精品解析：上海市古美高级中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷

古美中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 两条异面直线所成角的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是为. 故答案为：. 2. 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的方程求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角即可. 【详解】直线的方程为：， ， 直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， ，即， 直线的倾斜角为. 故答案为： 3. 已知球的表面积为,则该球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积． 【详解】设球半径为， ∵球的表面积为， ∴， ∴， ∴该球的体积为． 故答案为． 【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果． 4. 若直线：与直线：互相垂直，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两条直线互相垂直列式求解. 【详解】由直线：与直线：互相垂直，得， 所以. 故答案为： 5. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________. 【答案】1 【解析】 【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，则，解得：，又，解得：. 故答案为：1 6. 一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______． 【答案】 【解析】 【分析】经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的，第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为，再利用相互独立事件的概率乘法公式求得产品的正品率． 【详解】由题意可得，当经过这第一道工序出来的产品是正品，且经过这第二道工序出来的产品也是正品时，得到的产品才是正品．经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的． 第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为， 故产品的正品率为， 故答案为：． 7. 现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______． 95226000   49840128   66175168   39682927   43772366   27096623 92580956   43890890   06482834   59741458   29778149   64608925 【答案】14 【解析】 【分析】根据随机数表法的读取规则，即可求解. 【详解】由题意可知，第一支为01，以后依次为17，09，08，06，14，所以第6支水笔的编号为14. 故答案为：14 8. 已知正方形ABCD的边长是1，将沿对角线AC折到的位置，使（折叠后）A、、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定三棱锥体积最大时，二面角为，再根据边长求三棱锥的表面积. 【详解】在翻折过程中，三棱锥的底面始终是，故当二面角为时，三棱锥的体积最大， 如图，取的中点，连结，由题意可知，，， 则，且，所以， 所以和是边长为1的等边三角形，, 和是等腰直角三角形， 所以三棱锥的表面积为. 故答案为： 9. 已知点在直线上，则的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解即可. 【详解】可以理解为点到点的距离， 又∵点在直线上， ∴的最小值等于点到直线的距离， 且. 故答案为：. 10. 空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用长方体的体对角线的计算方法可求解. 【详解】这条线段可看作一长方体的体对角线，这个长方体的同一个顶点外的三个表面的面对角线为， 设长方体的长、宽、高分别为，则， 所以这条线段的长为. 故答案为：. 11. 某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米） 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的中心为，连接，得到平面，由三角形是正三角形，得到外接圆的半径为米，利用勾股定理求得米，设米，结合，即可得到对答案. 【详解】解：由正方体的棱长米， 因为平面平面，且平面，平面，平面， 如图所示，设正方体的中心为，连接，交平面于点，则平面， 在正方体中，底面是正三角形，其外接圆的半径为米， 又由勾股定理，可得米， 设米，因为点到平面的距离为2米， 所以米. 故答案为：. 12. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______. 【答案】## 【解析】 【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥，从而根据锥体体积公式求得结论. 【详解】由已知得，所以， 所以存在实数，使得不等式有解， 则有，解得， 又因为且，所以在方向上的数量投影是， 所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为，母线长为的圆锥， 故由构成的空间几何体的体积为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”， 由“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”，由此可确定选项. 【详解】若直线与平面内一条直线所成角的大小为，则直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线平行，直线与平面所成角的大小不一定为. 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”. 若直线与平面所成角的大小为，则直线与它在平面上的射影所成的角为，直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线与射影平行. 故“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”. 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的必要非充分条件. 故选：B. 14. 某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】先利用古典概型分析的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解. 【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列： 、、、、、、、， 因为从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为， 一共有8个数，所以比大的数有两个，则， 对于A，因为，所以第65百分位为第6个数，即，满足题意； 对于B，因为，所以第70百分位为第6个数，即，满足题意； 对于C，因为， 所以第75百分位为第个数的平均数，即，满足题意； 对于D，因为，所以第80百分位为第7个数，即，不满足题意. 故选：D. 15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ） A. 两个点数都是偶数 B. 至多有一个点数是偶数 C. 两个点数都是奇数 D. 至多有一个点数是奇数 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案. 【详解】由题意，事件为：两个点数都为奇数， 由概率指的是事件的对立事件的概率， 则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数. 故选：D. 16. 在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先过点作于点，连接，根据题意，得到即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，推出，进而可求出结果. 【详解】过点作于点，连接， 因为四棱柱为正方体，所以易得平面， 因此即为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，设，则，， 因为两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，所以， 因此， 所以， 因为，所以，则， 因此. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线面角的取值范围，熟记线面角的定义即可，属于常考题型. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． （1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； （2）若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 【答案】（1） （2）相互独立，证明如下： 一次抽取两张共包含6个基本事件， 事件，所以．． 事件所以． 事件所以， 因为，所以事件C和D相互独立． 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解概率即可； （2）根据事件独立的定义计算判断即可； 【小问1详解】 因为每次抽取都有4种可能，两次抽取相互独立， 共包含个基本事件 其中事件包含3个基本事件． 所以； 【小问2详解】 相互独立，证明略. 18. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知． （1）证明：； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） 因为底面，底面，所以， 又底面为长方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出底面和平面的法向量，代入空间二面角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，射线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 易知底面的一个法向量为，设为 ， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的大小为. 19. 为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动．活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）．已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据． （1）分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数； （2）从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率； （3）记甲组志愿服务时长的方差为；在甲组中增加一名学生得到“新甲组”，若的志愿服务时长为27，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；若的志愿服务时长为20，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；通过计算比较的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象． 【答案】（1）；； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义计算即可； （2）根据古典概型和分步乘法计数原理计算即可； （3）利用方差公式计算各方差，结合方差的统计意义解释即可. 【小问1详解】 因为，所以甲组学生服务时长的第70百分位数为； 因为，所以乙组学生服务时长的第70百分位数为； 【小问2详解】 因为甲组有9名学生，乙组有10名学生，根据分步乘法计数原理，从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，有种选取方法， 又甲、乙两组学生中各有3人的服务时长超过30小时，所以抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时有种选取方法， 记事件“抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时”，则， 故从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率为； 【小问3详解】 对甲组： 甲组9名学生服务时长的平均数为， 甲组志愿服务时长的方差为， 对新甲组1：，所以. 对新甲组2：，所以. 所以. 数学解释：由于甲组均值为27，方差反映了数据的离散程度，当增加数据27（原样本均值），数据相对更集中，所以方差变小；当增加数据20，数据更加分散，方差变大. 20. 如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，. （1）求直三棱柱的体积； （2）求证：面； （3）一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点，求小虫爬行的最短距离. 【答案】（1） （2） 连接，连接， 因为在正方形中，是的中点，而是边的中点， 则，又面，面， 所以面 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用柱体体积公式计算即可； （2）连接，借助三角形中位线，利用线面平行的判定推理可得； （3）分情况把点及点所在的几何体表面展开置于同一平面，求出两点间的距离并比较得解. 【小问1详解】 因为在直三棱柱中，，， ， 所以四边形为正方形，且，， 故直三棱柱的体积 【小问2详解】 略 【小问3详解】 (i)小虫从点沿爬到点，把矩形与置于同一平面内，如图，连接，交于点， 因为，是边的中点，所以是的中点，， 则， (ii)小虫从点沿爬到点，把正方形与置于同一平面内，或把正方形与矩形置于同一平面内，如图， ①在左图中，取中点，连接，显然、、、共线， 且，，，， 所以， ②在右图图中，，所以， (iii) 小虫从点沿爬到点，同(ii)， 因为，故小虫爬行的最短距离为. 21. 已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. （1）求点的坐标； （2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求的面积. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解； （2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程； （3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积. 【小问1详解】 解：直线的方程可化为， 令，解得，即点的坐标为. 【小问2详解】 解：当时，点到直线的距离最大， 此时直线的斜率与直线的斜率满足， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 解：令，可得，所以； 令，可得，所以，且， 可得， 所以 当且仅当时，等号成立， 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为； 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为， 综上可得，的面积为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 古美中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 两条异面直线所成角的范围是________． 2. 直线的倾斜角为______． 3. 已知球的表面积为,则该球的体积为______. 4. 若直线：与直线：互相垂直，则______． 5. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________. 6. 一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______． 7. 现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______． 95226000   49840128   66175168   39682927   43772366   27096623 92580956   43890890   06482834   59741458   29778149   64608925 8. 已知正方形ABCD的边长是1，将沿对角线AC折到的位置，使（折叠后）A、、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为______． 9. 已知点在直线上，则的最小值为________． 10. 空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为__________. 11. 某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米） 12. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要条件 14. 某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（ ） A. 65 B. 70 C. 75 D. 80 15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ） A. 两个点数都是偶数 B. 至多有一个点数是偶数 C. 两个点数都是奇数 D. 至多有一个点数是奇数 16. 在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为 A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． （1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； （2）若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 18. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知． （1）证明：； （2）求二面角的大小． 19. 为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动．活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）．已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据． （1）分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数； （2）从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率； （3）记甲组志愿服务时长的方差为；在甲组中增加一名学生得到“新甲组”，若的志愿服务时长为27，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；若的志愿服务时长为20，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；通过计算比较的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象． 20. 如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，. （1）求直三棱柱的体积； （2）求证：面； （3）一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点，求小虫爬行的最短距离. 21. 已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. （1）求点的坐标； （2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $