8.1平方根（第1课时 平方根的概念)（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

8.1 平方根 第1课时 平方根 第八章 实 数 人教版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解平方根和算术平方根的定义，明确平方根存在的条件（被开方数为非负数）；掌握平方根和算术平方根的符号表示方法，能正确读写 和 ；能求非负数（含完全平方数、简单分数、小数）的平方根和算术平方根；了解平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根）。 通过逆用平方运算探究平方根，培养逆向思维和逻辑推理能力；经历 “观察实例→归纳定义→辨析概念→应用巩固” 的过程，提升抽象概括能力；借助数轴、表格等直观工具，加深对概念的理解，培养数形结合思想。 感受数学知识的连贯性，体会 “逆运算” 在数学探究中的作用；在概念辨析和问题解决中，培养严谨的思维习惯和实事求是的态度；激发对无理数的探索兴趣，为后续实数学习做好心理铺垫。 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星.v的大小满足v2=2gR，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8(单位:m/s2)，R是地球半径，R≈6.4x10°(单位:m).怎样求v呢?这就要用到平方根的概念. 章前引言 随着对于数的认识的不断深入，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长度值不是有理数，这就需要引入一种新的数一无理数.实际中对第二宇宙速度等的计算也要用到无理数. 章前引言 在本章中，我们将首先学习平方根与立方根；在此基础上引入无理数，把数的范围从有理数扩充到实数;然后类比有理数，引入实数在数轴上的表示和实数的运算，从中进一步感悟数系扩充的过程，并用这些知识解决一些实际问题. 导入新课 装修时需要一种正方形的瓷砖铺地面，已知瓷砖面积是 25 平方分米，这个正方形瓷砖的边长是多少分米？ 思考 面积 25 dm² （1）边长与面积的关系是什么？ 边长的平方 = 面积 （2）我们学过已知边长求面积，这是哪种运算？ 平方运算 （3）已知面积求边长，可以看成我们学过的哪种运算的逆运算？ 平方运算的逆运算 导入新课 思考 一个数的平方等于 9，这个数是多少？等于 16 呢？等于 0 呢？ （1）满足 “平方等于 9” 的数有几个？这两个数有什么关系？ （ ）² = 9 3 - 3 （ ）² = 16 （ ）² = 0 4 - 4 互为相反数 （ ）² = 9 （ ）² = 16 0 - 4 互为相反数 （2）有没有一个数的平方等于 - 4？为什么？ 没有一个数的平方等于 - 4 这种运算叫做开平方 所求的这个数称为原数的平方根 正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0 的平方是 0。 即在我们所认识的数中，任何数的平方都是非负数 新知探究 探究点1 平方根的定义 议一议 （1）根据以上发现，尝试填写表格。 x2 1 16 36 49 x ±1 ±4 ±6 ±7 ± 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作a的平方根或二次方根。 x2=a x叫作a的平方根 (±3)2 =9 ±3是9的平方根 平方根 （2）你能据此总结平方根的概念吗？ ∵ x² = a ∴ x叫做a的平方根 ∵ (±3)2 =9 ∴ ±3是9的平方根 新知探究 探究点1 平方根的定义 议一议 观察思考： 求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 ， 3 和 - 3 是 9 的平方根； ， 2 和 - 2 是 4 的平方根 0 是 0 的平方根 ， 1.5 和 - 1.5 是 2.25 的平方根 新知探究 探究点1 平方根的定义 议一议 观察下面数字并连一连，看看你有什么发现？ +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 平方 开平方 互为逆运算 根据互逆关系，可以求一个数的平方根。 平方 开平方 互为逆运算 平方与开平方互为逆运算 新知探究 探究点2 平方根性质探究 议一议 a -1 0 0.01 0.25 1 4 9 ··· a的平方根 0 ±0.1 ±0.5 ±1 ±2 ±3 ··· 学习任务单 （1）填写表格 （2）思考下列问题 ①一个正数有几个平方根？它们之间有什么关系？ ②0有平方根吗？如果有， 它是什么数？ ③负数有平方根吗？ （3）你有什么发现? 无 只有非负数才有平方根 新知探究 探究点2 平方根性质探究 归一归 平方根的性质： 1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 2、0只有一个平方根，是0本身. 3、负数没有平方根（非负数才有平方根） . 正数 0 负数 正数有两个平方根，它们互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根 新知探究 探究点3 平方根的表示方法 归一归 正数 a 正平方根记为： 负平方根记为： 被开方数 读作：“正、负根号 a ”. 即正数 a 的平方根表示为： － 0的平方根记为 。 读做“根号a” 读做“负根号a” 例 如 表示9的平方根 ∵（±3)²=9 ∴9的平方根是±3 即±= ±3 我们规定：正数的两个平方根分别记为和，其中叫做的算术平方根. 注意:0 的平方根和算术平方根都是 0 是 9 的算术平方根 新知探究 探究点3 平方根的表示方法 议一议 (1)表示什么意思？ ——的算术平方根，结果非负 (2)表示什么？ ——的负平方根，结果非正 (3)表示什么？ ——的两个平方根 被开方数必须是非负数（）， 否则是无意义。 表示的算术平方根，结果是5 表示的负平方根，结果是－5 表示的平方根，结果是±5 示例 新知探究 探究点4 算术平方根的非负性 议一议 算术平方根的结果有什么特点？ （ 数）， （ 数） . 正 正 算术平方根具有非负性， 即，（） 简单应用：判断下列说法是否正确： 是 5的算术平方根，结果为正数；（ ） ；（ ） .（ ） 正确 正确 错误 典例分析 例１ 求下列各数的平方根： (1) 64; (2) ; (3) 0. 01. 解： 注意：求平方根时需写 “”，算术平方根只写非负形式， （1）∵（±8)²=64， ∴64的平方根是±8; 即±= ±8 （2）∵（)²=， ∴的平方根是; 即±= （3）∵ (±0.1)²=0.01 ， ∴的平方根是; 即±= 典例分析 例2.下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由. (1) 0. 36; (2) -5; （3）（－4)². 解： （1）∵ 0.36 是正数， ∴ 0.36 有两个平方根 即±= ±0.6 （2）∵ -5是负数， ∴ -5没有平方根 （3）∵ (－4)²=16是正数， ∴ (一4)²有两个平方根 即 典例分析 例题3：判断下列说法是否正确，若不正确请说明理由： （1） -5 是 25 的平方根； （2）25 的平方根是 5； （3）； （4）0 没有算术平方根。 解： （1）正确（∵，负数可以是正数的平方根；） （2）错误（25 的平方根是，漏了负根）； （3）错误（表示 16 的算术平方根，结果为 4）； （4）错误（0 的算术平方根是 0）。 新知巩固 1.判断题。 (1) 1的平方根是1； (2) -1的平方根是-1； (3) 0.5是0.25的一个平方根； (4) 0的平方根是0； 解： (1) 错，因为1是正数，所以1有两个平方根，是±1。 (2) 错，因为-1是负数，所以-1没有平方根。 (3) 对，因为(0.5)2=0.25，所以0.5是0.25的一个平方根。 (4) 对。 教材P41 练习 新知巩固 2.求下列各数的平方根： (2) 62 (3) 0.49 解： (1) 教材P42 练习 （1）∵ =， ∴ 的平方根是; 即±= ± （1）∵ 62=36 ， (±6)2=36 ， ∴ 62的平方根是±6; 即±= ± （3）∵ (±0.7)2=0.49 ， ∴ 0.49的平方根是±0.7 即±= ± 新知巩固 3.求下列各式中x的值： (1) x2 = 25； (2) 9x2 = 4； (3) (x-1) 2 = 1； 解： (1)∵ x2 = 25， ∴x = ± 即 x = ±5。 (2)∵ 9x2 = 4 ∴x2 = ， ∴x = ± 即 x = 。 (3) ∵(x-1) 2 = 1， ∴x-1=±1， ∴ x-1=1或x－1=－1 ∴ x = 0 或 x = 2。 (±5) 2 = 25 = ， 教材P42 练习 拓展提升 1.若一个正数m的两个平方根分别是和，求a和m的值． 解：根据题意可得： ， 解得：， 互为相反数，和等于0 真题感知 1．（2025.宁波校考）若一个数的平方等于5，则这个数等于 ． 解:若一个数的平方等于5，则这个数等于5的平方根，即 ． 2.（2025.淮南统考）如果的平方根是，那么= ． 解:∵如果的平方根是， ∴a=16 ∴． 4 课堂小结 知识总结： a 的负平方根 (1)核心概念： 平方根（,则）、算术平方根（，非负）； (2)关键性质： 正数有两个平方根（互为相反数） 0 的平方根是 0 负数无平方根 算术平方根恒非负（） (3)符号意义： a 的平方根 a 的算术平方根 课堂小结 (1)求平方根步骤： 先判断被开方数是否为非负，再找平方等于该数的两个数（互为相反数）； (2)概念辨析方法： 紧扣定义、性质，从 “符号、个数、取值范围” 三个维度对比； (3)解题技巧： 遇到 “求一个算术平方根的平方根” 时，先算内层算术平方根，再算外层平方根。 方法总结： 课堂小结 (1)混淆平方根与算术平方根： 如将 “16 的平方根” 写成 4（遗漏负根）， 或把 “” 写成。 (2)忽略被开方数非负： 如认为“－4的平方根是士2”(负数无平方根）； (3)审题不清： 如“求的平方根”误算为(正确结果为); (4)符号书写错误： 如将“”写成“”(被开方数不能为负）。 易错提醒： 课后练习 课本P46页. 1.求下列各数的平方根: (1) 81; (3) 0.001 6. 解： 习题8.1 （2） （1）∵ =， ∴ 的平方根是; 即±= ± （2）∵ ＝ ， ∴ 的平方根是 ± 即±= ± （3）∵ (±0.04)2=0.001 6 ∴ 0.001 6的平方根是±0.04 即±= ±0.04 课后练习 2.求下列各数的算数平方根: (2) 0.04; (3) 102. 解： ∵ ＝ ， ∴的算数平方根是 ， 即 ＝ 。 (2) ∵0.22=0.04， ∴0.04的算数平方根是0.2， 即 ＝0.2 。 (3)∵=100， ∴102的算数平方根是10， 即 =10 。 (1) 习题8.1 课本P46. 课后练习 习题8.1 课本P47页. 6.求下列各式中x的值： (1) x2-100 = 0; (2) 25x2 = 36; (3) (x+2) 2 = 0.49. 解： (1) ∵ x2 -100 = 0 ∴x2 =100， 又∵(±10) 2 =100， ∴x =±10。 (3) ∵(x+2) 2 = 0.49， ∴ x+2=±0.7， ∴x = -2.7 或 x = -1.3。 (2) ∵25x2 = 36 ∴ 又∵ ∴ 谢谢聆听 $