8.1平方根（第2课时 算术平方根与平方根关系、算术平方根的性质及应用)（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

8.1平方根 第2课时 算术平方根应用 第八章 实 数 人教版（新教材） ·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 掌握平方根的性质，明确正数有两个平方根、0 的平方根是 0、负数没有平方根；能正确区分算术平方根与平方根的符号表示，会用符号表示一个数的平方根；能根据平方根的性质进行简单的计算（如求一个数的平方根、根据平方根求原数）。 通过类比算术平方根的定义，探究平方根的概念与性质，体会 “从特殊到一般” 的探究方法；借助实例对比算术平方根与平方根的区别与联系，提升分析、归纳能力；通过典型例题和真题练习，巩固知识应用，培养规范解题的习惯。 在探究过程中感受数学知识的连贯性与逻辑性，激发学习数学的兴趣；增强学好数学的自信心；培养严谨的数学思维和实事求是的科学态度。 1.平方根的概念: 一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根. 2.平方根的性质: ►一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. ►0的平方根还是0. ►负数没有平方根. 3.平方根的表示法: 4.算术平方根的概念: 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根. 知识回顾 如果x2=a 那么x叫做a的平方根 4 的算术平方根是多少？ 0 的算术平方根是多少？ -4 有算术平方根吗？ -4 没有算术平方根 导入新课 小明家有一块面积为 25 平方米的正方形花园，他想知道 “这个正方形花园的边长是多少？” （米） 花园的边长是25的算术平方根 （3）如果一个数的平方等于 25，这个数是多少？ ∵x2=25 ∴x是25的平方根 这个数是± （2）上面的问题，实际上是已知一个_____数的_______， 求这个正数的问题． 正 平方 （1）这个正方形花园的边长的平方等于 25，他想知道 “这个正方形花园的边长是多少？”那么边长可能还有其他值吗？ （米） 新知探究 探究点1 平方根与算术平方根的定义与性质 议一议 （1）平方根和算术平方根的定义是什么？你能举例说明吗？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 即如果，那么叫做a的平方根。 平方根定义 因为，，所以 5 和 - 5 都是 25 的平方根； 因为，所以 0 的平方根是 0； 因为任何数的平方都不是负数，所以 - 25 没有平方根。 示 例 算术平方根 一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 那么正数 x 叫做 a 的算数平方根 新知探究 探究点1 平方根与算术平方根的定义与性质 议一议 （2）平方根和算术平方根的符号如何表示？ 正数 a 正平方根记为： 负平方根记为： 算数平方根 （3）算数平方根具有双重非负性。 ①被开方数a一定是非负数，即a ≥ 0 ②算数平方根 也是一个非负数，即 0 记作：（读作 “正、负根号a” ） 被开方数 新知探究 探究点2 平方根与算术平方根的关系 议一议 算术平方根与平方根的区别与联系： 对比项目 算术平方根 平方根 定义 如果，则是a的算术平方根 如果，则是a的平方根 符号表示 个数 1 个 2 个（互为相反数） 取值范围 非负数（） 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根为一正一负、 0（0 的平方根） 联 系 具有包含关系 同一个正数的平方根包含算术平方根，算术平方根是这个正数正的平方根。 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 特殊值0 0的平方根与算术平方根均为0 新知探究 探究点3 算术平方根值的性质 做一做 （1）求下列各数的算术平方根: (l) 100; (2) (3) 0.0001. 被开方数越大，对应的算术平方根就越大， （2）你能得出被开方数与它的算术平方根有什么关系？ 解：（1)∵10²=100， ∴100的算术平方根是10， 即; (3)∵0.01²=0.0001, ∴0.0001的算术平方根是0.01, 即. (2）∵， ∴的算术平方根是, 即; 这个结论对所有正数都成立. 新知探究 探究点3 算术平方根值的性质 议一议 从大到小 从大到小 被开方数越大，对应的算术平方根也越大. ＞ 新知探究 探究点4 面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大? 议一议 怎样用两个面积为1dm²的小正方形拼成一个面积为2dm²的大正方形，这个大正方形的近长是多少? 学习任务单 （1）准备两个边长为1的小正方形把两个小正方形 （2）分别将小正方形沿对角线剪开， （3）将所得的4个直角三角形重新成大正方形 （4）大正方形面积多少?边长多少？ 新知探究 探究点4 面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大? 议一议 设大正方形的边长为x dm，则 x2=2 由边长的实际意义可知 所以大正方形的边长为 dm。 x = 小正方形的对角线的长是多少呢？ 怎样用两个面积为1dm²的小正方形拼成一个面积为2dm²的大正方形，这个大正方形的近长是多少? 学习任务单 （1）准备两个边长为1的小正方形把两个小正方形 （2）分别将小正方形沿对角线剪开， （3）将所得的4个直角三角形重新成大正方形 （4）大正方形面积多少?边长多少？ 确定 在哪 两 个连续的整数之间。 新知探究 探究点4 面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大? 议一议 有多大呢？ a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 因为 12=1，22=4 ，12< 2 < 22， 所以 1 4 新知探究 探究点4 面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大? 议一议 有多大呢？ a 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 a2 1.21 1.44 1.69 1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61 因为 1.42=1.96，1.52=2.25 ，1.42< 2 < 1.52 所以 1.96 2.25 确定 在哪 2 个连续的一位小数之间。 a 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 a2 新知探究 探究点4 面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大? 议一议 有多大呢？ 因为 1.412=1.9881，1.422=2.0164 ，1.412< 2 < 1.422， 所以 确定 在哪 2 个连续的两位小数之间。 1.9881 2.0164 2.0449 2.0736 2.1025 2.1316 2.1609 2.1904 2.2201 1.9881 2.0164 新知探究 探究点4 面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大? 议一议 有多大呢？ a 1.412 1.413 1.414 1.415 1.46 a2 因为 1.4142=1.999 396，1.4152=2.002 225 ， 1.4142 < 2 < 1.4152 所以 1.993 744 1.996 569 1.999 396 2.002 225 2.005 056 如此进行下去，可以得到 更精确的估计范围。 1.999 396 2.002 225 此种方法叫“逐次逼近法” 新知探究 探究点4 面积为2dm²的正方形边长是多少?它有多大? 议一议 （1）有多大呢？ 它是一个无限不循环小数。 ①小数位数无限； ② 小数部分不循环。 （2）你还见过哪些这样的数？ π 典例分析 例1：已知一个数的平方根是2x-3和x+6，求这个数 解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴(2x-3)+(x+6)=0 解得： x = -1 则2x - 3=-2-6 = -5，x + 6 = -1 + 6 = 5, 因为，所以这个数是 25. 例2.已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值。 解：因为，所以， 所以的整数部分a=2，所以小数部分 所以； 所以 新知巩固 (1) 0.09; (3) 52. 解： (2) 因为 = ， 所以 的算数平方根是 ， 即。 因为0.32=0.09， 所以0.09的算数平方根是0.3， 即 =0.3。 (3) 因为52=25， 所以52的算数平方根是5， 即 5。 1.求下列各数的算数平方根： (2) 教材P43 练习 新知巩固 2.求下列各式的值： 解： (1) (2)- (3) ± (1) (2) -= -0.8 (3) ± 教材P44 练习 新知巩固 3.排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为162m2。它的长与宽分别是多少？ 解：设长方形的宽是 x m，则长为2x m。 2x · x = 162 由长、宽的实际意义可知 x = 9 答：长方形的宽是9m，则长为18 m。 当x = 9时，2x=18 教材P44 练习 即 2x ² = 162 ∴x ² = 81 拓展提升 1.已知． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； （2）①当时， 即， 解得， ∴， ， ∴这个数为； (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 解：（1）∵的算术平方根为3， ∴， 解得； ②当时， 即， 解得， ∴， ， ∴这个数为， 综上所述，这个数为1或25． 真题感知 1．(2025.岳西质检)若一个正数m的两个平方根分别是和，求a和m的值． 解：根据题意可得： ， 解得：， ∴m=（ ）²=196 2.(2025.安庆校考)求式子中的值： 解 真题感知 3．(2025.揭阳质检)数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分”．张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． （1）解：∵，， ∴，． ∴，． ∴； 真题感知 3．(2025.揭阳质检)数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分”．张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． （2）解：∵， ∴， ∵x是一个整数，， ∴，， ∴． ∴原式． 课堂小结 (1)平方根的定义： 若，则是的平方根 (2)平方根的性质： 正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根； 符号表示：正数a的平方根为，算术平方根为 (3)无限不循环小数： 很多正有理数的算术平方根（例如3，5，6等）都是无限不循环小数,无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数 (4)算术平方根与平方根的联系： 算术平方根是平方根的非负部分。 知识总结： 课堂小结 (1)忽略被开方数的非负性，如求-4的平方根（错误，负数无平方根）； (2)混淆算术平方根与平方根， 如错误认为（表示算术平方根，等于 5）； (3)解决 “已知平方根求原数” 时，忘记平方 如已知平方根是 3，原数是，而非 3。 方法总结： (1)求一个数的平方根时，先判断被开方数是否为非负数，再根据平方运算逆推； (2)解决与平方根相关的含字母问题时，利用 “正数的两个平方根互为相反数” 或 “被开方数非负” 建立方程； (3)区分算术平方根与平方根时，可通过符号、个数、取值范围对比记忆。 易错提醒： 课后练习 课本P46页 3.判断题 (1) 是5的一个平方根；（ ） (2) (-3)2的算数平方根是-3；（ ） (3) 的平方根是±2；（ ） (4) 0的平方根与算数平方根都是0；（ ） √ × × √ (-3)2=9，9的算数平方根是3； 的平方根就是求2的平方根，结果是 ±； 习题8.1 课后练习 7.估算面积为3dm2的正方形的边长是多少分米(结果保留小数点后两位)。 解：由题意得正方形边长为 dm. 方法（对两个连续整数或小数用平方法逐步进行比较） 步骤 通过估算，确定 在哪两个连续的整数之间。 因为12=1，22=4，所以1＜ ＜2 通过估算，确定 在哪两个连续的一位小数之间。 因为1.72=2.89，1.82=3.24， 所以1.7＜ ＜1.8 通过估算，确定 在哪两个连续的两位小数之间。 因为1.732=2.999824，1.742=3.0276， 所以1.73＜ ＜1.74 通过估算，确定 在哪两个连续的三位小数之间。 因为1.7322=2.9929, 1.732=3.003289， 所以1.732＜ ＜1.733 答：正方形的边长为1.73dm。 课本P47页 习题8.1 课后练习 8.如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间t(单位：s)与钟摆长度l(单位:m)之间满足t=2 π 。当钟摆的长度为0.25m时，摆动一个来回所用的时间是多少秒？(π取3.14，g取9.8m/s2.结果保留小数点后两位) 解： 由题意得 答：摆动一个来回所用的时间是1秒。 t=2 π =2×3.14 ×1.00 课本P47页 习题8.1 课后练习 课本P49页 习题8.1 9.一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积扩大为原来的9倍呢？n倍呢？ 答:面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的2倍； 面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的3倍； 面积扩大为原来的n倍，边长变为原来的倍。 解:设正方形的边长为x，则面积为x2。 面积 x2 4x2 9x2 16x2 25x2 36x2 ··· nx2 边长 x 2x 3x 4x 5x 6x ··· 感谢聆听! $