广东省深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念中学2025-2026学年高三上学期港澳班第一次联考数学试卷

深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念中学 2025-2026学年度高三港澳班联考 考试科目：数学 考试时长：120分钟 命题学校：中山纪念中学 审题学校：松山湖未来学校 注意事项： 1、答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。 2、选择题作答必须用2B铅笔，修改时用橡皮擦干净。 3、解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出题框。 一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的). 1.已知集合A={-1,0,2,8},B={xx3=x,则A∩B=() A.{- B. C.{-1,0} D.{2,8 2.若复数=满足i=3二1为虚数单位)，则=（） 1+i A.1 B.√2 C./3 D.5 3.己知等差数列{a}的前n项和为Sn,若4，+a。=26,S=35,则ao=() A.27 B.28 C.29 D.30 4.如果圆x2+y2=4与圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线1对称，则直线1的方程为() A.y=-x-2 B.y=-x C.y=-x或y=x+2 D.y=x+2 5.己知在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2DC,点P在线段BC上，且BP=2PC,则AP= () A.2AB+2D B.24B+1AD 3 3 3 2 c.+2D 1 3 3 34B+AD 2 深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念中学2025-2026学年度高三港澳班联考（数学）试题 第1页，共3页 6.若2=3=log,9,c=e号，则实数a、b、c的大小顺序为() A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 7.某圆台形无盖水桶的表面积为220元cm2,水桶下底面的半径为5cm,上底面的半径为10cm,则 该水桶的容积为()（水桶壁与底的厚度忽略不计） A.600πcm B.700ncm C.800mcm3 D.900ncm3 8.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x+1)-1为奇函数，则f(2)+f(3)+∫(4)=() A.6 B.5 C.4 D.3 9.高三(1)班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位， 且丙、丁排在一起的概率为() B c D.47 180 10.己知双曲线C: 京石-1（a>0,6>0)的左右焦点分别为、R,A为双曲线的左顶 x2 y2 2π 点，以及为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、9两点，且∠PA0=,则该双曲线的离心 率为() A.√2 B.3 C.② D.13 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）. 1)6 11.x2+ 的展开式中常数项是 ·（用数字作答) 1 12.已知函数f(x)=f'(0)e-e2,则f(0)=一 13.设0<a<子若ana+tm年a-则sma= 5 14.若点A(a,a,B(b,e)(a,b∈R),则A,B两点间距离AB的最小值为 15.如图所示四棱锥P-ABCD,平面PAB⊥平面ABCD,AD//BC,∠ABC=90°，PA=PB, BC=,AB=2,AD=3,O是4B中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为2W5,则线段 5 OP的长为 深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念中学2025-2026学年度高三港澳班联考（数学）试题 第2页，共3页 三、解答题（本题共4小题，每题15分，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤). 16.在△1BC中，角4，B,C的对边分别为a,c,若cosC=},csinA=-2W万。 (1)求a: ②若△ABC的面积为5W5,求AB上的高cD. 2 17.已知数列a,}满足a), =7,a2+3a,=40 (I)证明：数列{aa+1-an}为等比数列； (2)求{a}的通项公式： (3)记b.=2a+1,数列 ,a,的前n项和为S。,证明： S< 1 bb+1 16 18.己知函数f(y)= Inx+1 x+1)2 1 )求出函数f(x在。，e上的最值： (2)若关于x的不等式h(x)-2ax>a(2+)存在唯一的整数解，求实数a的取值范围. 8已国&若+若=ao6c*为5.5是约、有. |R引=4W2,直线过点R与E交于A,B两点. (1)求E的方程： (2)若AB=2N3,求1的方程： ®)若直线马过点民与E交于C,D两点，且，的斜率乘积为}M,N分别是线段AB,CD的中 点，求△OMN面积的最大值. 深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念中学2025-2026学年度高三港澳班联考（数学）试题 第3页，共3页 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载Apr (用户名和初始密码均为准考证号) 回蜂回 深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念中学 2025-2026学年度高三港澳班联考数学答题卡 姓名： 班级： 试室号： 座位号： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 [o] [o] [o] [0] [0] [0] [0] [o] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 改时用橡皮擦干净。 [2] ] [2] [2] [2] [2] [2] 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 [3] 3] [3] [3] ] [3] [3] 答题区域书写无效。 [4] [4 [4] [4] [4 [4] [4] 0 5 [5] [5] [5] [5] 6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [z] [ [7] 71 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8 [9] [9] [9] [9] l9 [9] [9] [9] 单选题（每题6分，共60分） 1[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 10 [A][B][c][D] 填空题（每题6分，共30分） 11 12 13. 14. 15 解答题（每题15分，共60分） 16 I 囚ㄖ■ 第1页共4页 ■ 16续 17. 囚囚■ ■ 第2页共4页 ■ 18 I ■ 囚■囚 第3页共4页 ■ ▣ 19. ㄖ■囚 ■ 第4页共4页 深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念中学 2025-2026学年度高三港澳班联考 考试答案及评分标准（数学） 一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的). 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 C D B O A D B D B 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）. 11.15 12.-2 13.3v0 10 2 15.3 三、解答题（本题共4小题，每题15分，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤). 16.(1)根据sinm2C+cos2C=1,cosC= 3,可知sinc=2V2 3 1分 因为a=c 7 sin"sin C,即anC=csin=25,4分 所以a.2W5=22,即a=3: …6分 3 (2）8-smC3xbx2-5,解得6 .8分 32 则owe-经e 1 2ab 2x3 ,解得c9 12分 3 则s-K05,代入e=号解得cn=0 9 15分 17.(1)由a+2+3a=4a4+1,得a+2-a+1=3a+1-3an=3(aH-a） .2分 22 3分 所以a1a≠0，？0且=3. d-an 即{a+1-a}是以1为首项，3为公比的等比数列： 4分 第1页/共4页 （2)由（1)知a+1-a4,=1×3-1=31, 5分 当n≥2时，an=(a.-an-1)+(a-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a)+4 =3+33+34++3°+11-313 21-322 8分 当n=1时，a=也成立，所以a}的通项公式为a, 3”- 2 2 9分 (3)由(2)得 bn=2a+1=3-1+1, .10分 品g可 3- .12分 防以8六)产六尚品六 111 423”+11 ......13分 显然8，}是递增数列，所以8,28=16 1 .14分 8 .15分 L-(2x+） 8因为·青 ..1分 (x+1)3 令1()-(2血x+1,因为函数y=子y-2血-1在(0+m）上单调道减， 所以t(x)=】-(2x+1)在(0，+o)上单调递减， 观察可得t(1)=1-(2nl+1)=0, 3分 所以'(x),f(x)的变化情况如下表所示. (1,e) e f"() × 0 2 f(w) 0 单调 1 单调 递增 4 递减 (e+1) 所以，f(x)在区间 e 上单调递增，在区间(1，e)上单调递减....6分 第2页/共4页 当x=1时，f()有极大值子f0)=也是)的最大值7分 2 (e+12, 所以e日 所以0为f(x)的最小值： 8分 所以)的最大值为片最小值为0， 9分 (2)因为x>0,所以不等式n(er)-2a>at+可化为a<f)=血x+凸 (x+1)2 ..10分 由(1)可知f()=血x+ (x+1)2 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，+o)上单调递减 所以了()的最大值f0-=寻 ..11分 a创2<0.- Inx+1 0(x+1)2 =-0 所以x∈N,x=1时，f(x)最大，即a<∫(x)存在唯一的整数解只能为1，....12分 f(1)>a 所以 所以l+h2≤a< f(2)≤a 9 所以a的取值范围为 1+n21 94 ..15分 19.(1)因为E=4W2,所以2c=4W2→c=2W2, 1分 又因为该能圆的离心率为5，所仁-5=a=2N5=F-2-84, 2分 a 3 所以椭圆的方程为号+上=1： 124 3分 (2)当直线的斜率为零时，此时方程为y=0,此时x=±2√5， 显然此时AB=4V3，,不符合题意， .4分 故设直线l的方程为x=y-2√2（m≠0)，与椭圆方程联立，得 后 -=1 →(m2+3)y2-4V2w-4=0,5分 x=1w-2V2 因为△=（-4W2m)+16(m2+3)>0, 第3页/共4页