精品解析：甘肃张家川回族自治县实验中学2025-2026学年高三上学期期末数学试卷

实验中学高三年级期末考试数学试卷 命题：杨东旭 初审：蒲文轩终审：窦豆 一、单选题 1. 设复数满足，则在复平面内的对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面，是直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 4. 平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在区间上是减函数的是 A. B. C. D. 7. 底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为 A. 6π B. 12π C. 8π D. 16π 8. 已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，则曲线是一个圆 B. 当时，则曲线是一个双曲线 C. 若时，则曲线是焦点为的椭圆 D. 若曲线是离心率为的椭圆，则 10. 正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（　　） A. 正三棱锥高为3 B. 正三棱锥的斜高为 C. 正三棱锥的体积为 D. 正三棱锥侧面积为 11. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 的最大值是 D. 面积的最大值为 三、填空题 12. 已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为，则扇形的面积是________． 13. 如图所示，的斜二测直观图为等腰直角，其中，则的面积为_____. 14. 底面半径为1的圆锥的侧面积是它的底面积的两倍，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为___________． 四、解答题 15. （1）已知椭圆的焦距为10，离心率为，求椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程. 16. 如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，． （1）求正三棱柱的表面积； （2）求证：直线//平面． 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的值域； 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，，，E为PC的中点． （1）证明：平面PBC． （2）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值． 19. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学高三年级期末考试数学试卷 命题：杨东旭 初审：蒲文轩终审：窦豆 一、单选题 1. 设复数满足，则在复平面内的对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先对复数进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案． 【详解】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题． 2. 已知平面，是直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的性质判断可得出结论. 【详解】充分性：因为平面，若，由线面垂直的性质可知，充分性成立； 必要性：因为平面，若，由线面垂直的性质可知，必要性成立. 因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 记等差数列的前n项和为.若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 70 D. 126 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的“等和性”得到，再运用等差数列的前n项和公式计算即得. 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：B 4. 平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，求得，从而得解. 【详解】由题意，平面内点P到，的距离之和是8， 所以动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，且，即， 所以， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：D. 5. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得即为异面直线与所成角的平面角，进而可得出答案. 【详解】因为， 所以即为异面直线与所成角的平面角， 而， 所以异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 6. 在区间上是减函数的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数性质即可得到结果. 【详解】在上单调递增，错误；在上单调递增，错误 在上单调递减，正确；在上单调递增，错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查常见函数单调性的判断，属于基础题. 7. 底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为 A. 6π B. 12π C. 8π D. 16π 【答案】D 【解析】 【详解】由圆锥的底面半径为，母线长为 ，可求得其轴截面的顶角为 ．设该圆锥的底面圆心为，其半径为 ，球 的半径为 ，则 ， ，解得 ，所以球 的表面积为 ，故选D． 【点睛】求解多面体（如长方体、棱柱与棱锥）与球的组合体问题时，首先要清楚它们的“切”或“接”关系，然后根据此关系确定出球的直径（或半径）与多面体的棱长、对角线等几何量的关系．此类问题解答的难点就是组合体的图形比较难作出，必须要发挥自己的空间想象力，借助生活中实物图进行想象． 8. 已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线方程为， 则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则， 由图知，当共线，且在线段上时，最短， 此时，而， 则，所以. 故选：B 二、多选题 9. 已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，则曲线是一个圆 B. 当时，则曲线是一个双曲线 C. 若时，则曲线是焦点为的椭圆 D. 若曲线是离心率为的椭圆，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据曲线方程，结合各选项给定的参数值，将方程转为为的形式判断曲线的性质即知A、B、C的正误，由椭圆的离心率求参数m判断D. 【详解】A：时，曲线可整理为，即曲线是一个圆，正确； B：时，曲线可整理为，即曲线是一个双曲线，正确； C：时，曲线可整理为，即曲线是焦点为的椭圆，正确； D：由上分析知：若曲线是离心率为的椭圆，则或，可得或，错误. 故选：ABC. 10. 正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（　　） A. 正三棱锥高为3 B. 正三棱锥的斜高为 C. 正三棱锥的体积为 D. 正三棱锥侧面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误. 【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接， 则为正三棱锥的高，为斜高， 又，，， ，故，故AB正确. 而正三棱锥的体积为， 侧面积，故CD错误. 故选：AB. 11. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 的最大值是 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆方程得出，由椭圆的定义判断A；由离心率公式判断B；设根据二次函数的性质判断C；面积，结合的范围判断D 【详解】因为椭圆C的方程，故， 由椭圆的定义可知，故A正确； 离心率，故B错； 由椭圆性质可知，所以的最大值是3，故C对； 因为，又， 当时，即P在短轴的顶点时面积的取得最大值， ，故D对； 故选：ACD 三、填空题 12. 已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为，则扇形的面积是________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由扇形的面积公式，得该扇形的面积为；故填． 考点：扇形的面积公式． 13. 如图所示，的斜二测直观图为等腰直角，其中，则的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将直观图还原为原图，即可求解. 【详解】由题意，， 将直观图还原，如图，， 则， 故答案为：. 14. 底面半径为1的圆锥的侧面积是它的底面积的两倍，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥侧面积和底面积的比求得，进而求得圆锥内切球半径与底面半径的关系式，从而求得内切球表面积是圆锥表面积的倍. 【详解】圆锥的轴截面是，设圆锥的底面半径， 母线为，则，， 所以，得：，如图， 可知是正三角形，O是内切球球心，圆锥的内切球分别与边交于点， 所以，是内切球半径， 因为，则，又 所以，即， 所以内切球表面积，所以， 则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为. 故答案为： 四、解答题 15. （1）已知椭圆的焦距为10，离心率为，求椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程. 【答案】（1）或；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）根据双曲线焦点所在坐标轴进行分类讨论，求得，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆的标准方程是或. （2）依题意，双曲线的渐近线方程为，， 若双曲线的焦点在轴上，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 双曲线的焦点在轴上，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 所以双曲线的标准方程为或. 16. 如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，． （1）求正三棱柱的表面积； （2）求证：直线//平面． 【答案】（1） （2）取和交点M，连DM， ∵D，M分别为AC，中点，故． 平面，DM平面． ∴//平面． 【解析】 【分析】（1）求解上下底的面积，结合侧面积求解即可； （2）取和交点M，连DM，再证明即可 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 略 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的值域； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简，再用公式求周期；利用复合函数的单调性求单调增区间. （2）求出的范围，再结合正弦函数的图象即可求出该函数的值域. 【小问1详解】 ，所以 ，解得， 所以的单调递增区间是 【小问2详解】 若则当时取得最小值，当时取得最大值，所以，，故函数的值域为. 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，，，E为PC的中点． （1）证明：平面PBC． （2）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：在梯形ABCD中， 因为，， 所以． 又平面PBC，平面PBC， 即可得平面PBC． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意由梯形性质可知，由线面平行的判定定理即可证明结论； （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，利用空间向量即可求得直线AE与平面PBC所成角的正弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 易知AB，AD，AP两两垂直， 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，． ∴，，， 设平面PBC的法向量， 则，取，则，． ∴平面PBC的一个法向量为． 设直线AE与平面PBC所成角为， 则， 即可知直线AE与平面PBC所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) 存在点，使得为定值，且定值为0． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为可得，解方程组即可的结果；（2）由得，根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得，只需令，即可得结果. 试题解析：（1）由已知可得解得，， 所求椭圆方程为． （2）由得， 则，解得或． 设，， 则，， 设存在点，则，， 所以 ． 要使为定值，只需 与参数无关， 故，解得， 当时，． 综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $