数学一模突破卷03（浙江专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 【答案】B 【分析】应用复数的乘方及除法运算化简，再应用虚部的定义求解. 【详解】， 所以复数的虚部为. 故选：B. 2．“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】不等式的解集为，等价于不等式的解集为，可得，解得，即可得出结论. 【详解】若不等式的解集为， 等价于不等式的解集为， 则可得，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．已知双曲线，以其右焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据圆与渐近线相切列方程，求得，再根据即可求得答案. 【详解】双曲线的渐近线为， 因为以为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切， 所以到渐近线的距离为，即， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 4．若函数的最小正周期为，且，的图象关于点对称，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】由及关于点对称得，代入求值. 【详解】，则，由，得， 因为的图象关于点对称， 所以，解得， 又，所以， 所以． 故选：A． 5．已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】B 【分析】利用基本函数的图象与性质，得出的图象，再结合条件及图象，即可求解. 【详解】因为， 当时，，易知在区间上单调递增，且， 当时，，对称轴为，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 图象如图所示， 由，得到或（舍）， 又在区间上既有最大值，又有最小值，由图知，， 故选：B. 6．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若，，M为正方形EFGH及其内部的动点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图直角坐标系，由向量运算转化为求范围，再利用直线纵截距的最值，即可求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系， 因为，，由直角三角形全等可知，    ∴， 设， 则 ， 令，则， 即可化为直线与正方形及其内部有交点时纵截距的取值范围， 当直线过时，有最大值，此时， 当直线过时，有最小值，此时. 所以， 故选：C 7．已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求点的轨迹方程，已知，设利用两点间距离公式列出等式，得到点的轨迹是一个圆，然后用将军饮马模型，把折线距离转化为直线距离，最后化简计算. 【详解】设，由得，， 整理得，所以点P在以为圆心，半径为2的圆上． 点Q在圆上运动，该圆的圆心为，半径为1，如图， 有图可知，当，时，才有可能取得最小值， 设圆与圆关于直线对称，则， 连接，则， 当C，M，三点共线时，取得最小值． 设，则，解得，即， 所以，则的最小值为． 故选：C 8．已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求拆分成，，，令，，，，且，可看作函数与，，的交点，通过函数单调性以及函数的增长速度结合零点存在性定理可比较出的大小. 【详解】解：可变形为：，可变形为：，可变形为：， 令，，，，且， 可知分别为函数与，，的交点横坐标， 当时，单调递增且，， ，，这三个函数全部单调递减，且，，，， 由零点存在性定理可知：，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大， 由图象可知，下降速度最慢，所以最大， ，，时，，所以交点， 故选：B    【点睛】关键点点睛：将等式变形为函数交点的问题，通过比较函数增长的快慢来求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在正方体中，P为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】对于A，根据线面垂直的性质得出线线垂直，即通过证明平面证明即；对于B，根据线面平行的判定定理，通过证明线线平行得到线面平行，即证明得到平面；对于C，根据平面和平面各自的法向量垂直得到面面垂直；对于D，先找出平面和平面的法向量，然后根据法向量垂直即可得到面面垂直. 根据线面平行、面面垂直、线线垂直的判定定理进行判断即可. 【详解】对于A：因为P为的中点，所以P是正方体体对角线的交点，故A，P，三点共线． 连接，易知，，且平面，故平面 因为平面，所以，即，故A正确； 对于B：由上可知平面即为平面，因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C：易知平面即为平面， 因为P为的中点，所以P也为的中点，所以平面即为平面， 且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 而不与垂直，所以平面不与平面垂直， 即平面不与平面垂直，故C错误； 对于D：易知平面即为平面，平面即为平面， 且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 而，所以平面平面 ，故D正确． 故选：ABD.    10．已知抛物线的准线方程为，过C的焦点F的直线l交C于A，B两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则周长的最小值为6 C．若，则直线的斜率为 D．的最小值为16 【答案】ACD 【分析】根据抛物线准线方程可得A正确，利用抛物线定义以及三点共线可知当三点共线时，周长的最小值为，即B错误；设直线的方程为，，联立直线和抛物线方程并结合韦达定理计算可得C正确；由韦达定理计算可得，得出的表达式并利用基本不等式计算可得D正确. 【详解】对于A，易知抛物线的准线方程为，可得，即A正确； 对于B，易知，作垂直于抛物线的准线于点，如下图所示：    易知周长为， 由抛物线定义可知，又， 所以， 当且仅当三点共线时，周长的最小值为，即B错误； 对于C，设直线的方程为，， 联立抛物线和直线方程可得， 利用韦达定理可得， 由可得，可得， 代入韦达定理可得，即； 又，可得，即. 因此，可得，因此直线的斜率，即C正确； 对于D，由抛物线定义可得，易知； 因此 又因为， 因此，即可得， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为16，即D正确. 故选：ACD 11．记锐角的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】由余弦定理和，化简得到，可判定A正确；由正弦定理得到，结合两角和的正弦公式，化简得到，可判定B正确；设，则，得到，结合基本不等式，可判断C不正确；化简得到，令，利用导数求得函数的单调性和最小值，可判定D正确. 【详解】对于A，由余弦定理得， 因为，可得， 整理得，即，所以A正确； 对于B，因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以，即， 所以，所以B正确； 对于C，由且为锐角三角形，设，则， 又由，可得， 可得，解得， 因为， 因为，可得，当且仅当时，即时等号成立， 又因为，所以等号不成立，则， 所以，所以C不正确； 对于D，由选项C得，其中， 设，可得，令，解得或（舍去）， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】对函数求导，根据斜率和函数值进行计算即可. 【详解】求导得，因为曲线在点处的切线为， 则，所以，解得． 故答案为：. 13．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 . 【答案】 【分析】应用等比数列及等差数列的下标和性质得出，，再代入结合特殊值的三角函数值求解. 【详解】因为数列是等比数列，数列是等差数列，又，， 则，，所以，， 则. 故答案为：. 14．“三门问题”出自八九十年代美国的有奖类电视节目.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.其后主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门，是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 【答案】 会 【分析】设三扇门为，根据题意可得假设我们已经选了门，主持人打开了门，若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1，再结合条件概率及全概率公式即可得解. 【详解】设三扇门为，假设我们已经选了门，主持人打开了门， 若车在，则打开的概率是， 若车在，则打开的概率为1， 被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1）， 也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2）， 虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大， 所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大， 所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率， 用概率论公式来分析，我们得到： 车在门的概率为：， 车在门的概率为：. 故答案为：会；. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 【答案】(1)模型的拟合程度更好 (2). 【分析】（1）根据相关数据分别计算出和y的相关系数和x和v的相关系数，比较大小，即可得结论； （2）根据最小二乘估计公式求出相关参数，即可得答案. 【详解】（1）令，则可化为， ， 令，则可化为，即， 因为， 所以， 则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好.。。。。。。。。。。。。6分 （2）由（1）知，用模型比较合适， 令，则可化为，即， 所以， 因为，，所以， 则关于的回归直线方程为，所以.。。。。。。。。。。。。13分 16．（15分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项的和； (3)若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2025 【分析】（1）对两边取倒数并整理得，进而根据等比数列的定义即可判断； （2）先求得，利用错位相减法求解即可得到； （3）由，利用分组求和法得到，再令，得到足条件的最大整数. 【详解】（1）（1）由可得 即 数列是首项为，公比为的等比数列.。。。。。。。。。。。。4分 （2）由（1）知，则 两式相减， 。。。。。。。。。。。。9分 （3）由（1）知 则 即， ， 故满足条件的最大整数.。。。。。。。。。。。。15分 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在； 【分析】（1）连接，证明点为的中点即可证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）结合题意，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，利用坐标法求解即可； （3）设，则，利用点满足即可求解； 【详解】（1）证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点. 所以点为的中点， 又因为点为的中点， 所以， 又平面，平面 所以平面。。。。。。。。。。。。4分 （2）因为，为中点，所以，且， 过作平面，以为原点，分别为轴的正方向， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为。。。。。。。。。。。。10分 （3）设，则，， 由在平面内可知，即，解得， 所以存在点，当时，点在平面内.。。。。。。。。。。。。15分 18．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点.    (1)求椭圆的方程； (2)斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值； （ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）是定值， 【分析】（1）根据为的中点可求得顶点的坐标，从而可知，根据离心率可求得，进而可得椭圆方程. （2）（i）设出直线的方程及，利用根与系数的关系可得为定值；（ii）求出的横坐标，从而可根据纵坐标得到圆的方程，进而可得所求弦长的表达式，利用根与系数的关系化简即可求解. 【详解】（1）因为点的坐标为，且为的中点， 所以，即. 又离心率，所以， 所以， 所以椭圆的方程为.。。。。。。。。。。。。3分 （2）（i）因为直线过点，可设直线的方程为，， 由消去得. 所以，. 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以， 所以.， 将，代入得 ， 即为定值.。。。。。。。。。。。。9分 （ii）是定值. 因为，由两点式可得直线的方程为； 因为，，由两点式可得直线的方程为. 因为直线，交于点，所以， 将代入得， 整理得. 由得， 所以. 同理，直线的方程为，直线的方程为， 联立可解得， 因此，所以直线垂直于轴， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 令，可得. 将代入直线的方程得， 同理得. 则. 将代入得， 所以，解得， 故弦长为，是定值， 即以为直径的圆被轴所截得的弦长是定值，为.。。。。。。。。。。。。17分 19．（17分）已知函数，记为函数在定义域内的导函数. (1)求函数在上的最小值. (2)设，记的最小值为. （ⅰ）当时，求使恒成立的实数的最小正整数； （ⅱ）当时，设，求函数在区间上的零点个数. 【答案】(1)0 (2)（ⅰ）2；（ⅱ）101个. 【分析】（1）先求导得，设，利用导数研究单调性进而求解； （2）（ⅰ）由，令，则，则， 设，利用导数研究单调性得函数取最小值，进而得最小值， 设，，利用导数求的最值，进而得在上恒成立，最后结合等比数列前项和公式即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）知，则，进而得，得，求函数的周期，利用导数研究函数的单调性结合零点存在定理，结合函数的周期性即可求解. 【详解】（1）由，且； ，；设， 因为，所以在上单增，即 单增， 又因为，所以时，单减， 时，单增； 所以；。。。。。。。。。。。。4分 （2）（ⅰ）因为，令，则，， 则，设，， 则， 当时，，又， 所以，所以，所以函数在上单调递减， 当时，，又，所以，所以，所以函数 在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为，所以最小值为，所以， 设，，则在上恒成立， 故在上单调递减，所以， 故在上恒成立， ； 又因为， 对任意，恒成立时， 所以的最小正整数值；。。。。。。。。。。。。10分 （ⅱ）由（ⅰ）知，则，，即，所以， 所以， 因为， 所以函数为周期函数，为函数的周期， 当时，，，所以， 当时，，，，， 函数在上没有零点， 当时，，，所以， 函数在上没有零点， 当时，， 令，则， 所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增， 又，，所以存在，，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以函数在上存在唯一零点，在上不存在零点， 又因为，故在上有2个零点， 结合函数的周期性可得函数在上的零点个数为101个.。。。。。。。。。。。。17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $: 2026年高考第一次模拟考试 O 高三数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 .: 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O : 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 : 求的。 .… : 1.复数2=-5i0 一的虚部为() i- A.-2 B.-1 C.-i D.i 2a>0是关于x的不等式公<0的解集为<2的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知双曲线器若-a>0b~0,以其右货点F化0)为圆，2a为学轻的圆与双香线的两张新近线 相切，则双曲线的离心率为() : A.5 B.√2 C.2 D.5 拟 : 4. 若西数f)=sina+cwox(>0的最小正周期为T,且时T<l,f)的图象关于点 ,0对称， : 则f(2026)=() A.1 B.0 C.-1 D.-√2 : : : 5.已知函数f(x)= [2*,x≤1 x2-4x,x>1' 若f(x)在区间(b,a)上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是 ( A.a有最小值 B.a有最大值 C.b有最小值 D.b有最大值 6.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽 弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若AE=3, 试题第1页（共4页） .: .: ©学科网·学易金卷做怒德：然限是鲁普 DE=4,M为正方形EFGH及其内部的动点，则(MA+MB)AB的取值范围是() D G H B A.[-52,52] B. _5W5W2 2’2 c.[-7,7] 7.已知A(2,0),B(-1,0),点P满足PA=2PB,点0在圆C:(x+1)2+(y-4)2=1上运动，点M在直线 x-y-2=0上运动，则PM+2M的最小值为() A.5N2-3 B.62-3 C.√73-3 D.4W5-3 8.已知a,b,c均为正数，a=1+42,b=4+b(2-3),4-C=1oe,c+3),则a,b,c的大小关 系为() A.b<c<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在正方体ABCD-ABCD中，P为BD的中点，则() A.PA⊥B,C B.BC//平面PAB, C.平面PAB,⊥平面PCB D.平面PAB⊥平面PCD 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,过C的焦点F的直线1交C于A,B两点，则下列 说法正确的是() A.p=2 B.设M(3,2),则△AMF周长的最小值为6 C.若AF=3FB,则直线AB的斜率为±√5 D.|FA+9|B的最小值为16 11.记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ad-2b2=c2,则（) A.c=4b cosA B.tanA=3tan B C.A-B的最大值为 D.tan Atan B tan C的最小值为6 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做好德：就限是鲁 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知曲线f)=x+ac0s3x在点x=背处的切线为y=瓜号，则实数a的值为 13.已知数列a}是等比数列，数列{私}是等差数列，若a44。=33,么+，+h,=2元，则sim+。 4·4,-1 的值是 14.“三门问题”出自八九十年代美国的有奖类电视节目参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有 一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊当参赛者选定了一扇 门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊其后主持人会问参 赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门，是否会增加参赛者赢得跑车的概率如果严格按照 上述的条件，那么答案是（填“会”或者“不会”）换门的话，赢得跑车的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长， 2021~2025连续五年的年利润单位：亿元)与年份序号x(x=1,2,3,4,5,其中2021年记为1,2022 年记为2，以此类推)满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： ∑(4-)(y,-) ∑y- 374 230 6.3 144 1.6 4 注：4=x2，y=lny(i=1,2,3,4,5) (1)设L和y的相关系数为，x和v的相关系数为2，请从相关系数的角度，确定y=x2+b和y=emr+"(其 中a,b,m,n均为常数，e为自然对数的底数)哪一个拟合程度更好： (2)根据(1)的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. s-)y-列 附：①相关系数r= 回归直线y=x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别 ∑（代-）(y-列 为6 à=歹-b.②参考数据：√10≈3.16√374≈19.34 16.(15分)已知数列和，的首项4=号且满足a+1 4a,-(neN.). (1)求证：数列 1为等比数列： 2到记b=n1-1 求数列bn}的前n项的和Sa: 试题第3页（共4页） (3)若 1+L+1++】<2026,求满足条件的最大整数”： 41a24 17.(15分)如图，在直三棱柱ABC-ABC1中，AB=AC=√5，BC=BB=2,点D,E分别为BC,AC的 中点 & E 兵 张 (1)求证：DE/平面ABBA; (2)求直线AC与平面B,DE所成角的正弦值： 支AC上是否存在一点P,使得点P在平面8，DB内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 游 行+示-1>b>0)的离心率为，左、右顶点分别为4,4，点五的坐标为 18.(17分)已知椭圆G:x+少 游 2 (1,0),且E为OB的中点. S (1)求椭圆G的方程： (2)斜率不为0的动直线I过点E交椭圆G于C,D两点，直线AC,BD交于点M,直线AD,BC交于点 N. 世 (i)设直线BC的斜率为k,直线BD的斜率为k2,证明kk2为定值： (ⅱ)以MW为直径的圆被x轴所截得的弦长是否为定值？如果是定值，请求出定值：如果不是定值，请说明 理由. 19.(17分)已知函数f(x)=sinx,记f"(x)为函数f(x)在定义域内的导函数. a味适数=-宁在x[受上的最小位 (2)设F.(x)=[fx)+[f"(x)]”,n∈N，记F.()的最小值为a (i)当n∈N*,n≥2时，求使∑ln1+a)<M恒成立的实数M的最小正整数Mo: (ii)当m2=M。时，设G(x)=m)-f'(x),求函数G(x)在区间[0,100元上的零点个数. 试题第4页（共4页） 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D A B C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 会 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】(1)模型的拟合程度更好 (2). 【分析】（1）根据相关数据分别计算出和y的相关系数和x和v的相关系数，比较大小，即可得结论； （2）根据最小二乘估计公式求出相关参数，即可得答案. 【详解】（1）令，则可化为， ， 令，则可化为，即， 因为， 所以， 则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好.。。。。。。。。。。。。6分 （2）由（1）知，用模型比较合适， 令，则可化为，即， 所以， 因为，，所以， 则关于的回归直线方程为，所以.。。。。。。。。。。。。13分 16．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2025 【分析】（1）对两边取倒数并整理得，进而根据等比数列的定义即可判断； （2）先求得，利用错位相减法求解即可得到； （3）由，利用分组求和法得到，再令，得到足条件的最大整数. 【详解】（1）（1）由可得 即 数列是首项为，公比为的等比数列.。。。。。。。。。。。。4分 （2）由（1）知，则 两式相减， 。。。。。。。。。。。。9分 （3）由（1）知 则 即， ， 故满足条件的最大整数.。。。。。。。。。。。。15分 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在； 【分析】（1）连接，证明点为的中点即可证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）结合题意，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，利用坐标法求解即可； （3）设，则，利用点满足即可求解； 【详解】（1）证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点. 所以点为的中点， 又因为点为的中点， 所以， 又平面，平面 所以平面。。。。。。。。。。。。4分 （2）因为，为中点，所以，且， 过作平面，以为原点，分别为轴的正方向， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为。。。。。。。。。。。。10分 （3）设，则，， 由在平面内可知，即，解得， 所以存在点，当时，点在平面内.。。。。。。。。。。。。15分 18．（17分） 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）是定值， 【分析】（1）根据为的中点可求得顶点的坐标，从而可知，根据离心率可求得，进而可得椭圆方程. （2）（i）设出直线的方程及，利用根与系数的关系可得为定值；（ii）求出的横坐标，从而可根据纵坐标得到圆的方程，进而可得所求弦长的表达式，利用根与系数的关系化简即可求解. 【详解】（1）因为点的坐标为，且为的中点， 所以，即. 又离心率，所以， 所以， 所以椭圆的方程为.。。。。。。。。。。。。3分 （2）（i）因为直线过点，可设直线的方程为，， 由消去得. 所以，. 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以， 所以.， 将，代入得 ， 即为定值.。。。。。。。。。。。。9分 （ii）是定值. 因为，由两点式可得直线的方程为； 因为，，由两点式可得直线的方程为. 因为直线，交于点，所以， 将代入得， 整理得. 由得， 所以. 同理，直线的方程为，直线的方程为， 联立可解得， 因此，所以直线垂直于轴， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 令，可得. 将代入直线的方程得， 同理得. 则. 将代入得， 所以，解得， 故弦长为，是定值， 即以为直径的圆被轴所截得的弦长是定值，为.。。。。。。。。。。。。17分 19．（17分） 【答案】(1)0 (2)（ⅰ）2；（ⅱ）101个. 【分析】（1）先求导得，设，利用导数研究单调性进而求解； （2）（ⅰ）由，令，则，则， 设，利用导数研究单调性得函数取最小值，进而得最小值， 设，，利用导数求的最值，进而得在上恒成立，最后结合等比数列前项和公式即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）知，则，进而得，得，求函数的周期，利用导数研究函数的单调性结合零点存在定理，结合函数的周期性即可求解. 【详解】（1）由，且； ，；设， 因为，所以在上单增，即 单增， 又因为，所以时，单减， 时，单增； 所以；。。。。。。。。。。。。4分 （2）（ⅰ）因为，令，则，， 则，设，， 则， 当时，，又， 所以，所以，所以函数在上单调递减， 当时，，又，所以，所以，所以函数 在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为，所以最小值为，所以， 设，，则在上恒成立， 故在上单调递减，所以， 故在上恒成立， ； 又因为， 对任意，恒成立时， 所以的最小正整数值；。。。。。。。。。。。。10分 （ⅱ）由（ⅰ）知，则，，即，所以， 所以， 因为， 所以函数为周期函数，为函数的周期， 当时，，，所以， 当时，，，，， 函数在上没有零点， 当时，，，所以， 函数在上没有零点， 当时，， 令，则， 所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增， 又，，所以存在，，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以函数在上存在唯一零点，在上不存在零点， 又因为，故在上有2个零点， 结合函数的周期性可得函数在上的零点个数为101个.。。。。。。。。。。。。17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 ! 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 ! 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 ! 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C]D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][CI][D] 7[A][B[C][D] 製 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[AJ[B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 阳 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) C A B E D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) E 不B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 2．“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知双曲线，以其右焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．若函数的最小正周期为，且，的图象关于点对称，则（   ） A．1 B．0 C． D． 5．已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 6．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若，，M为正方形EFGH及其内部的动点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 7．已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在正方体中，P为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 10．已知抛物线的准线方程为，过C的焦点F的直线l交C于A，B两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则周长的最小值为6 C．若，则直线的斜率为 D．的最小值为16 11．记锐角的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 13．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 . 14．“三门问题”出自八九十年代美国的有奖类电视节目.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.其后主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门，是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， .②参考数据：. 16．（15分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项的和； (3)若，求满足条件的最大整数． 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点.    (1)求椭圆的方程； (2)斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值； （ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由. 19．（17分）已知函数，记为函数在定义域内的导函数. (1)求函数在上的最小值. (2)设，记的最小值为. （ⅰ）当时，求使恒成立的实数的最小正整数； （ⅱ）当时，设，求函数在区间上的零点个数. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.复数2=二5i 的虚部为() i-2 A.-2 B.-1 C.-i D.i 2.“a>0是关于x的不等式号<0的解集为x2<x<2的() X-2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、已知双由线。1a>06>0,以其石焦点FG0为圆心，2a为半径的圆与双曲线的两条渐近线 相切，则双曲线的离心率为() A.5 B.√2 C.2 D.5 4.若函数f=血ar+cos(a>0的最小正周期为1，且时<T<1,f(y的图象关于点 (1,0对称， 4 则f(2026)=() A.1 B.0 C.-1 D.-√2 5E加质数-未回在X间6低有员大位，又行品小位，测下列说法正雅花 () A.a有最小值 B.a有最大值 C.b有最小值 D.b有最大值 115 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图'给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵 爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若AE=3, DE=4,M为正方形EFGH及其内部的动点，则(MA+MB)·AB的取值范围是() G H B A.[-55,55] B. 22 C.[-7,7] 「77 D.22 7.已知A(2,0),B(-1,0),点P满足PA=2PB,点Q在圆C:(x+1)2+(y-4)2=1上运动，点M在直线 x-y-2=0上运动，则PM+OM的最小值为() A.5V2-3 B.6W2-3 C.√73-3 D.4W5-3 8.已知a,b,c均为正数，a=1+42,6=4+b(2-3),4c-logc+3),则a,b,c的大小关 a 系为() A.b<c<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在正方体ABCD-AB,CD中，P为BD的中点，则() A.PA⊥BC B.BC/平面PAB C.平面PAB,⊥平面PCB D.平面PAB⊥平面PCD 10.己知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,过C的焦点F的直线1交C于A,B两点，则下 列说法正确的是() A.p=2 B.设M(3,2),则△AM周长的最小值为6 C.若AF=3FB,则直线AB的斜率为±√3 D.|FA|+9|FB|的最小值为16 11.记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a2-2b2=c2,则() 215 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.c=4bcosA B.tan A=3tan B C.AB的最大值为后 D.tan Atan Btan C的最小值为6 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知面线f)-+a心os3r在点=写处的切线为y=:},则实数a的值为 13.已知数列{a,}是等比数列，数列b}是等差数列，若4，·a,a。=33,b+b,+b1=2π，则 5n么+6。的值是 4·4-1 14.“三门问题”出自八九十年代美国的有奖类电视节目.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有 一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊当参赛者选定了一扇 门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊其后主持人会问参 赛者要不要换另一扇仍然关上的门问题是：换另一扇门，是否会增加参赛者赢得跑车的概率如果严格按 照上述的条件，那么答案是（填“会”或者“不会”）换门的话，赢得跑车的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增 长，20212025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(x=1,2,3,4,5,其中2021年记为1， 2022年记为2，以此类推)满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： ∑4- ∑(4-(g-列 ∑（化-）心-) ∑-列 ∑-)2 =1 = =1 =1 374 230 6.3 144 1.6 注：4=x2,=lny(i=1,2,3,4,5) (1)设L和y的相关系数为5，x和v的相关系数为2，请从相关系数的角度，确定y=2+b和y=e+“ (其中a,b,,n均为常数，e为自然对数的底数)哪一个拟合程度更好： (2)根据(1)的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程 2(x-x)y-列 附：①相关系数= 回归直线)=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别 ∑(x-)6y-) 为b= 49 -,a=-b标 ②参考数据：√10≈3.16，√374≈19.34 3/5 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4 4a（neN). 16.(15分)已知数列{a,}的首项a=5,且满足a:30+ (1)求证：数列 日1为等比数列 求数列b,}的前n项的和Sn; a. ®活合女名女6，东满起张指的品人里数 17.(15分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB=AC=√5，BC=BB,=2,点D,E分别为BC,AC的 中点. C B E D (I)求证：DE/平面ABB,A; (2)求直线AC,与平面B,DE所成角的正弦值： ()在棱AC上是否存在一点P,使得点P在平面B,DB内？若存在，求二的值：若不存在，请说明理由. AC 415 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分)已知椭圆G:+上 京+存1a>b>0的离心率为，左、石顶点分别为A,B,点E的坐标为 (1,0),且E为OB的中点 (1)求椭圆G的方程： (2)斜率不为0的动直线I过点E交椭圆G于C,D两点，直线AC,BD交于点M,直线AD,BC交于点 N. ()设直线BC的斜率为k,直线BD的斜率为k2,证明kk,为定值； (ⅱ)以N为直径的圆被x轴所截得的弦长是否为定值？如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说 明理由 19.(17分)己知函数f(x)=sinx,记f'(x)为函数f(x)在定义域内的导函数. ①味西数8)=f0-+分在x[受+切上的最小值 (2)设F(x)=[f(x)了“+[f(x)],n∈N，,记F(x)的最小值为a. (i)当neN,n≥2时，求使∑ln1+a)<M恒成立的实数M的最小正整数M,: (ii)当m2=M。时，设G(x)=)-f'(x),求函数G(x)在区间[0,100π]上的零点个数. 515 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 2．“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知双曲线，以其右焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．若函数的最小正周期为，且，的图象关于点对称，则（   ） A．1 B．0 C． D． 5．已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 6．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若，，M为正方形EFGH及其内部的动点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 7．已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在正方体中，P为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 10．已知抛物线的准线方程为，过C的焦点F的直线l交C于A，B两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则周长的最小值为6 C．若，则直线的斜率为 D．的最小值为16 11．记锐角的内角的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线在点处的切线为，则实数的值为 ． 13．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 . 14．“三门问题”出自八九十年代美国的有奖类电视节目.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.其后主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门，是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下： 374 230 6.3 144 1.6 4 注：，. (1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； (2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程. 附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， . ②参考数据：. 16．（15分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项的和； (3)若，求满足条件的最大整数． 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点.    (1)求椭圆的方程； (2)斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值； （ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由. 19．（17分）已知函数，记为函数在定义域内的导函数. (1)求函数在上的最小值. (2)设，记的最小值为. （ⅰ）当时，求使恒成立的实数的最小正整数； （ⅱ）当时，设，求函数在区间上的零点个数. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $