10.1分式的概念、基本性质寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学（知识归纳+题型解析+能力测试）

10.1分式的概念、基本性质寒假预习讲义（苏科版） ☞预习内容速览 1.课前预习★目标 2.基础知识★梳理归纳 3.聚焦题型★举一反三 4.能力提升★过关演练 ☘课前预习★目标 ●理解分式的定义，能准确区分分式与整式，明确分式 “分母含字母” 的核心特征； ●掌握分式有意义、无意义、值为 0的三个关键条件，并能根据条件求字母的取值范围； ●熟记分式的基本性质，理解 “分子分母同乘 / 除以同一个非零整式，分式值不变” 的本质； ●能运用分式基本性质进行简单的变形、约分、通分，提升代数运算的基础能力； ●感受 “分数→分式” 的知识连贯性，体会类比思想在数学学习中的应用. ⛳基础知识★梳理归纳 【知识点1分式的概念】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．其中A叫做分子，B叫做分母． ◆【重点提醒】 理解分式的概念，需注意以下三点： （1）分式的分母中必须含有字母； （2）分式的分母的值不为0； （3）分式必须写成两式相除的形式，中间以分数线隔开. 【知识点2分式有意义、无意义或等于零的条件】 1．分式有意义的条件：分母不等于零． 2．分式无意义的条件：分母等于零． 3．分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．（注意是同时） 【知识点3分式的基本性质】 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）． ◆【重点提醒】（1）在运用分式基本性质时，基于前提是M≠0； （2） 强调同时，分子分母都要乘以或者除以同一个非零的数字或者整式； （3） 分式的基本性质是约分和通分的理论依据. 【知识点4分式的变号法则】 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数． 【知识点5分式的约分，最简分式】 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式． 【知识点6分式的通分】 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． ✏聚焦题型★举一反三 【题型1分式的判断】 【例1】．下列式子中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义，是解题的关键．分式是指分母中含有字母的式子，根据定义判断即可． 【详解】解：分式要求分母中含有字母， 选项A分母π是常数，选项C不是分式形式，选项D分母5是常数，均不符合分式定义； ∵选项B分母中含有字母x， ∴选项B是分式． 故选：B． 【变式1】．下列各式，，，，，0中，是分式的有 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的定义， 根据“形如中，分母B中含有字母的式子叫做分式”解答即可. 【详解】解：分式有：. 故答案为：. 【变式2】．下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 【答案】甲、乙、丙三位同学回答错误，过程见解析 【分析】本题考查了分式的定义和分式有意义的条件，准确分析判断是解题的关键． 分式的分母表示除数，由于除数不能为，所以分式的分母不能为，即当时，分式才有意义，当时，分式无意义，即可得解； 【详解】为何值时，分式有意义？ 根据题意，得， 解得且， 即当且时，分式有意义，所以甲同学的解答错误； 式子是分式，所以乙同学的解答错误； 化简分式， 原式，所以丙同学的解答错误． 【题型2分式的规律性问题】 【例2】．观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式中的规律探究，观察可知，奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为，进行求解即可． 【详解】解：∵，，，，，… ∴奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为， ∴第10个式子是； 故选：D． 【变式1】．一组按规律排列的式子：，，，，，则第10个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，观察分子和分母的规律：分子为连续偶数，分母为的连续奇数次幂，由此推导第个式子的通项公式，从而即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：分子依次为2,，4，6，8，…，可表示为； 分母依次为，，，，，可表示为， 因此第个式子为， 当时，分子为20，分母为，故第10个式子为， 故答案为：． 【变式2】．阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，， (1)依照上述规律，则可列式_________，_________． (2)用含的式子表示你发现的规律：__________________． (3)求式子的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律，正确找出规律是解题的关键． （1）仿照题干中的例子进行计算即可； （2）观察（1）中的式子，用表示出该规律即可 （3）根据（2）中得到的规律将所求式子展开，观察发现，第一项和最后一项除外，中间的所有项都会相互抵消，据此进行计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，； （2）解：根据题干，结合（1）中的算式，可以观察得到规律为： 对于任意正整数，都有， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 则 ． 【题型3按要求构造分式】 【例3】．若，且，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式，分式的解法；根据题意列出方程组，再根据平方差公式整理得到，再结合题意即可求出． 【详解】解：由题意得： 解得： 整理得： ∵ ∴ 故选：A． 【变式1】．当时，请写出一个在此范围内有意义的最简分式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查最简分式和分母有意义的条件，根据题意，分式在 时有意义，因此分母应包含因式 ；同时要求分式为最简形式，即分子与分母无公因式，即可求得答案． 【详解】解：∵当 时，分母不为零，分式有意义， ∴构造分母为 的分式 ， ∵分子 与分母 互质，无公因式， ∴因此分式为最简分式． 故答案为： ． 【变式2】．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)两种小麦的单位面积产量分别是多少？ (2)试说明哪种小麦的单位面积产量高． 【答案】(1)“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为 (2)“丰收2号”单位面积产量高 【分析】本题主要考查分式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出分式． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量； （2）根据解析（1）得出结果，先比较与的大小，再得出分式的大小即可． 【详解】（1）解：由题意得，“丰收1号”单位面积产量为， “丰收2号”单位面积产量为． （2）解：且， ，，， ， ． “丰收2号”单位面积产量． 【题型4分式无意义的条件】 【例4】．若分式无意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式无意义即分母为零，即． 【详解】解：∵ 分式无意义， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 【变式1】．如果分式无意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，分母为零． 根据分式无意义的条件是分母为零可得，求解即可． 【详解】解：根据分式无意义的条件，可得分母，解得 ， 故答案为：． 【变式2】．（1）若分式有意义，则分母 0，则a应满足 ； （2）若分式没有意义，则分母 0，则x应满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有无意义的条件， 对于（1），根据分式有意义可知，可得答案； 对于（2），根据分式没有意义可得，可得答案. 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得； ∵没有意义， ∴， 解得. 故答案为：；；=，. 【题型5分式有意义的条件】 【例5】．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不为零，据此进行解答即可． 【详解】解：∵ 分式 有意义， ∴ 分母 ， 故选：C． 【变式1】．若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不为零，由此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得到，， 解得，， 故答案为：． 【变式2】．当取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)且 (3)为任意实数 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不等于零是分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件得到，进行计算即可得到答案； （2）根据分式有意义的条件得到，进行计算即可得到答案； （3）根据分式有意义的条件得到，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当分母，即时，有意义； （2）解：当分母，即且时，有意义； （3）解：当分母，即为任意实数时，有意义． 【题型6分式值为零的条件】 【例6】．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为0的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式的值为0需分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵ 分式值为0， ∴ 分子 且分母 . 解 得 . 当 时，分母 ，分式无意义； 当 时，分母 ，分式有意义. ∴ . 故选：C． 【变式1】．若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．若分式的值为0，则 x的值是？ 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得，，即可求解． 【详解】∵分式的值为0， ∴， ∴， ∴． 【题型7分式的求值】 【例7】．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 由已知等式直接求解比例关系即可． 【详解】解：由得，， 故选：D． 【变式1】．若 ，则 ． 【答案】 【分析】由已知比例 ，将所求表达式 拆分为 ，然后代入计算即可． 本题考查了分式的加减法，分式的化简，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) ， (2) (3) 或 【分析】（1）根据分式无意义的条件即可得到值，再根据，根据方程求解即可； （2）先把（1）中算出来，的值代入式子，再根据分式的值为1，求出的值，即可得出答案； （3）根据分式不等式解方程即可求解． 本题考查了分式的值、分式有意义和无意义的条件，根据分式的值求出字母的值及分式有意义是解题关键． 【详解】（1）解：时，分式无意义， ， 当时，得 ， 故答案为：，． （2）解： 将（1）中求的,代入分式得 由题可得：当时候，, 解得, 经检验，当时，原方程有解， 则， 故答案为：． （3）解：, ∴或 解得：或． 故答案为：或． 题型8求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例8】．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，求一元一次不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 分式的值为正数，分子5为正数，因此分母必须为正数，且分母不能为零． 【详解】解：∵分式的值为正数，且分子， ∴分母， 解得， 又∵分母，即，而已满足此条件， 故答案为：． 【变式2】．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式中根据分式的范围确定字母的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握同号得正，异号得负这一运算法则． 根据两数相除，同号得正，异号得负的法则，先确定分母的正负，判断分子的正负，即可得出x的取值范围． 【详解】解：代数式的值是正数， ， ， ． 【题型9求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 【变式1】．若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【详解】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 【变式2】．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)4，5，6，9 (3)；0；2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，分式的值，能得出方程组的解是解（3）的关键． （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为自然数，x为正整数，可得取6或3或2或1，即可求解； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或4或2或1，从而得到k取或0或2或3，再判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得： ， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为； 故答案为：； （2）解：∵为自然数，x为正整数， ∴取6或3或2或1， ∴x可取4或5或6或9． 故答案为：4，5，6，9； （3）解：解方程组得：， ∵方程组的解是正整数， ∴8是的倍数， ∴或4或2或1， ∴k取或0或2或3， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，整数的值为；0；2． 【题型10判断分式变形是否正确】 【例10】．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的变形，熟练掌握分式的基本性质和分式的求值是解题的关键． 通过简化分式或代入具体值验证每个选项的正确性，只有B选项的变形符合分式的基本性质． 【详解】解：A：，∴ A错误． B：，∴ B正确． C：取，，，不相等，∴ C错误． D：取，，，不相等，∴ D错误． 故选：B 【变式1】．计算：，括号内应填入： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行作答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2】．小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的通分． 根据分式的基本性质可知小强的错误是把分母去掉了，根据分式的基本性质通分即可． 【详解】解：小强的错误是把分母去掉了，不符合分式的基本性质． 改正如下： ，的最简公分母是， ，． 【题型11求使分式变形成立的条件】 【例11】．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 【变式1】．在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质进行变形即可； （2）根据分式的基本性质进行变形即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 【变式2】．当取何值时，等式成立？ 【答案】1 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到，且，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以，且， 所以， 所以当时，等式成立． 【题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例12】．若把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，将变量替换后化简比较即可，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：新分式为， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：A． 【变式1】．如果把分式：中的都扩大10倍，那么分式的值 ． 【答案】不变 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是根据分式基本性质分析分子分母的变化． 将和都扩大10倍后，代入分式计算，分子和分母均扩大100倍，比值不变． 【详解】∵将中的都扩大10倍， ∴扩大后分式为， 与原分式相等，故分式的值不变． 故答案为：不变． 【变式2】．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． （1）利用分式的基本性质，把分子负号放到分式外面，即可解答； （2）利用分式的基本性质，把分母负号放到分式外面，即可解答； （3）利用分式的基本性质，分子、分母同乘，即可解答； （4）利用分式的基本性质，把分子负号放到分式外面，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型13将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例13】．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【变式1】．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）分子，分母同时乘以，即可； （2）分子，分母同时乘以，即可； 【详解】（1）解：； （2） ． 【题型14将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例14】．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一排除即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 【变式1】．分式的分子和分母同时乘以2，得到 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个非零数，分式的值不变，据此进行求解即可． 【详解】解：分子乘以2得，分母乘以2得，因此得到的新分式为； 故答案为． 【变式2】．不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘以10即可． 本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：． 【题型15约分】 【例15】．化简分式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的性质，掌握分式的性质化简是关键． 分母利用平方差公式分解因式，然后约去公因式． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式1】．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了约分．通过约分化简分式，消去分子和分母中的公因式． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】．如图，计算与的面积比． 【答案】 【分析】本题考查了分式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据三角形的面积公式分别计算出两个三角形的面积，即可求出面积比． 【详解】解：由题意知， ，， ． 【题型16最简分式】 【例16】．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题关键．逐项检查每个选项是否可约分，即可得到答案． 【详解】解：A、，不是最简分式，选项错误； B、，不是最简分式，选项错误； C、，不是最简分式，选项错误； D、，是最简分式，选项正确； 故选：D． 【变式1】．在分式、、中，最简分式有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式，逐一判断各分式即可． 【详解】解：对于分式，分子和分母有公因式2，可约分为，故不是最简分式； 对于分式，分子和分母无公因式，故是最简分式； 对于分式，分子可因式分解为，分母可因式分解为， 故，故不是最简分式． 因此最简分式有1个． 故答案为1． 【变式2】．解关于的方程：． 【答案】时，方程有无数解；时， 【分析】本题考查了含参数的方程的求解，先将原方程化简，然后讨论是否为，若，则方程有无数解，若则方程有唯一解． 【详解】解： ， 当，即时，方程有无数解； 当，即时，，解得 【题型17最简公分母】 【例17】．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母是各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积，据此可得答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故选：D． 【变式1】．分式与的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是最简公分母，两个分式的分母分别为和，它们互质，因此最简公分母为它们的乘积． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 【变式2】．通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 【题型18通分】 【例18】．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴分式的分子应变为， 故选：A． 【变式1】．把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 【变式2】．求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【答案】，， 【分析】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法即可判断． 【详解】解：，，的最简公分母是， 通分后为，，． ✍能力提升★过关演练 一、单选题 1．若是分式，则不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键，分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式． 根据分式的定义，分母必须含有字母，否则不是分式. 检查各选项，只有C选项不含字母. 【详解】解：选项A： 含字母 ， 选项B： 含字母 ， 选项C： 中 是常数，不含字母， 选项D： 含字母 ， A、B、D选项中代数式的分母中均含有字母，因此它们是分式，不符合题意， 选项C中代数式的分母中不含有字母，因此它不是分式，符合题意． 故选：C． 2．如果分式无意义，那么x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件，要使无意义，只需令分母，求解x的值即可. 【详解】解：∵分式无意义时，分母为零， ∴， 解得. 故选：D． 3．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解： ∵ 代数式有意义， ∴ ，， ∴ 且 且， 故选：D． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可求出，把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 5．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式值的正负性，解一元一次不等式等知识点，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号． 根据分式的值是非负数，分母恒为正数，因此只需分子是非负数即可． 【详解】解：∵，的值是非负数， ∴，即． ∴的取值范围是． 故选：B． 6．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 7．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、分式的基本性质等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先用a表示b，然后代入运用分式的基本性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 8．如果把分式中的，都变为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．变为原来的 【答案】A 【分析】本题考查分式的性质．先将，都变为原来的2倍，然后根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解：中的，都变为原来的2倍，得： ， 这个分式的值不变，故A正确． 故选：A． 9．方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质，分子分母同时乘10即可化为整数． 【详解】解： 故选：B． 10．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立． 【详解】解：A：∵，， ∴ ，而， ∴，A错误． B：∵， ∴，而， ∴，B错误． C：左边分式分子分母同乘10，得 ，右边为， ∵分母不同， ∴除非，否则不相等，C错误． D：， ∵左边右边， ∴D正确． 故选：D． 11．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式要求分子与分母没有公因式；选项A有公因数2，选项B有公因式，选项D有公因式，选项C分子分母无公因式，故C为最简分式． 【详解】解：A选项中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式； B选项中分子分解为 ，与分母有公因式，可约分，不是最简分式； C选项中分子分母无公因式，是最简分式； D选项中分子分解为 ，与分母有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：C． 12．分式、、的最简公分母是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母的定义，解题的关键在于熟练掌握确定最简公分母的方法：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母因式连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 先把分母因式分解，再根据方法找出最简分母即可． 【详解】解：∵，，， ∴最简公分母是； 故选：A． 二、填空题 13．已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了分式化简求值和完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式将已知条件平方，通过展开并化简求解． 【详解】解：已知， ∴，展开得，， ∴， 故答案为：． 14．填空：若，则等式右边的分子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据，得分母，故等式右边的分子为，即可作答． 【详解】解：∵， ∴分母， 即等式右边的分子为， 故答案为：． 15．若分式的值为0，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零列出不等式组求解即可． 【详解】解：分式的值为0， 则有． 解方程，得或． 当时，分母，分式无意义，故舍去． 因此． 故答案为：． 16．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“”号： ． 【答案】 【分析】根据分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式中的符号法则． 18．若分式，、同时扩大为原来的倍，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，当和同时扩大为原来的倍时，设，，然后代入即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：设，，则新分式为 ， 故答案为：． 19．分式有意义，x的取值范围是 ；分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 3 【分析】此题考查了分式为0和分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．据此进行解答即可． 【详解】解：当分式 有意义时，分母， 故的取值范围是； 当分式的值为时， 需满足 ， 解得， 故的值为． 故答案为：， 20．填空： （1），括号内填写 ． （2），第一个括号内填写 ，第二个括号内填写 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解决本题的关键是根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不等于的数或整式． 根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘以，可得结果为； 根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时除以，可得结果为；根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘以，可得结果为． 【详解】解：根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘以， 可得：， 故答案为：； 根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时除以， 可得：， 根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘以， 可得：． 故答案为：，． 三、解答题 21．通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)， ， (2)，， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先对原分式的分母用提公因式法、平方差公式进行因式分解，求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母为， ， ， ； （2）解：，，， 最简公分母为， ， ， ． 22．判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 【答案】(1)是 (2)不是， (3)不是， 【分析】本题考查了最简分式的判断，将分式化为最简分式． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． （1）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （2）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （3）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可． 【详解】（1）是最简分式 （2）不是最简分式， （3）不是最简分式， 23．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的符号法则求解． （1）先将分式的分子分母按字母进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性质，将分子分母都乘以即可得到答案； （2）先将分式的分子分母均按字母进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 24．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式有意义，分式的值为零的条件，分式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求出的值，即可； （2）根据分式的值为正整数，且x为整数，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知：， ∵分式的值为正整数，且x为整数， ∴， ∴． 25．已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，平方根，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据被开方数大于等于和分母不为解出的值，然后求出的值； （2）代入x，y的值求出代数式的值，再利用平方根的定义解题． 【详解】（1）解：因为有意义， ∴， 解得：， ∴ （2）， ∴的平方根为． 26．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 27．在数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以． 所以． 根据材料解答问题： (1)已知，求及的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)11 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，正确理解题意利用倒数法求解是解题的关键． （1）利用倒数法可推出，再根据可求出的值，则可根据求出的值； （2）利用倒数法推出，，再把所求式子变形为，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 28．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1分式的概念、基本性质寒假预习讲义（苏科版） ☞预习内容速览 1.课前预习★目标 2.基础知识★梳理归纳 3.聚焦题型★举一反三 4.能力提升★过关演练 ☘课前预习★目标 ●理解分式的定义，能准确区分分式与整式，明确分式 “分母含字母” 的核心特征； ●掌握分式有意义、无意义、值为 0的三个关键条件，并能根据条件求字母的取值范围； ●熟记分式的基本性质，理解 “分子分母同乘 / 除以同一个非零整式，分式值不变” 的本质； ●能运用分式基本性质进行简单的变形、约分、通分，提升代数运算的基础能力； ●感受 “分数→分式” 的知识连贯性，体会类比思想在数学学习中的应用. ⛳基础知识★梳理归纳 【知识点1分式的概念】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．其中A叫做分子，B叫做分母． ◆【重点提醒】 理解分式的概念，需注意以下三点： （1）分式的分母中必须含有字母； （2）分式的分母的值不为0； （3）分式必须写成两式相除的形式，中间以分数线隔开. 【知识点2分式有意义、无意义或等于零的条件】 1．分式有意义的条件：分母不等于零． 2．分式无意义的条件：分母等于零． 3．分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．（注意是同时） 【知识点3分式的基本性质】 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）． ◆【重点提醒】（1）在运用分式基本性质时，基于前提是M≠0； （2） 强调同时，分子分母都要乘以或者除以同一个非零的数字或者整式； （3） 分式的基本性质是约分和通分的理论依据. 【知识点4分式的变号法则】 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数． 【知识点5分式的约分，最简分式】 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式． 【知识点6分式的通分】 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． ✏聚焦题型★举一反三 【题型1分式的判断】 【例1】．下列式子中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式，，，，，0中，是分式的有 ． 【变式2】．下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 【题型2分式的规律性问题】 【例2】．观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 【变式1】．一组按规律排列的式子：，，，，，则第10个式子是 ． 【变式2】．阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，， (1)依照上述规律，则可列式_________，_________． (2)用含的式子表示你发现的规律：__________________． (3)求式子的值． 【题型3按要求构造分式】 【例3】．若，且，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．当时，请写出一个在此范围内有意义的最简分式： ． 【变式2】．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)两种小麦的单位面积产量分别是多少？ (2)试说明哪种小麦的单位面积产量高． 【题型4分式无意义的条件】 【例4】．若分式无意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如果分式无意义，那么x的取值范围是 ． 【变式2】．（1）若分式有意义，则分母 0，则a应满足 ； （2）若分式没有意义，则分母 0，则x应满足 ． 【题型5分式有意义的条件】 【例5】．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式2】．当取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【题型6分式值为零的条件】 【例6】．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式1】．若分式的值为0，则的值为 ． 【变式2】．若分式的值为0，则 x的值是？ 【题型7分式的求值】 【例7】．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若 ，则 ． 【变式2】．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息． x的取值 1 分式的值 无意义 0 1 (1) ， ； (2)求出c的值； (3)当分式的值为正时，直接写出x的取值范围． 题型8求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例8】．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【变式2】．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【题型9求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【变式1】．若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式2】．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【题型10判断分式变形是否正确】 【例10】．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．计算：，括号内应填入： ． 【变式2】．小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 【题型11求使分式变形成立的条件】 【例11】．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【变式1】．在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填 ； ． 【变式2】．当取何值时，等式成立？ 【题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例12】．若把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 【变式1】．如果把分式：中的都扩大10倍，那么分式的值 ． 【变式2】．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型13将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例13】．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得 ． 【变式2】．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【题型14将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例14】．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．分式的分子和分母同时乘以2，得到 ． 【变式2】．不改变分式的值，将分式的分子分母化为整数． 【例15】．化简分式的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．化简： ． 【变式2】．如图，计算与的面积比． 【题型16最简分式】 【例16】．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在分式、、中，最简分式有 个． 【变式2】．解关于的方程：． 【题型17最简公分母】 【例17】．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．分式与的最简公分母是 ． 【变式2】．通分： (1)，； (2)，． 【题型18通分】 【例18】．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） 【变式1】．把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 【变式2】．求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． ✍能力提升★过关演练 一、单选题 1．若是分式，则不可以是（   ） A． B． C． D． 2．如果分式无意义，那么x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 6．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 8．如果把分式中的，都变为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．变为原来的 9．方程 的分母、分子都化为整数后的方程是（    ） A． B． C． D． 10．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 11．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 12．分式、、的最简公分母是 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知，则 ． 14．填空：若，则等式右边的分子为 ． 15．若分式的值为0，则实数的值为 ． 16．若，则的值为 ． 17．不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“”号： ． 18．若分式，、同时扩大为原来的倍，则分式的值为 ． 19．分式有意义，x的取值范围是 ；分式的值为0，则x的值为 ． 20．填空： （1），括号内填写 ． （2），第一个括号内填写 ，第二个括号内填写 ． 三、解答题 21．通分： (1)，，； (2)，，． 22．判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 23．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． (1)； (2)． 24．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 25．已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 26．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 27．在数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以． 所以． 根据材料解答问题： (1)已知，求及的值； (2)已知，求的值． 28．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $