． 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，掌握图形面积与的关系是解题的关键． 10．0 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根， ∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．故答案为：0． 11．-2047 12．或或 【分析】本题考查等腰三角形的存在性问题，三角函数以及分类讨论思想，先根据题意，画出大致图形，并求出图中相关的量，由等腰三角形的腰不确定，分三种情况讨论，求解即可． 【详解】解：如图（1），，，， ， ①当 时，如图（2）， ，， ； ②当时，如图（3）， 过点作 于点， ，， ，即，； ③当时，如图（4）， 过点作于点，， ，，， 即，， 综上所述，的长为或或．故答案为：或或 13．1 【分析】先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： （2） 14．不等式组无解． 【分析】分别解不等式①②求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解，将其表示在数轴上即可得出结论． 【详解】解不等式①，得：x＜2；解不等式②，得：x≥3．∴不等式组无解． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，牢记不等式组的解法是解题的关键． 15．(1)画图见解析(2)画图见解析 【分析】（1）连接，，交于点，则即为所求作的三角形； （2）连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 【详解】（1）解：如图，连接，，交于点，则即为所求作的三角形； 理由：∵多边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，，∴， ∴即为所求作的三角形； （2）解：如图，连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 理由：由（1）可得：，，∴，∴， 同理：，∴，，∴是正五边形的对称轴， 同理：，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴即为所求作的等腰三角形， 同理可得：即为所求作的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． 16.证明：四边形ABCD是平行四边形， ，．，F分别是BC，AD的中点 ，，，， 四边形AECF是平行四边形，，， ，是等边三角形，，平行四边形AECF是菱形； 解：作于G，如图所示： 则，，， ，，． 17．(1) (2)公平，见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）根据两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，得出小强、小刚胜的概率分别为，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， 两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为．故答案为： （2）解：上述游戏公平，理由如下： 两人抽到的卡片有指南针的结果数有种，∴小强胜的概率为 小刚胜概率为∴上述游戏公平 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OD，证明，推出，即可证明结论成立； （2）连接，在中，求得利用三角形函数的定义求得，，在中，利用勾股定理列式计算求得圆的半径，利用即可求解． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵，，又，， ，，，， 是的切线； （2）解：连接，设半径为r 在中，， ，又， ，，，是的直径．， ， ∵，∴，又，，(负值已舍)，， ． 【点睛】本题主要考查切线的性质和判定及扇形面积的计算，掌握切线问题中的辅助线的作法及扇形的面积公式是解题的关键． 19．(1)， (2) (3)初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见解析 (4)估计该校的“校园餐”能被评为“幸福餐” 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差的意义，用样本估算总体，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据高中部平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可； （4）用初中部和高中部的学生数分别乘以样本中8分及以上人数所占比例，再求和，再求出达到“幸福餐”的人数，作比较即可解答． 【详解】（1）解：初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； （2）解：高中部打分的平均分为8分， 则， 即，∴； （3）解：初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴初中部的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于高中部的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致； （4）解：根据题意：（人）（人） ∵，∴估计该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”． 20．解：（1）如图，过点B作BE⊥OC于点E，在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝3m， ∴BE＝AB•sin∠BAE＝3×sin53°≈3， 在Rt△BOE中，∠BOE＝37°，BE，∵sin∠BOE，∴OB ＝4（m），答：OB＝4m； （2）如图，过点D作DF⊥OC于点F，旋转后点D的对应点为D′，过点D′作D′G⊥OC于点G，过点D作DH⊥D′G于点H， 在Rt△FOD中，OD＝OB+BD＝4+6＝10，∠DOF＝37°， ∴DF＝OD•sin37°≈10＝6（m），∴D′G＝D′H+HG＝3+6＝9（m）， 在Rt△D′OG中，OD′＝10m，D′G＝9m， ∴sin∠D′OG，∴∠D′OG≈64°，∴∠D′OD＝64°﹣37°＝27°， 即云梯OD大约旋转了27°． 21．【分析】（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k1与k2的值； （2）根据平移的性质，求得C（6，），再运用待定系数法，即可得到直线PC的表达式； （3）延长A'C交x轴于D，过B'作B'E⊥y轴于E，根据△AOB≌△A'PB'，可得线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积，据此可得线段AB扫过的面积． 【解答】解：（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，可得4=2k1，∴k1=2， 把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k2=2×4=8 （2）∵A（4，0），B（0，3），∴AO=4，BO=3， 如图，延长A'C交x轴于D，由平移可得，A'P=AO=4， 又∵A'C∥y轴，P（2，4），∴点C的横坐标为2+4=6， 当x=6时，y==，即C（6，）， 设直线PC的解析式为y=kx+b， 把P（2，4），C（6，）代入可得 ，解得， ∴直线PC的表达式为y=﹣x+； （3）如图，延长A'C交x轴于D，由平移可得，A'P∥AO， 又∵A'C∥y轴，P（2，4），∴点A'的纵坐标为4，即A'D=4， 如图，过B'作B'E⊥y轴于E，∵PB'∥y轴，P（2，4）， ∴点B'的横坐标为2，即B'E=2，又∵△AOB≌△A'PB'， ∴线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法的运用以及平移的性质的运用，解决问题的关键是将线段AB扫过的面积转化为平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积． 22．（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ，，，，； （2）证明：四边形是正方形， ，，，，， ，又，， 点在的延长线上，，，， ，，； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，，，， ，，，， 是等边三角形，，． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 23．（1）①1；②；（2）①16；②；（3）①；②10 【分析】本题考查动点的函数图象，含30度角的直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）①作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②同①法计算即可； （2）①把代入（1）①中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可； （3）①根据时，，列出比例式进行求解即可；②联立①的等式和，求出，进而求出，即可． 【详解】解：（1）①当时，， 作于点，∵，∴， ∴平行四边形的面积为； ②由题意，得：，∴，∴； （2）①由图象可知，当时，此时点恰好运动到点，由（1）②可知：， 故； ②由图象和①可知，抛物线过，代入， 得解得， ∴S关于t的函数解析式为 （3）①由题图（2）可知，点P与点C重合时，，点P与点B重合时，， ∴，由题意可知，，∴ 当时，则：， ∴，∴，∴ ②联立，解得 ∴，，∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $