第04讲 二次函数的性质及其应用（复习讲义，5考点18题型4重难）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数专题，覆盖图像性质、变换、实际应用等中考核心考点，构建“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测-重难突破”的系统复习架构，通过真题训练与方法指导帮助学生突破参数范围、最值问题等难点。 亮点在于“题型分类+重难突破”双轨设计，如铅锤法求面积、存在性问题探究等策略，培养学生数学思维与模型意识。分层练习（基础-提升-新趋势）配合限时训练，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生综合解题能力。

第三章函数 第04讲 二次函数的性质及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一二次函数的图像与性质 题型01 二次函数中参数的取值范围 题型02用待定系数法求二次函数解析式 题型03 根据二次函数解析式判断其性质 题型04 函数图像的综合判定 题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 题型06 二次函数对称 题型07 二次函数的最值问题 题型08 二次函数图像与性质综合 题型09 与二次函数图像与性质有关的新定义问题 命题点二二次函数的图像变换 题型01平移问题 题型02对称问题 题型03旋转问题 题型04折叠问题 命题点三二次函数的实际问题 题型01 图形面积问题 题型02 动态运动问题 题型03 最大利润问题 题型04 拱桥/投球/喷水问题 题型05 其它问题 05·重难突破·思维进阶难 28 突破一二次函数线段最值问题 突破二抛物线与坐标交点问题 突破三铅锤法求面积 突破四二次函数存在性问题 06·优题精选·练能提分 32 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数的形式 能根据实际问题情境列出二次函数表达式。 理解二次函数的三种表示形式（一般式、顶点式、交点式），并能进行相互转化。 二次函数的图像与性质 会用描点法画出二次函数的图像，能通过图像理解二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。 能根据二次函数的表达式分析图像的特征，并能利用图像判断系数的符号。 二次函数与方程、不等式 理解二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系，能利用函数图像求方程的近似解或不等式的解集。 能通过判别式判断二次函数图像与x轴的交点情况。 二次函数与实际问题 T12 T12 T12 能运用二次函数解决简单的实际问题，如面积、利润、运动轨迹等最值问题。 能根据实际问题的意义检验结果的合理性。 二次函数综合 T25 T25 T25 能综合运用二次函数与一次函数、几何图形（三角形、四边形、圆）、相似、全等、旋转、对称等知识解决复杂问题。 会探究动点背景下的存在性问题（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形），并能进行计算与证明。 命题预测 选择第12题会继续以实际问题为背景，结合动点、面积等考二次函数最值与分类讨论；解答第25题作为压轴题，会持续以二次函数与几何图形的综合为主，重点考察解析式求解、存在性探究、线段与面积最值。 备考建议 需熟练掌握二次函数的三种表达式与图像性质，重点突破函数与几何综合题的分析方法，通过总结常见模型来提升解题效率。 考点一 二次函数的相关概念 二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式：(a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 使用条件 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【解读】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 1．（205宝坻区模拟）判断下列是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025静海区模拟）已知函数是二次函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津红桥·模拟预测）二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： … … … … 有下列结论：① ；② 当时，函数的最小值为；③ 若点，点在该二次函数图像上，则；④ 方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 考点二 二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二次函数的图像特征与a，b，c及的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 1．（2024南开区模拟预测）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 2．（2025·河东区模拟预测）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·天津河北·模拟预测）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点三 二次函数的图像变换 1.二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h)2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 2.二次函数图像的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 1．（2025天津模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津西青·二模）在平面直角坐标系中，作抛物线关于轴对称的抛物线，再将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则抛物线所对应的函数解析式是(    ) A． B． C． D． 3．（2023·天津河北·一模）如图，一段抛物线为，与轴交于，两点，顶点为；将绕点旋转180°得到，顶点为；与组成一个新的图象.垂直于轴的直线与新图象交于点，，与线段交于点，且，，均为正数，设，则的最大值是（   ） A．15 B．18 C．21 D．24 考点四 二次函数的方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 1．（2023·天津河西·二模）抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C．和 D．和 2．（2024河东区模拟）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)结合图象填空： ①关于x的一元二次方程的解是 ； ②不等式的解集为 ． 考点五 二次函数与实际应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 1．（2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·天津河东·模拟预测）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 命题点一 二次函数的图像与性质 ►题型01 二次函数中参数的取值范围 二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2. 忽略二次项系数不能为0的限制条件. 【典例1】（2025滨河新区模拟）若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第 象限． 【变式1】（2025河东区模拟）若二次函数的图象经过原点，则为（   ） A．0 B．2 C． D． 【变式2】（2025北辰区模拟）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． ►题型02 用待定系数法求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 【典例2】（2025南开区模拟）如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】（2025红桥区模拟）若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025红桥区模拟）若抛物线（m为常数）经过点，则该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（　　） A．， B．， C．， D．， ►题型03 根据二次函数解析式判断其性质 【典例3】（2025天津模拟预测）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2021·天津河北·模拟预测）二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　） A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5） C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5） 【变式2】（2025·天津·模拟预测）已知二次函数． (1)直接写出对称轴和顶点坐标； (2)求出抛物线与轴的交点坐标； (3)当时，求的取值范围． ►题型04 函数图像的综合判断 解决函数图像共存问题，一般从图像入手，根据图像分析出相应的结论，如相应系数的正负、图像是否过某点等，再观察上述结论是否会与所给的解析式产生矛盾，进而得解. 【典例4】（2025天津模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C．D． 【变式1】（2024·天津红桥·一模）已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C．D． 【变式2】（2025河西区模拟）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． ►题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 【典例5】（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】（2024·天津南开·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ►题型06 二次函数对称 【典例6】（2025河西区模拟）若抛物线经过点，四个点，则m 的值为 ． 【变式1】（2025宝坻区模拟）已知点，在函数的图像上，比较的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025河西区模拟）如图是抛物线的部分图像，对称轴为直线，图像与轴一个交点为，图像与轴的另一个交点坐标为 ． 【变式3】（2025武清区模拟）若抛物线经过和两点，则 ． ►题型07 二次函数的最值问题 【典例7】（2021·天津南开·二模）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式1】（2024和平区模拟预测）已知二次函数 （是常数）的图象经过点，求这个二次函数的解析式和这个二次函数的最小值． 【变式2】（2024西青区模拟）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． ►题型08 二次函数图像与性质综合 【典例8】（2025天津市模拟预测）如图，已知点在二次函数的图像上，且． (1)若二次函数的图像经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，求顶点到的距离； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 【变式1】（2024·天津·模拟预测）某同学在一次物理实验中测得一组数据现要对这组数据进行处理，得到结果x，问当怎样进行数据处理，才能使得处理后的数据更准确？即x取何值时，才能使得方差 最小？ 【变式2】（2025·天津南开·二模）已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点在抛物线上，抛物线与轴相交于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，为坐标原点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的值和线段的长； (3)抛物线上点的横坐标，当时，满足，且，垂足为点．直接写出此时的值和点的坐标． ►题型09 与二次函数图像与性质有关的新定义问题 【典例9】（2025天津模拟预测）实数和，若，我们定义，比如．已知关于的函数，下列结论：①函数图象经过原点；②若，则方程有三个不等实根；③若，则时，有最小值3；④若时，的值随的值增大而增大，则．其中正确的结论是 （填写序号）． 【变式1】（2025天津河东区模拟）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，函数的最大值为4D．关于的方程的所有实数根的和为4 【变式2】（2025·河西区·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 命题点二 二次函数的图像变换 ►题型01 平移变换 【典例1】（2023·天津东丽·一模）如图，四边形的坐标分别为，，，. (1)求四边形的面积； (2)将沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点、、，设平移时间为t秒，当点与点A重合时停止移动，若与四边形重合部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式. 【变式1】（2023·天津西青·二模）已知抛物线（，为常数，）过点，顶点为点． (1)当时，求此抛物线顶点的坐标； (2)当时，若的面积为，求此抛物线的解析式； (3)将抛物线向左平移1个单位，向下平移个单位，得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，求平移后抛物线的解析式． 【变式2】（2025天津建华一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴左侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，连接交y轴于点M，平移后的抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，直接写出符合条件的N点坐标，若不存在，请说明理由． ►题型02 对称变换 【典例2】（2024·天津武清·三模）已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． (1)若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时， 求b的值； (3)若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 【变式1】（2024·天津西青·二模）已知抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左边），与y轴交于点，顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点B，点D的坐标； (2)连接，点P是抛物线上一点（点P与点均不重合），当时，求点P的坐标； (3)已知点M与点C关于抛物线的对称轴对称，点Q是抛物线上点D至点M之间的一个动点（点Q与点D，点M均不重合），其横坐标为t，过点M作直线轴，过点D作直线轴，直线与直线l交于点N，连接并延长交直线于点G，连接并延长交直线l于点H，求式子的值． 【变式2】（2023·天津河北·一模）已知抛物线（b，c是常数）的顶点为P，经过点，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若将该抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为，求的最大值； (3)若抛物线的对称轴为直线，M，N为抛物线对称轴上的两个动点（M在N上方），，，连接，，当取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N，求新抛物线的函数解析式． ►题型03 旋转变换 【典例3】（2025滨河新区模拟）已知顶点为B（1，1）的抛物线C1：与y轴交于点A（0，2）． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线的图象绕点C（）旋转180°得到抛物线，点P是抛物线上的一动点，求△PAB的面积的最小值； (3)抛物线关于直线x＝m的轴对称图象交直线y＝x+1与E，F两点，且，求m的取值范围． 【变式1】（2025·天津模拟预测）如图，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线绕点B逆时针方向旋转，点，为点M，A旋转后的对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：点A，M，在同一条直线上； (3)若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025天津模拟预测）已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，若使最大，求点的坐标和此时的最大面积； (3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． ►题型04 折叠变换 【典例4】（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式1】（2025·天津和平·三模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设．    (1)填空：如图①，当时，点的坐标为          ，点的坐标为          ； (2)如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； (3)若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式2】（2025·天津·二模）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点，点C在第一象限，与y轴交于点G，P为线段上一点，过点P作直线l交于点Q，，沿直线折叠该纸片，折叠后点A，D的对应点分别为，． (1)填空：如图①，当点P与点O重合时，点Q与点D重合，则点C的坐标为______，点的坐标为______； (2)设折叠后与矩形重叠部分的面积为S．设． ①如图②，当折叠后四边形与矩形重叠部分为五边形时，与交于点F，与交于点E，试用含t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式3】（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 命题点三 二次函数与实际问题 ►题型01 图形面积问题 求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 【典例1】（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2024滨河新区模拟）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论：①x的取值范围为；②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（2024西青区模拟）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的墙一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为．    (1)用含有的代数式表示为______； (2)若矩形花圃的面积为，求边的长． (3)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． ►题型02 图形运动问题 【典例2】（2025天津八十二中一模）如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2025塘沽六中模拟）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 ►题型03 最大利润问题 利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 【典例3】（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2025·天津和平·三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（2025河西区模拟）某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨1元，月销售量就减少． (1)当销售单价定为52元时，月销售量为________；销售利润为________元； (2)设售价为元，当定为多少元时会获得最大利润？并求最大利润． ►题型04 拱桥/投球/喷水问题 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 【典例4】（2024·天津南开·一模）如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论：①当水面宽度为时，水面下降了；②当水面下降时，水面宽度为；③当水面下降时，水面宽度增加了．其中，正确的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球运动时的高度小于运动时的高度．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（2024·天津·模拟预测）如图所示，足球从距离地面5米处的空中沿x轴方向抛射，在距离初始发射位置米处第一次落地，经地面反弹后，在米时第二次达到最大高度3米，此后足球第二次落地，已知整个过程足球的运动轨迹都是抛物线，根据图中的信息，回答以下问题： (1)当_____米时，足球距离地面的高度最大；当_____米时，足球第二次落地； (2)当足球距离地面的高度小于2米时，位置x的范围是________． 【变式3】（2025河西区模拟）如图所示是一个音乐喷泉的示意图，在点O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱为抛物线（记为抛物线M，N），且形状相同，喷出的抛物线形水柱在与水管的水平距离为处达到最高，最大高度为，水柱落地处与水管的水平距离为，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求水管的高度； (2)若在第一象限竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与水管的水平距离； ②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少米？ ►题型05 其它问题 【典例5】（2025南开模拟预测）2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足二次函数关系． 在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)根据表中数据，直接写出的值为__________，跳水的最大高度为__________． (2)求满足的二次函数关系式； (3)在（1）（2）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 【变式1】（2025和平区模拟预测）通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度与时间满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系（为常数，），如表格记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 … 0 7 12 15 16 15 … 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填空：该患者第一次服用该药后___________的血药浓度最高为___________； ②求该患者第一次服用该药后的血药浓度关于时间的函数解析式； (2)两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，当血药总浓度超过时，该药会引起中毒．该患者第一次和第二次服药间隔的时间为，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由． 【变式2】（2025河北区模拟预测）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 任务一 如图2，以碗底的中点为原点，以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 任务二 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时碗内水面的宽度． 【变式3】（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用元，其中，纯净水的销售价（元桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示关系． (1)求与的函数关系式； (2)若该班每年需要纯净水桶，且为时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？ (3)当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你有何感想？（不超过字） 突破一 线段最值问题 【典例1】（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 【变式1】（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 【变式2】（2023·天津·中考真题）已知抛物线 ，为常数， 的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【变式3】（2025·天津和平·一模）已知抛物线（b，c是常数，）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点E． (1)若， ①求点D的坐标； ②点P是线段上一点，当时，求点P的坐标； (2)若，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．当取最大值时，点M恰好落在抛物线上，求c的值． 突破二 抛物线与坐标轴交点问题 【典例2】（2025·天津和平·一模）已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 【变式1】（2024·湖北武汉·一模）如图，抛物线：经过点和点．已知直线的解析式为．． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图1，若直线将线段AB分成1：3两部分，求k的值； (3)如图2，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为． ①直接写出新图象，当y随x的增大而增大时x的取值范围； ②直接写出直线与图象有四个交点时k的取值范围． 【变式2】（2023·天津东丽·二模）抛物线与轴交于点，，与轴交于点，抛物线顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点的坐标； (2)为抛物线对称轴上一点，为轴上一点，且，当点在线段上（含端点）运动时，求的取值范围． 突破三 铅锤法求面积 【典例3】（2024·天津西青·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【变式1】（2023·天津河西·一模）如图所示，在等腰△ABC中，，以底边的垂直平分线和所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A，B两点．    (1)写出点A，B的坐标． (2)若一条与y轴重合的直线以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段，和抛物线于点E，点M和点P，连接，．设直线移动的时间为t（）秒，求四边形的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形的最大面积． (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 突破四 二次函数存在性问题 【典例4】（2025和平区一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、、三点的坐标； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025天津市模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 【变式2】（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式4】（2023·天津红桥·三模）已知拋物线（为常数，）经过点，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，在该拋物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)为轴上方拋物线上的动点，过点作直线，分别交抛物线的对称轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，调求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式5】（2022·天津和平·三模）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点，抛物线与x交于点和B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点和点． (1)求抛物线的解析式及点B坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使的值最小，求点E的坐标； (3)若F为抛物线对称轴上的一个定点， ①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离相等，求点F的坐标； ②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使最小，若存在，求出点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 1．（2024·天津南开·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于x的方程的一个根为4，那么该方程的另一个根为（） A． B． C．1 D．3 2．（2024·河西区·二模）下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（） A． B． C． D． 3．（2020·天津和平·一模）已知二次函数（是常数）的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 4．（2024蓟州模拟预测）如图，拋物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（） A． B． C． D． 5．（2025南开区模拟预测）二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶ x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·天津和平·三模）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论：①的长可以是；②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；③矩形菜园的面积的最大值为；④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积．其中，正确结论的个数是（　　） A．l B．2 C．3 D．4 7．（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2025·天津滨海新·模拟预测）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为． 9．（2025·湖南长沙·一模）从五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则二次函数图象开口向上的概率是． 10．（2024·天津红桥·一模）若二次函数(k为常数)的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是． 1．（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（） A．B． C． D． 2．（2025·天津·模拟预测）已知抛物线经过点．有以下结论：①；②该抛物线一定经过；③点在抛物线上，且，则；④若是方程的两个根，其中，则．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·天津南开·二模）如图，正三角形的边长为1，是线段上一点，过作边的垂线，垂足为点． 有下列结论： ①当点在线段上时，的长可以为； ②当点为线段中点时，的面积达到最大值，最大值为； ③点在线段上有两个位置满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024·天津河西·二模）已知菱形，，，点，，，分别在菱形的四条边上，．连接．有下列结论：①四边形是矩形；②长有两个不同的值，使得四边形的面积都为；③四边形面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024·天津和平·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其对称轴是直线，当时，与其对应的函数值．有下列结论： ①； ②若点，，均在函数图象上，则； ③若方程的两根为，且则； ④． 其中，正确结论的个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025·天津·一模）已知矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．交y轴于点M． (1)如图①，求的大小及的长； (2)将矩形沿y轴向上平移，得到矩形，点O，D，E，F的对应点分别为．设． ①如图②，直线与x轴交于点N，若，求t的值； ②若矩形与矩形重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）． 7．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形中，且，，点，点在轴正半轴上，且． (1)填空：如图①，点的坐标为，点的坐标为； (2)将沿轴水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为． ①如图②，当边与交于点，边与交于点，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 8．（2025·天津河东·模拟预测）抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于，点． (1)若， ①求抛物线的解析式和点的坐标； ②点为第二象限的抛物线上一点，过点作轴，交于点，作轴于点，当时，求点的坐标； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，点为线段上一点，过点作直线于点，当的面积的最大值为时，求点的坐标． 9．（2025·天津红桥·二模）已知抛物线（b为常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)当时，求点P的坐标； (2)直线与x轴相交于点D，当时，求b的值； (3)M为线段上的动点，若取得最小值时，求b的值． 1．（2025·福建·中考真题）已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（） A．18 B．16 C．20 D．24 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（） A．B．C． D． 3．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 4．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（） A． B． C． D． 5．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 7．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是． 9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 10．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 11．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章函数 第04讲 二次函数的性质及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 16 命题点一二次函数的图像与性质 题型01 二次函数中参数的取值范围 题型02用待定系数法求二次函数解析式 题型03 根据二次函数解析式判断其性质 题型04 函数图像的综合判定 题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 题型06 二次函数对称 题型07 二次函数的最值问题 题型08 二次函数图像与性质综合 题型09 与二次函数图像与性质有关的新定义问题 命题点二二次函数的图像变换 题型01平移问题 题型02对称问题 题型03旋转问题 题型04折叠问题 命题点三二次函数的实际问题 题型01 图形面积问题 题型02 动态运动问题 题型03 最大利润问题 题型04 拱桥/投球/喷水问题 题型05 其它问题 05·重难突破·思维进阶难 100 突破一二次函数线段最值问题 突破二抛物线与坐标交点问题 突破三铅锤法求面积 突破四二次函数存在性问题 06·优题精选·练能提分 133 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数的形式 能根据实际问题情境列出二次函数表达式。 理解二次函数的三种表示形式（一般式、顶点式、交点式），并能进行相互转化。 二次函数的图像与性质 会用描点法画出二次函数的图像，能通过图像理解二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。 能根据二次函数的表达式分析图像的特征，并能利用图像判断系数的符号。 二次函数与方程、不等式 理解二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系，能利用函数图像求方程的近似解或不等式的解集。 能通过判别式判断二次函数图像与x轴的交点情况。 二次函数与实际问题 T12 T12 T12 能运用二次函数解决简单的实际问题，如面积、利润、运动轨迹等最值问题。 能根据实际问题的意义检验结果的合理性。 二次函数综合 T25 T25 T25 能综合运用二次函数与一次函数、几何图形（三角形、四边形、圆）、相似、全等、旋转、对称等知识解决复杂问题。 会探究动点背景下的存在性问题（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形），并能进行计算与证明。 命题预测 选择第12题会继续以实际问题为背景，结合动点、面积等考二次函数最值与分类讨论；解答第25题作为压轴题，会持续以二次函数与几何图形的综合为主，重点考察解析式求解、存在性探究、线段与面积最值。 备考建议 需熟练掌握二次函数的三种表达式与图像性质，重点突破函数与几何综合题的分析方法，通过总结常见模型来提升解题效率。 考点一 二次函数的相关概念 二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式：(a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 使用条件 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【解读】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 1．（205宝坻区模拟）判断下列是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐一判断各选项是否符合定义即可． 【详解】解：A、，若，则不是二次函数，故A不一定正确； B、，最高次项为，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； D、，符合二次函数定义，是二次函数，此选项符合题意． 故选：D． 2．（2025静海区模拟）已知函数是二次函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次项系数不为0是解题的关键．根据二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：函数是二次函数， ， ， 故选：． 3．（2024·天津红桥·模拟预测）二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： … … … … 有下列结论：① ；② 当时，函数的最小值为；③ 若点，点在该二次函数图像上，则；④ 方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据表格运用待定系数法求得二次函数的解析式，再根据二次函数的图像与系数之间的关系逐个判断即可． 【详解】解：将（4，0）（0，4）（2，6）代入y=ax2+bx+c得， ，解得，， ∴抛物线的关系式为：y=x2+3x4，a=1＞0，因此①正确； ∵y=x2+3x4 ∴对称轴为x= ，即当x=时，函数的值最小，因此②不正确； 把（8，y1）（8，y2）代入关系式得，y1=64244=36，y2=64+244=84，因此③正确； 方程ax2+bx+c=5，也就是x2+3x4=5， 即方程x2+3x+1=0，由b24ac=94=5＞0可得x2+3x+1=0有两个不相等的实数根，因此④正确； ∴正确的有：①③④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的图像和性质等知识点，理解和掌握二次函数图像与系数的关系是正确解答本题的关键． 考点二 二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二次函数的图像特征与a，b，c及的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 1．（2024南开区模拟预测）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 2．（2025·河东区模拟预测）已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，增减性，图象的开口方向． 先求出该二次函数的对称轴，开口方向，点的对称点，根据对称性增减性即可进行分析解答． 【详解】解：∵ ， ∴函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大， ， ∴． 故答案为：B． 3．（2024·天津河北·模拟预测）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据函数轴无交点即可判断①，根据当时，，即可判断②，当时，，即可判断③，当时，二次函数值小于一次函数值，则，即可判断④. 【详解】∵函数轴无交点，∴；故①错误． 当时，，故②正确． ∵当时，， ∴．故③错误． ∵当时，二次函数值小于一次函数值， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论有②④两个， 故选：B． 考点三 二次函数的图像变换 1.二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h)2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 2.二次函数图像的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 1．（2025天津模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把配成顶点式，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为： 故选：B 【点睛】考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 2．（2025·天津西青·二模）在平面直角坐标系中，作抛物线关于轴对称的抛物线，再将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则抛物线所对应的函数解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得抛物线C的顶点，进而可得抛物线B的顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项系数不变可得抛物线B的解析式，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得抛物线A所对应的函数表达式 【详解】易得抛物线C的顶点（-1，-1）， ∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C， ∴抛物线B的顶点坐标（1，-2）， 可设抛物线B的解析式为y=2+k，代入得y=2-2， 易得抛物线A的二次项系数为-2，顶点坐标为（1,2）， ∴抛物线A的解析式为y=-2+2， 故正确答案为D. 【点睛】此题主要考查二次函数图像的平移问题，只需看顶点坐标的如何平移得到即可；关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标相反，二次项系数互为相反数 3．（2023·天津河北·一模）如图，一段抛物线为，与轴交于，两点，顶点为；将绕点旋转180°得到，顶点为；与组成一个新的图象.垂直于轴的直线与新图象交于点，，与线段交于点，且，，均为正数，设，则的最大值是（   ） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】B 【分析】先求出绕点旋转180°得到的解析式，再根据，，均为正数且和最大，则可以得到l应在x轴的下方，根据二次函数的对称性可知x1+x2=12，由3≤x3≤6，推出x1+x2+x3的范围即可解决问题； 【详解】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x-6）2-9=x2-12x+27， ∵设x1，x2，x3均为正数， ∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限， 根据对称性可知：x1+x2=12， ∵3≤x3≤6， ∴15≤x1+x2+x3≤18，即15≤t≤18， ∴的最大值是18 故选B． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 考点四 二次函数的方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 1．（2023·天津河西·二模）抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】令，求出x的值，即可得出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点，熟练掌握抛物线与x轴交点的纵坐标为0是解题的关键． 2．（2024河东区模拟）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于和D两点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)结合图象填空： ①关于x的一元二次方程的解是 ； ②不等式的解集为 ． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）由图象可知抛物线顶点为，故设抛物线解析式为，代入点即可求得a的值； （2）根据抛物线的对称性求得点，的对称点，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：由图象可知抛物线顶点为， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵抛物线对称轴为直线， ∴关于直线的对称点是， ∴关于x的一元二次方程的解是； 故答案为：； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴的对称点是， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 考点五 二次函数与实际应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 1．（2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【详解】解：边长为，则边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过，， 故①正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得， 解得或， ∵ ∴的长有一个值满足菜园面积为， 故②错误； 设菜园面积为， 根据题意得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 菜园面积不能为， 故③正确； ∴正确的结论有个， 故选：B． 2．（2025·天津河东·模拟预测）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①； 设定价增加元，则定价为元，房间数为个，根据题意列出方程求解即可；设利润为w，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】结论①：定价增加30元，即定价为元， 每增加10元，空闲房间数增加1个， 故增加30元对应空闲3个，居住房间数为个，故①结论正确； 结论②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个． 根据题意得， 解得或． 当时，对应定价为元（超过360元上限）， ∴，故②结论错误； 结论③：设利润为w，根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵ ∴ ∴当， ∴最大利润为：元，故③结论错误． 综上，仅结论①正确，正确个数为1． 选B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意得，， 当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误． ，且当时，， 蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确． 令， ． 或． 的图象开口向下， 蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确． 综上，正确的有①③，共2个． 故选：C． 命题点一 二次函数的图像与性质 ►题型01 二次函数中参数的取值范围 二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2. 忽略二次项系数不能为0的限制条件. 【典例1】（2025滨河新区模拟）若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了根据二次函数的定义求参数，根据二次函数的定义，指数部分必须为2且系数不为零，解出k的值，再代入一次函数解析式，分析其图像所经过的象限． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ∴一次函数为， ∵， ， 图像经过第二、第三和第四象限，不经过第一象限， 故答案为：一． 【变式1】（2025河东区模拟）若二次函数的图象经过原点，则为（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件． 根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，再根据二次项系数不能为零对m进行取舍． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得，整理得， 解得， ∵该函数为二次函数， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【变式2】（2025北辰区模拟）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)； (2)且 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【详解】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且 ►题型02 用待定系数法求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 【典例2】（2025南开区模拟）如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值，再由二次函数图象开口向上即可得出结果． 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得， 由图象得：开口向上， ， 故． 故选：A． 【变式1】（2025红桥区模拟）若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据顶点坐标设抛物线解析式为，再代入点，求出系数，问题得解． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴设解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴解抛物线析式为． 故选：A 【变式2】（2025红桥区模拟）若抛物线（m为常数）经过点，则该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．把点代入求得解析式为，再令，即可求解． 【详解】解：把点代入得：， ， 抛物线解析式为：， 令， 解得：，， 该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， 故选：B． ►题型03 根据二次函数解析式判断其性质 【典例3】（2025天津模拟预测）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，故本小题错误； ②对称轴为直线x=-1，故本小题错误； ③顶点坐标为（-1，3），正确； ④∵x＞-1时，y随x的增大而增大， ∴x＞1时，y随x的增大而增大，故本小题错误； 综上所述，结论正确的个数是③共1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性． 【变式1】（2021·天津河北·模拟预测）二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　） A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5） C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5） 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】解：二次函数y＝（x+4）2+5， ∵ ∴该函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5）， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式2】（2025·天津·模拟预测）已知二次函数． (1)直接写出对称轴和顶点坐标； (2)求出抛物线与轴的交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)直线，顶点坐标为： (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、与x轴交点及函数值范围，解题关键是运用二次函数的性质，结合方程求解与分析函数在区间内的最值． （1）根据二次函数对称轴公式和顶点纵坐标公式，将，，代入计算，得出对称轴和顶点坐标． （2）令，得到一元二次方程，化简后因式分解求解，得到方程的根，即抛物线与轴交点的横坐标，从而确定交点坐标． （3）先由二次函数的值判断开口方向，结合对称轴确定最小值；再计算区间端点和（不在区间内）的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】（1）解：在二次函数中，，，， 将，代入对称轴公式，得 ， 将，，代入得 ， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：令，则 ， 或， 解得， ， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． （3）解：由（1）知二次函数的对称轴为，，抛物线开口向上， ∴函数在对称轴处取得最小值， 分别计算区间端点和处的函数值： 当时，， 当时，， ∵不在这个区间内， ∴当时，的取值范围为． ►题型04 函数图像的综合判断 解决函数图像共存问题，一般从图像入手，根据图像分析出相应的结论，如相应系数的正负、图像是否过某点等，再观察上述结论是否会与所给的解析式产生矛盾，进而得解. 【典例4】（2025天津模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 【变式1】（2024·天津红桥·一模）已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴， ∴二次函数 的开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象位于二、四象限， 符合的图象为A， 故选A． 【变式2】（2025河西区模拟）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y与一次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可． 【详解】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0， 由对称轴x0，可知b＜0， 所以反比例函数y的图象在一、三象限， 一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围． ►题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 【典例5】（2025·天津河东·一模）已知抛物线（是常数，）与轴交于点，对称轴为直线．有下列结论：①；②若，则；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，通过抛物线经过点，对称轴为直线，可确定的关系，可判断①，由，根据，确定的范围，可判断②，当一元二次方程有两个相等的实数根时，，解得或，与题意不符，可判断③，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ∴， 将点代入得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴， 当一元二次方程有两个相等的实数根时，， 解得：或， ∵， ∴一元二次方程没有两个相等的实数根，故③不符合题意， 综上，符合题意的有，共个， 故选：B． 【变式1】（2024·天津南开·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：①由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，则可对①进行判断；②根据抛物线与轴有两个交点，则△，作判断；③利用可得到，再把代入即可作出判断；④根据一元二次方程根的判别式可以作出判断． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ， ， 所以②错误； ③，， ， 把代入得， ， 所以③错误； ④对于方程，， ∵， ∴ 方程有两个不相等的实数根，本小题结论正确；， 所以④正确； 本题正确的有：①④2个， 故选：C． 【变式2】（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、二次函数与系数关系、二次函数与不等式的关系，解答的关键是利用数形结合的思想方法进行推理和计算． 根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点的横坐标，则当时，可对①进行判断;根据对称轴方程得，再根据抛物线与轴交点可知，可对②进行判断；根据题意，当当时，二次函数值小于一次函数值，可得，将代入即可得出取值范围，可对③进行判断． 【详解】解：点D在x轴下方且横坐标小于3，抛物线的对称轴为直线 ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标， ∴当时，， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ，即， ∵抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， ， 故②正确； 直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3， ∴当时，二次函数值小于一次函数值， ，有， ， 解得：， 故③正确， 综上，正确的有3个， 故选：D． ►题型06 二次函数对称 【典例6】（2025河西区模拟）若抛物线经过点，四个点，则m 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据点A和点C的坐标可求出对称轴，再根据题意可得点B和点D关于对称轴对称，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴对称轴为直线， ∵点B和点D的纵坐标相同， ∴点B和点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式1】（2025宝坻区模拟）已知点，在函数的图像上，比较的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，解题的关键是掌握二次函数的性质（开口方向、对称轴）． 先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数，二次项系数为，因此抛物线开口向下； 对称轴为直线， 分别计算点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 因为抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，函数值越小， 所以：． 故选：B． 【变式2】（2025河西区模拟）如图是抛物线的部分图像，对称轴为直线，图像与轴一个交点为，图像与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的对称性．熟练掌握抛物线关于对称轴对称，是解题的关键． 根据抛物线的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图像与轴一个交点为， ∴图像与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：． 【变式3】（2025武清区模拟）若抛物线经过和两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．根据题意，易知对称轴是直线，抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点，根据二次函数图象上对称点的坐标特征进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点， ，解得． 故答案为： ． ►题型07 二次函数的最值问题 【典例7】（2021·天津南开·二模）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】由且可得，根据题意画出函数图像，根据图像分情况讨论；当时，y随x的增大而增大，可得当时y有最小值，当时y有最大值，代入并验证；当时分两种情况：当时y有最小值，当时y有最大值，或当时y有最大值，当时y有最小值，得出符合情况的值即可得出答案. 【详解】解：如图，二次函数的大致图像如下： 且时， ， ①当时，y随x的增大而增大， 当时y有最小值，即：，解得：或（舍去）； 当时y有最大值，即：，解得：或（均不符合题意，舍去）； ②当时， 当时y有最小值，即：，解得：或（舍去）； 当时y有最大值，即：，解得：， 或：当时y有最大值，即：，解得：， 当时y有最小值，即：，将代入解得：， ， 此种情形不合题意； ， ； 故答案选：D. 【点睛】本题考查二次函数的图像及其性质，熟练掌握二次函数的增减性，先判断在取值范围内的最大值及最小值在何处取得，再代入求解；熟练掌握分析函数最值的方法是本题解题关键. 【变式1】（2024和平区模拟预测）已知二次函数 （是常数）的图象经过点，求这个二次函数的解析式和这个二次函数的最小值． 【答案】二次函数的解析式为；二次函数的最小值为-4． 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，通过配方化为顶点式，根据二次函数的性质求出最小值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得． ∴二次函数的解析式为 ， ∴二次函数的最小值为-4． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一般式与顶点式的互化，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【变式2】（2024西青区模拟）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 【答案】 0 6或1/1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． ►题型08 二次函数图像与性质综合 【典例8】（2025天津市模拟预测）如图，已知点在二次函数的图像上，且． (1)若二次函数的图像经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，求顶点到的距离； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式； ②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解； （2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，分别求解即可． 【详解】（1）解：①将点代入中， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：； ②当时，此时为平行x轴的直线， 将代入二次函数中得到：， 将代入二次函数中得到：， ∵， ∴=， 整理得到：， 又∵，代入上式得到：，解出， ∴，即直线为：， 又二次函数的顶点坐标为(2，-1)， ∴顶点(2,-1)到的距离为； （2）解：若M，N在对称轴的异侧，， ∴x1+3>2， ∴x1>-1， ∵ ∴， ∴-1<， ∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴； 若M、N在对称轴的异侧，，x1<2， ∵， ∴， ∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴， 综上所述，a的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ． 【变式1】（2024·天津·模拟预测）某同学在一次物理实验中测得一组数据现要对这组数据进行处理，得到结果x，问当怎样进行数据处理，才能使得处理后的数据更准确？即x取何值时，才能使得方差 最小？ 【答案】时，才能使方差最小 【分析】本题考查方差的定义及二次函数的性质，先将方差公式展开变形，得到：，再将其视为二次函数进行分析求值，观察二次函数的特点，最终求出二次函数的横坐标即为本题答案． 【详解】解：将方差展开得：， 此时是一个关于x的二次函数，二次项系数为，函数图象开口向上，其最小值在顶点处取得， ∴对于二次函数，顶点的横坐标， ∵，， ∴当，即这组数据的平均数时，方差S最小． 【变式2】（2025·天津南开·二模）已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点在抛物线上，抛物线与轴相交于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，为坐标原点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的值和线段的长； (3)抛物线上点的横坐标，当时，满足，且，垂足为点．直接写出此时的值和点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）结合点在抛物线上，且，得，再根据抛物线的顶点为，把把代入，得，然后得点的坐标为，结合轴对称的性质得，即可作答． （2）因为点在抛物线上，故，与（1）同理得，点的坐标为，点；根据得，即，化简计算，得，故，，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）与（2）同理得，点的坐标为，，，结合抛物线上点的横坐标，得，因为，故，化简得，再表示，然后得的表达式，代入进行计算得，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点为，且抛物线的对称轴为直线， ∴把代入， 得， 即； ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 此时抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的顶点为， ∴把代入，得， 即， ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； ∵， ∴， ∵，，为坐标原点，， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 即， ∴， 则． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 此时抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的顶点为， ∴把代入，得， 即， ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； ∴， ∵抛物线上点的横坐标，且抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 即， ∵，， ∴， ， ， 连接， ∵， ∴在中，， 即， 整理得， 则， ∴， ∴， 整理得， 解得． ∵， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，二次函数的图象性质，平行的性质，勾股定理，轴对称．性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ►题型09 与二次函数图像与性质有关的新定义问题 【典例9】（2025天津模拟预测）实数和，若，我们定义，比如．已知关于的函数，下列结论：①函数图象经过原点；②若，则方程有三个不等实根；③若，则时，有最小值3；④若时，的值随的值增大而增大，则．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查函数新定义，二次函数与一次函数综合，二次函数性质，一次函数性质，解题的关键在于正确理解新定义若，我们定义．根据二次函数与一次函数综合，与函数新定义概念逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：①当时，，，即， 函数图象经过原点，故①正确； ②若， 时， 有或， 解得或， 则方程有个实根， 故②错误； ③若， 则， 当时，解得，， 当时，则， 当时，则， ，随增大而增大，，离对称轴越近函数值越大， 则时，有最小值或， 故③正确； ④ 时，的值随的值增大而增大， 又时，解得，， ， 解得， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 【变式1】（2025天津河东区模拟）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，函数的最大值为4 D．关于的方程的所有实数根的和为4 【答案】D 【分析】本题考查新定义，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键．由，是函数图象和轴的交点，解得：可判断A、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D正确． 【详解】解：，是函数图象和轴的交点， ， 解得：， ， 故A，B错误； 由图象知函数没有最大值，故C错误； 关于的方程，即或， 当时，， 当时，， 关于的方程的所有实数根的和为， 故D正确， 故选：D． 【变式2】（2025·河西区·模拟预测）定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点，其关于抛物线的对称点同时满足以下条件：①点在抛物线的对称轴上；②的中点在抛物线上．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，则点关于抛物线的对称点是否存在？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点关于抛物线的对称点存在． ①求的取值范围，并求出所有满足条件的点的坐标； ②平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标及的值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)①为所有实数，点的坐标为；②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）把点，点的坐标代入，利用待定系数法求解即可； （2）假设存在点关于抛物线的对称点，结合题意可知，的中点在抛物线上，进而求得，即可得点的坐标； （3）①设点关于抛物线的对称点为，得的中点为，代入抛物线解析式可得，即可求解； ②由题意得，由①可知，，，求得，，，分三种情况当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时，结合菱形的性质分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． （2）存在，点的坐标为，理由如下： 假设存在点关于抛物线的对称点， ∵点在抛物线的对称轴上 ∴， 又∵的中点在抛物线上，且， ∴在抛物线上， 对于，当，， ∴，解得， ∴点的坐标为； （3）①设点关于抛物线的对称点为， ∴的中点为， ∵的中点在抛物线上， ∴， ∴， 则为所有实数，点的坐标为； ②存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： ∵对称轴为直线，， ∴， 由①可知，，， ∴，，， 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，解得或， 此时，或，； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 当以点、、、为顶点的四边形是菱形且时， 则，此时方程无解，不存在使得； 综上，存在，或，，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 命题点二 二次函数的图像变换 ►题型01 平移变换 【典例1】（2023·天津东丽·一模）如图，四边形的坐标分别为，，，. (1)求四边形的面积； (2)将沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点、、，设平移时间为t秒，当点与点A重合时停止移动，若与四边形重合部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式. 【答案】(1)20 (2)当，；当，；当时， 【分析】（1）过点D作于点E，由，，，，可得，，，，，再根据进行求解即可； （2）根据当时，与四边形重合部分是梯形，当时，与四边形重合部分是，当时，与四边形重合部分是四边形，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：过点D作于点E， ∵，，，， ∴，，，，， ∴ ； （2）解：当时，与四边形重合部分是梯形， ； 当时，与四边形重合部分是， ， 当时，与四边形重合部分是四边形， ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系与几何图形、二次函数与图形变换、平移的性质，熟练掌握相关知识进行分类讨论是解题的关键． 【变式1】（2023·天津西青·二模）已知抛物线（，为常数，）过点，顶点为点． (1)当时，求此抛物线顶点的坐标； (2)当时，若的面积为，求此抛物线的解析式； (3)将抛物线向左平移1个单位，向下平移个单位，得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，求平移后抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将，代入抛物线，可得函数解析式，即可解答； （2）先求出点P坐标，求得抛物线对称轴与直线的交点C的坐标，根据，即可解答； （3）写出新抛物线的解析式为 ，再按照题意求得a的值即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线，得， 解得， 抛物线的解析式为 ， ； （2）    设直线的解析式为， 将代入之后，可解得， 直线的解析式为， 将代入，得， 抛物线的解析式为， ，是抛物线的对称轴， ， ， ， 解得， 抛物线的解析式为 （3）解：    平移后的抛物线为， ，， 如图，作B点关于的对称点，作A点关于的对称点，连接交、于点，此时四边形的周长最小， 设直线的解析式为，将，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，将，代入可得， 解得， 直线的解析式为， ， ，解得， 抛物线的解析式为． 【点睛】本题为二次函数综合题目，考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练画出大概图形并作出四边形周长最小时的图形是解题的关键． 【变式2】（2025天津建华一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴左侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，连接交y轴于点M，平移后的抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，直接写出符合条件的N点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 11， (3)存在，或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过P作轴交直线于H，由二次函数的性质可得点，对称轴为；再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到；再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，进而得到 ，然后运用配方法求最值即可解答； （3）先直线的解析式为，再求得，然后确定平移后的抛物线解析式为；设，再用两点间距离公式表示出，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图：过P作轴交直线于H，    ∵抛物线的表达式为， ∴点，对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴，， ∴ ， ∴当，即时，的最大值为11． ∴的最大值为11，． （3）解：如图：设直线的解析式为，    则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵连接交y轴于点M， ∴， ∵，抛物线沿射线方向平移个单位， ∴将抛物线向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：， 设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得：，解得：或， 将、代入分别得到，2， ∴ 或． ►题型02 对称变换 【典例2】（2024·天津武清·三模）已知抛物线 （，为常数，）与x轴相交于， B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C． (1)若点C的坐标为，求该抛物线的顶点坐标； (2)当时， 求b的值； (3)若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，M为y轴正半轴上的一点，过点M 作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，连接，当的最小值为17时，求b的值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、平行四边形的性质等，确定的最小值是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）表示出点，令，则或，即点，即可求解； （3）通过作辅助线证明四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，则：， ∴抛物线的表达式为：， 把代入，得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 抛物线的对称轴为：， 当时，； 则抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，则点， 令，则或，即点， ∵， 则， 解得：； （3）解：由（2）知，点，点，抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， 作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向右平移的长度， 则点， 连接，则四边形为平行四边形， 则， 连接交抛物线对称轴于点、连接， 则， 当、、共线时（此时在处），上式等式成立，即的最小值为：， 即， 解得：（舍去）或， 即． 【变式1】（2024·天津西青·二模）已知抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左边），与y轴交于点，顶点为D． (1)求抛物线的解析式及点B，点D的坐标； (2)连接，点P是抛物线上一点（点P与点均不重合），当时，求点P的坐标； (3)已知点M与点C关于抛物线的对称轴对称，点Q是抛物线上点D至点M之间的一个动点（点Q与点D，点M均不重合），其横坐标为t，过点M作直线轴，过点D作直线轴，直线与直线l交于点N，连接并延长交直线于点G，连接并延长交直线l于点H，求式子的值． 【答案】(1)，B的坐标是，D的坐标是 (2)点P坐标为 (3) 【分析】（1）采用待定系数法求出解析式，当，求出B的坐标，把解析式换成顶点式求出D的坐标即可； （2）过点B作x轴垂线，交于点E，证出，得到点E坐标，采用待定系数法求出直线解析式，即可求出交点； （3）先求出直线解析式，从而得到，当时，得到，由点D，点的坐标，求得直线解析式，当时,求出，代入即可． 【详解】（1）解：把点，点坐标代入， ， 解得． 抛物线的解析式为 当时，有， 解得，． 根据题意知点B的坐标是． ． 顶点D的坐标是． （2）解：由点，点，点， 知，， 故． ， ． 过点B作x轴垂线，交于点E， 则． ． 又，， 有． ． 点E坐标为． 设直线解析式为． 有， 解得， 直线解析式为． 根据题意知点P是直线与抛物线的交点， 有． 解得（不合题意，舍去），， 则点P坐标为． （3）解：如图， 根据题意可知点M坐标为，点N的坐标是， 点Q坐标为， 且， 设直线解析式为 解得，即， 当时，可得， 故． 由点D的坐标是， 点坐标为， 设直线解析式为 解得 即． 当时，可得, 故． ． 【点睛】本题主要为二次函数的综合，考查待定系数法，与轴交点，顶点，全等三角形判定和性质，二次函数的图像和性质等知识，采用数形结合的方法和待定系数法是解题的关键． 【变式2】（2023·天津河北·一模）已知抛物线（b，c是常数）的顶点为P，经过点，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)若将该抛物线向右平移2个单位后的顶点坐标为，求的最大值； (3)若抛物线的对称轴为直线，M，N为抛物线对称轴上的两个动点（M在N上方），，，连接，，当取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N，求新抛物线的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，即可得抛物线解析式为：，问题得解； （2）由（1）可知，即有抛物线解析式为：，配成顶点式为：，可得新抛物线的顶点坐标为：，即，，则有，问题随之得解； （3）在上取一点E，使得，连接，，与抛物线对称轴交于点F，四边形是平行四边形，即有，，结合图形可知：，当且仅当E、N、D三点共线时取等号，即当E、N、D三点共线时，有最小值，最小值为，即点N与点F重合，利用待定系数法求出直线的解析式为：，即，则有，问题随之得解． 【详解】（1）根据题意：当时，， ∵， ∴抛物线解析式为：， 配成顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）由（1）可知， ∴抛物线解析式为：， 配成顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线向右平移2个单位， ∴抛物线的顶点也向右平移2个单位， ∴新抛物线的顶点坐标为：， 即，， ∴， ∴， ∴的最大值为； （3）如图，在上取一点E，使得，连接，，与抛物线对称轴交于点F， ∵M，N为抛物线对称轴上的两个动点， ∴轴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵结合图形可知：，当且仅当E、N、D三点共线时取等号， ∴当E、N、D三点共线时，有最小值，最小值为， 即点N与点F重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴F点横坐标为2， ∴当时，，即， ∵点N与点F重合， ∴， ∵抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点N， ∴点为新抛物线的顶点， ∴新抛物线解析式为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，平行四边形的判定与性质等知识，构造辅助线，得出当E、N、D三点共线时，有最小值，最小值为，进而求出，是解答本题的关键． ►题型03 旋转变换 【典例3】（2025滨河新区模拟）已知顶点为B（1，1）的抛物线C1：与y轴交于点A（0，2）． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线的图象绕点C（）旋转180°得到抛物线，点P是抛物线上的一动点，求△PAB的面积的最小值； (3)抛物线关于直线x＝m的轴对称图象交直线y＝x+1与E，F两点，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点A、B代入，即可求函数的解析式； （2）利用中点坐标公式求出抛物线顶点B关于点C的对称点，此点即为旋转后函数的顶点，从而得到抛物线的解析式为 ，设，则过点P与AB平行的直线解析式为，联立方程组，整理得，，当过P点与AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，P点到AB的距离最短，此时△PAB的面积最小，求出 ，即可求； （3）求出顶点B关于直线x＝m的对称点，此点为对称的抛物线的顶点，从而求出对称后的抛物线解析式为，联立方程组，整理得，，再由根与系数的关系求出，由题意可得，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：将A（0，2）代入， ∴b＝2， ∵顶点为B（1，1）， ∴a﹣2a+2＝1， 解得a＝1， ∴； （2）∵抛物线C1的图象绕点C（）旋转180°， ∴顶点B（1，1）绕点C（）旋转180°后的点为（﹣，﹣1）， ∴抛物线的解析式为， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+2， 设， ∴过点P与AB平行的直线解析式为， 联立方程组， 整理得，， 当x＝0时，P点到AB的距离最短，此时△PAB的面积最小， ∴， ∴， ∴△APB的面积最小值为； （3）顶点B（1，1）关于直线x＝m的对称点为（2m﹣1，1）， ∴对称后的抛物线解析式为， 联立方程组， 整理得，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵4≤EF≤6， ∴4≤≤6， 解得≤m≤． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，中心对称的性质，一次函数与二次函数综合问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（2025·天津模拟预测）如图，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线绕点B逆时针方向旋转，点，为点M，A旋转后的对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：点A，M，在同一条直线上； (3)若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或或或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，旋转变换，平行四边形等知识： （1）设抛物线的解析式为，把代入得抛物线的解析式为； （2）根据旋转的性质求出，求出直线的解析式，代入的横坐标，求出，即可判断三点共线索； （3）根据中点坐标公式求出，把原抛物线的对称轴直线绕逆时针方向旋转得直线，设，分三种情况列方程组可解得答案． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴， ∴ 由旋转得，轴于点B， ∴； 设直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上， ∴三点在同一条直线上； （3）解：存在，理由如下： ∵，， ∴，即； 原抛物线的对称轴为直线，绕逆时针方向旋转得直线， 设，而，， ①若为对角线时，则的中点重合， 解得， ∴点的坐标为； ②若为对角线时， ∴ 此方程组无解； ③若为对角线时， ∴ 解得， ∴点的坐标为，； 综上，点的坐标为或或或 【变式2】（2025天津模拟预测）已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，若使最大，求点的坐标和此时的最大面积； (3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为，最大面积为； (3)点的坐标为、、、． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）待定系数法即可求解； （）过作轴于点，交于点，求出直线解析式为，设，则，所以，然后通过得，再由二次函数的性质即可求解； （）分为当点绕着点顺时针旋转得到点时，如 图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，证明，所以，，由点在直线：上，设点，则，，则，，所以，然后代入方程即可求解；当点绕着点逆时针旋转得到点时，同理即可求解． 【详解】（1）解：由抛物线与轴交于点、两点，设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设直线解析式为，把、代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， 由 ， 当时，有最大值，此时， ∴点的坐标为，最大面积为； （3）解：当点绕着点顺时针旋转得到点时，如 图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点在直线：上， 设点，则，， ∴，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，， ∴或， 当点绕着点逆时针旋转得到点时，如 图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点在直线：上， 设点，则，， ∴，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，， ∴或， 综上所述，点的坐标为、、、． ►题型04 折叠变换 【典例4】（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过点C作，根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上，根据题意及等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形，然后确定相应图形，找出临界点即可；②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，时，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 过点D作， ∴， ∴， 当与点重合时， 此时与的交点与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点与B重合，， ∴的取值范围为； ②当时， 如图，重叠部分的面积为， 由（1）得出， ∴， ∴， ， ∵，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ， ∵，随着的增大而增大 ∴在时； ∴当时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， 由①得出是等腰三角形，，，， ∴， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， ∴在时； ∴在时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ∵，随着的增大而减小， ∴在时，把代入得，把代入得， ∴在时，， 综上：的取值范围为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】（2025·天津和平·三模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，点在轴正半轴上，点在边上，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为，设．    (1)填空：如图①，当时，点的坐标为          ，点的坐标为          ； (2)如图②，若折叠该纸片后与重叠部分为四边形，点的对应点为，与边相交于点，与边相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； (3)若折叠该纸片后与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）延长交轴于，由正切函数得 ，可得， ，，即可求解； （2）由正切函数得 ，由直角三角形的特征得 ，即可求解； （3）①当时，此时折叠该纸片后与重叠部分为，由直角三角形的特征，由三角形的面积得； ②当时，由三角形面积得， ，由二次函数的性质，即可求解；③当时，由等边三角形面积得 ，由二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：延长交轴于， ，， ，， ， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）解：由折叠得 ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故（）； （3）解：①当时，如图， 此时折叠该纸片后与重叠部分为， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， 当时，， ； ③当时，如图， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，二次函数的综合应用，特殊三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，三角函数等；掌握折叠的性质，特殊三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，能熟练利用三角函数进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【变式2】（2025·天津·二模）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点，点C在第一象限，与y轴交于点G，P为线段上一点，过点P作直线l交于点Q，，沿直线折叠该纸片，折叠后点A，D的对应点分别为，． (1)填空：如图①，当点P与点O重合时，点Q与点D重合，则点C的坐标为______，点的坐标为______； (2)设折叠后与矩形重叠部分的面积为S．设． ①如图②，当折叠后四边形与矩形重叠部分为五边形时，与交于点F，与交于点E，试用含t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①．其中t的取值范围是；② 【分析】（1）作于M， 由四边形为矩形，由勾股定理可求出点C的坐标，运用折叠和含角的直角形性质，勾股定理，可求出点的坐标； （2）①由已知条件和折叠，勾股定理，含角的直角形性质可先得出，得出．当过点G时，（G于F重合）为四边形，．由重叠部分为五边形，得出； ②阴影部分可能为五边形、三角形、四边形三种情况分别求出S的取值范围，综合在一起即可． 【详解】（1）解：作于M， ． 点，点，点，四边形为矩形， ，轴，，，． 点C的纵坐标为． 四边形是矩形， ，． ． 点C的坐标为． ， ． ． ． 沿直线折叠该纸片， ，． ． ． ． 点的坐标为． 故答案为：，． （2）解：①由（1）可知：，，． 由折叠可知：，，，，． ． ， ，． ． ， ． ． 四边形是矩形， ． ，． ． ． ． ． ． ， ． 当过点G时，（G于F重合）为四边形， ， ． ， ． 重叠部分为五边形， ． ②时，为五边形，过作于N，交于， ． ， ． 四边形为矩形． ，． ． ， ． ． ． ． ． ， ． ，且此时， 当时，． 当时，． 重叠部分为五边形，S的取值范围：． 当重叠部分为三角形时，如图 点C的坐标为，四边形是矩形， ，，， ． 可知此时． 当重叠部分为四边形时，则此时． 交于Y，作于R，如图 ，四边形为矩形，四边形为矩形． ，，． ， ． ， ，解得． ． ， ．． ． 由折叠可知：． ． ． ． 当时，． 当时，． 综上所述：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，平面直角坐标系中矩形的性质、勾股定理、折叠问题及几何图形的坐标计算． 【变式3】（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 命题点三 二次函数与实际问题 ►题型01 图形面积问题 求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 【典例1】（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 【变式1】（2024滨河新区模拟）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 【变式2】（2024西青区模拟）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的墙一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为．    (1)用含有的代数式表示为______； (2)若矩形花圃的面积为，求边的长． (3)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当矩形花圃的面积最大时，的长是，矩形花圃面积的最大值是 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数最值的应用， （1）由题意结合矩形的周长即可得出结论； （2）由矩形花圃面积为，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题； （3）先用含的代数式表示出矩形花圃的面积，再根据二次函数的最值求解即可； 解题的关键是：（1）利用矩形的周长公式，找出关于的关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）建立矩形的面积关于的二次函数关系式，根据二次函数的最值求解． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边为， ∴， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）； 当时，（符合题意）； 答：边的长； （3）∵矩形花圃的面积： ， 又∵， ∴当时，矩形花圃的面积有最大值，最大值是， 答：当矩形花圃的面积最大时，的长是，矩形花圃面积的最大值是． ►题型02 图形运动问题 【典例2】（2025天津八十二中一模）如图，在中，，，，动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）有下列结论：①面积的最大值为；②出发时间t有两个不同的值满足的面积为；③的长可以是．其中，正确结论的个数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①根据题意，可得，，，然后根据列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可判断①；根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可判断②；根据勾股定理列出方程，解方程，即可判断③． 【详解】解：①∵动点P从点A沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．连接．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，出发时间为t（，单位：）， ∴，， ∵，， ∴，动点Q从点B到点需要（秒），动点从到需要（秒）， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，且最大值为，故①正确； ②把代入得： ， 解得，， ∵， ∴不符合题意， ∴出发时间只有一个值满足的面积为，故②错误； ③当的长是时，根据勾股定理得：， ∴， 整理得， ∵， ∴此方程无解， ∴的长不可以是，故③错误； 综上分析可知：正确结论的个数是1个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，一元二次方程根的判别式，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（2025塘沽六中模拟）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长． 【详解】解：根据题意知，，， ∵四边形为菱形，， ∴， 过点M作于点H，连接交于点O，如图，    则， 那么，的面积为， 设菱形的边长为a， ∴， ∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为， ∴，解得，（负值舍去）， ∴． 故选：C． 【变式2】（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C ►题型03 最大利润问题 利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 【典例3】（2025·天津滨海新·三模）某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 【变式1】（2025·天津和平·三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用． ①根据题意列出函数关系式即可； ②设利润为W元，，再根据单件该商品的利润率不能超过列出不等式，求出，再根据二次函数的性质求最值即可； ③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论． 【详解】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是， 故①正确，符合题意； ②设利润为W元， ， 由题意可得：， ∴， ∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大， ∴时，W 最大为8840元， 故②不正确，不符合题意； ③令， 解得，， ∵， ∴， 即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元， 故③不正确，不符合题意； 综上所述，正解的有①，一共1个． 故选：B． 【变式2】（2025河西区模拟）某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出，销售价每涨1元，月销售量就减少． (1)当销售单价定为52元时，月销售量为________；销售利润为________元； (2)设售价为元，当定为多少元时会获得最大利润？并求最大利润． 【答案】(1)480；5760 (2)当销售定价为70元时获得最大利润9000元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，得出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）由题意得月销售量为，销售利润为（元），即可求解； （2）设最大利润为w元，由题意得，即可求解， 【详解】（1）解：由题意得：月销售量为，销售利润为（元）， 故答案为：480，5760； （2）解：设最大利润为w元， 由题意得：， ∵， ∴有最大值， 故当元时会获得最大利润，最大利润为9000元． ►题型04 拱桥/投球/喷水问题 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 【典例4】（2024·天津南开·一模）如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论： ①当水面宽度为时，水面下降了； ②当水面下降时，水面宽度为； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——搭桥问题．根据已知条件建立适当坐标系，从而得出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 建立直角坐标系，设坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C，进而求出二次函数解析式，设水面下降到位置，当水面宽5米时，设；当水面下降时，设；当水面下降时，设；逐一代入判断，即得． 【详解】如图，建立平面直角坐标系，坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C， 根据题意得，，， 由对称性知， ∴，，， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得，， ∴， 设水面下降到位置， 当水面宽5米时， 设， 则， ∴水面下降了，①正确； 当水面下降时， 设，则， 解得，， ∴水面宽度为，②正确； 当水面下降时， 设，则， 解得， ∴水面宽度为， ∴水面宽度增加了，③正确． 故选D． 【变式1】（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 【变式2】（2024·天津·模拟预测）如图所示，足球从距离地面5米处的空中沿x轴方向抛射，在距离初始发射位置米处第一次落地，经地面反弹后，在米时第二次达到最大高度3米，此后足球第二次落地，已知整个过程足球的运动轨迹都是抛物线，根据图中的信息，回答以下问题： (1)当_____米时，足球距离地面的高度最大；当_____米时，足球第二次落地； (2)当足球距离地面的高度小于2米时，位置x的范围是________． 【答案】(1)3；15 (2) 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质： （1）求出第一段抛物线的对称轴即可得足球距离地面的高度最大时x的值；求出关于对称的点即可求出足球第二次落地时x的值； （2）求出第一段和第二段抛物线的解析式，求出对应的x的范围即可． 【详解】（1）解：由图可知，对于第一段抛物线，其对称轴为， 故当米时，足球距离地面的高度最大； 对于第二段抛物线，其对称轴为， ∴当米时，足球第二次落地； 故答案为：3；15； （2）解：第一段抛物线的对称轴是，故其与x轴的另外一个交点横坐标为， 故可设第一段抛物线为，将代入得， ∴， ∴第一段抛物线为， 令，解得， 由图可知，对于第一段抛物线，当时，足球距离地面的高度小于2米； 由图可设第二段抛物线为， 将代入得， ∴， ∴第二段抛物线为， 令，解得， ∴对于第二段抛物线，当或时，足球距离地面的高度小于2米； 综上，当 或时，足球距离地面的高度小于2米． 【变式3】（2025河西区模拟）如图所示是一个音乐喷泉的示意图，在点O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱为抛物线（记为抛物线M，N），且形状相同，喷出的抛物线形水柱在与水管的水平距离为处达到最高，最大高度为，水柱落地处与水管的水平距离为，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求水管的高度； (2)若在第一象限竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与水管的水平距离； ②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少米？ 【答案】(1) (2)①；②水管要降低 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得顶点N的坐标和点B的坐标，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出对应的函数关系式，并求出自变量的值为0时的函数值即可得到答案； （2）①根据题意可得点E的纵坐标为，根据（1）所求解析式求出点E的横坐标即可得到答案；②设降低后的解析式，利用待定系数法求出降低后的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设经过A、N、B三点的抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、N、B三点的抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， 答：水管的高度为； （2）解：①在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴， 答：景观射灯与水管的水平距离为； ②设下降后的抛物线解析式为， ∵下降后的抛物线经过， ∴， ∴， ∵， ∴水管要降低， 答：水管要降低． ►题型05 其它问题 【典例5】（2025南开模拟预测）2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足二次函数关系． 在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)根据表中数据，直接写出的值为__________，跳水的最大高度为__________． (2)求满足的二次函数关系式； (3)在（1）（2）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）根据表格中数据先求出对称轴，然后设出顶点式，再由待定系数法求解函数解析式，即可求解，以及跳水的最大高度； （2）根据（1）中待定系数法即可得到答案； （3）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格得：函数图象过点， ∴抛物线对称轴为， ∴设抛物线表达式为：， ∴， 解得：， ∴； 当时，则， 解得， ∵抛物线开口向下， ∴跳水的最大高度为， 故答案为：，； （2）解：由（1）即可得到二次函数关系式为； （3）解：对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴米， 对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2025和平区模拟预测）通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度与时间满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系（为常数，），如表格记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 … 0 7 12 15 16 15 … 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填空：该患者第一次服用该药后___________的血药浓度最高为___________； ②求该患者第一次服用该药后的血药浓度关于时间的函数解析式； (2)两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，当血药总浓度超过时，该药会引起中毒．该患者第一次和第二次服药间隔的时间为，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由． 【答案】(1)①4，16；② (2)患者存在中毒风险，理由见解析 【分析】（1）①由对称性可知二次函数的顶点坐标为，则该患者第一次服用该药后的血药浓度最高为；②由①得第一次服药后与的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）由“两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和”得此时患者血药浓度为，求出的最大值与进行比较即可； 本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①由表格可知二次函数的顶点坐标为，则该患者第一次服用该药后的血药浓度最高为； 故答案为：4，16； ②由①知与的函数关系式为， 将点代入得， 解得， 则第一次服药后与的函数解析式为； （2）患者存在中毒风险，理由如下： ∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为， ∴血药总浓度为， 整理得， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴该患者第一次和第二次服药间隔的时间为，存在中毒风险． 【变式2】（2025河北区模拟预测）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 任务一 如图2，以碗底的中点为原点，以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 任务二 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时碗内水面的宽度． 【答案】任务一：碗体的抛物线解析式为；任务二： 【分析】任务一：本题建立以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可； 任务二：本题仍建立以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】任务一： 解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ，， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 碗体的抛物线解析式为； 任务二： 解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 轴， 又， ∴， ， ∴， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ， 联立方程组， 解得或， ， ． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． 【变式3】（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用元，其中，纯净水的销售价（元桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示关系． (1)求与的函数关系式； (2)若该班每年需要纯净水桶，且为时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？ (3)当至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你有何感想？（不超过字） 【答案】(1) (2)用桶装纯净水花钱少 (3)元，感想见解析 【分析】本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式以及运用二次函数解决实际问题的能力． （1）设，根据题意得出，的值即可求出与的函数关系式． （2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得． （3）设该班每年购买纯净水的费用为元，解出二次函数求出的最大值可求解． 【详解】（1）解：设， 时，；时，． 解之，得 与的函数关系式为． （2）解：该班学生买饮料每年总费用为元， 当时，，得． 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为元． 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少． （3）解：设该班每年购买纯净水的费用为元，则 ， 当时，， 要使饮用桶装纯净水对学生一定合算， 则， 即， 解之，得元． 所以至少为元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算， 由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯． 突破一 线段最值问题 【典例1】（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据，得出抛物线解析式为，点在第四象限，过点作轴于点，证明，进而得出点的坐标为，代入解析式，解方程，即可求解； ②在轴上点的左侧取点，使，连接．在中，根据勾股定理，，得出,根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．根据平行四边形的性质得出当点在线段上时，取得最小值，即，勾股定理可得，进而代入，求得点，可得直线的解析式为．求得点的坐标为，根据平移的性质即可得出点的坐标为． 【详解】（1）解： ， ∴该抛物线的解析式为， ， ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）①∵点在抛物线上， ∴，即， 又，点， ， ∴抛物线解析式为， 如图，点在第四象限，过点作轴于点， ， ∴， ， ∴． ∴， 又， ∴， ， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 整理得，， 解得 ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴点的坐标为； ②∵， ∴， 在轴上点的左侧取点，使，连接． ，得． ， ． ∴，则． 在中，根据勾股定理，， ． ∴． ． 又点，得． ．即 根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得． 又中，．得． ． 当点在线段上时，取得最小值，即． 在 中，， ． 将代入，得． 解得（舍）． ∴． 点． 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则．得． 点的坐标为． 线段可以看作是由线段经过平移得到的， 点的坐标为． 【变式1】（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)该抛物线顶点的坐标为 (2)10 (3)1 【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 【变式2】（2023·天津·中考真题）已知抛物线 ，为常数， 的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 (2) 【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标； ②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解； （2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为． ∵， ∴点的坐标为． 当时，．解得．又点在点的左侧， ∴点的坐标为． ②过点作轴于点，与直线相交于点．      ∵点，点， ∴．可得中，． ∴中，． ∵抛物线上的点的横坐标为，其中， ∴设点，点． 得．即点． ∴． 中，可得． ∴．又， 得．即．解得(舍)． ∴点的坐标为． （2）∵点在抛物线上，其中， ∴．得． ∴抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则，点． 由，得．于是． ∴． 即．解得(舍)． 同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点， 则点，点，点． ∵， ∴． 即．解得(舍)． ∴点的坐标为．      【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式3】（2025·天津和平·一模）已知抛物线（b，c是常数，）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点E． (1)若， ①求点D的坐标； ②点P是线段上一点，当时，求点P的坐标； (2)若，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．当取最大值时，点M恰好落在抛物线上，求c的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题意得，抛物线解析式为，代入求出的值，再将抛物线解析式化为顶点式，即可求出点D的坐标；②利用抛物线的解析式求出点的坐标，进而得到直线的解析式为，设，利用列出方程，解出的值即可解答； （2）代入得到，得出抛物线的解析式为，得出点的坐标，过点作，使得，连接、、，通过证明得到，利用线段的性质可得当三点共线时，取得最大值，此时，过点作轴于点，作于点，通过证明，得出，，进而求出点的坐标，再代入到抛物线的解析式，即可求出c的值． 【详解】（1）解：①由题意得，抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点为D， 点D的坐标为； ②令，则， 解得：，， ， 令，则， ， 抛物线的对称轴为， ， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， 直线的解析式为， 点P是线段上一点， 设， ， ， ， 解得：， 点P的坐标为． （2）解：代入，则， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， ， 令，则， 解得：，， ， ， 如图，过点作，使得，连接、、， 将线段绕点M逆时针旋转得到线段， ，， 是等腰直角三角形，，， ，， 是等腰直角三角形，，， ，， ，即， ， ， ， ， ，即， 当三点共线时，取得最大值，此时， 过点作轴于点，作于点， 轴，， ， ， ， ，即， 又， ， ，， 设，， 由坐标系可得， 解得：， ， 又点M恰好落在抛物线上， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 的值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、旋转的性质、线段最值问题、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会结合图形构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴难题的学生． 突破二 抛物线与坐标轴交点问题 【典例2】（2025·天津和平·一模）已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据二次函数与x轴的交点问题可进行求解； （2）把点代入二次函数解析式得出c的值，进而求解方程即可； （3）由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，开口向下，然后根据开口向下，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：把点代入二次函数得：， ∴， ∴一元二次方程为， 解得：； （3）解：由可知：开口向下，对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，函数取得最大值，当时，函数有最小值， ∴， ∴． 【变式1】（2024·湖北武汉·一模）如图，抛物线：经过点和点．已知直线的解析式为．． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图1，若直线将线段AB分成1：3两部分，求k的值； (3)如图2，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为． ①直接写出新图象，当y随x的增大而增大时x的取值范围； ②直接写出直线与图象有四个交点时k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①当或时新图象随的增大而增大；②． 【分析】（1）先求点再利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）先确定分点的坐标，代入直线的解析式求的值； （3）①观察图象上升的部分对应的范围； ②直线过，利用数形结合观察有四个交点的情形，求出临界值，再写的范围． 【详解】（1）直线的解析式为， ， 经过点和点， ， ， 抛物线的解析式为； （2）设直线与轴的交点为， 点和点， ， 直线将线段分成两部分， 或， 或，代入得或； （3）①的对称轴是直线，点和点， 当或时新图象随的增大而增大； ②如图所示，当直线夹在两条虚线之间时直线与图象有四个交点，把代入得； 的顶点是， 将抛物线在轴上方的部分沿轴折叠到轴下方后，顶点变为， 折叠后的抛物线表达式为， 联立和得， ，即， △， 或， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，结合了对称变换，渗透了数形结合的思想，对于（3）②，关键是找到并求出的临界值． 【变式2】（2023·天津东丽·二模）抛物线与轴交于点，，与轴交于点，抛物线顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点的坐标； (2)为抛物线对称轴上一点，为轴上一点，且，当点在线段上（含端点）运动时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作于点，根据题意分类讨论，得出，进而求得，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴ 解得：， ∴， ∵ ∴顶点， （2）解：由， 令，则， ∴， ∴ 如图所示，过点作于点，则      设，则 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，取得最大值为     ∴的最小值为； 如图所示，    同理可得， 设，则，， ∴， ∴， ， ∴当时，取得最大值，为， 此时最大值为， ∴的最大值为， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 突破三 铅锤法求面积 【典例3】（2024·天津西青·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2) 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 【变式1】（2023·天津河西·一模）如图所示，在等腰△ABC中，，以底边的垂直平分线和所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A，B两点．    (1)写出点A，B的坐标． (2)若一条与y轴重合的直线以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段，和抛物线于点E，点M和点P，连接，．设直线移动的时间为t（）秒，求四边形的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形的最大面积． (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在， 【分析】（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标即可； （2）分别求出和的面积，得出四边形的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，再转化为顶点式即可求出最大值； （3）由可得，点在线段上，要使是直角三角形，则，利用得到对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：， 令，则，∴； 令，则， 解答：， ∴； 点A，B的坐标是：，； （2）解：∵，垂直平分， ∴，， 设的解析式为， 把代入，得，， ∴的解析式为， 由题意，得， 即 ∴， 四边形PBCA的面积， 四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式是， ∵， ∴时，的最大值是； 即四边形的最大面积是 （3）解：存在， 是直角三角形，则， 则， ∴， 即， ∵，，， ∴ 解得：（舍去），， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的面积问题，二次函数与特殊三角形的问题，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，确定动线上关键点的坐标是解题的关键． 突破四 二次函数存在性问题 【典例4】（2025和平区一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、、三点的坐标； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）在中，分别令和，解方程可求解； （2）先求出直线的表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，则，进而求解； （3）过点作轴于点，设直线与轴交于点，则，，故，当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点的坐标为，再分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， 点，点， 令，则， 点； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ，， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 故直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为， ，， 四边形为平行四边形； （3）是的中点，点， 点， 由（2）知，当时，的最大值为， 当时，， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 过点作轴于点，设直线与轴交于点， 则，，故， 而， ， 则直线和直线关于直线对称， ， ，， ，， ， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立， 解得：或（不合题意，舍去）， 点， 设点， ，， ，，， 当时，， 解得：； 当时，即，方程无解； 当时，即， 解得； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，平行四边形的判定，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【变式1】（2025天津市模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)存在， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）根据平移，求出点坐标，设出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴于，交直线于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （3）设，以为边时，利用平移思想，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点， ∴， ∴设抛物线表达式为， 将代入得， ∴抛物线表达式为； （2）存在点，使的面积最大． 过点作轴于，交直线于点， 设，则，由题意得：， 故， ∴当时，最大．此时，， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， 设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时， ∵ ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，或点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴且， ∴或， ∴或． 【变式2】（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或或； (3)存在，，或，或，或或 【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案； （2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可； （3）抛物线的对称轴为直线，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线． 【详解】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上， ∴ 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）令， ∴， 由为等腰三角形，如图甲，    当以点为顶点时，，点与原点重合， ∴； 当以点为顶点时，，是等腰中线， ∴， ∴； 当以点为顶点时， ∴点D的纵坐标为或， ∴综上所述，点D的坐标为或或或． （3）存在，理由如下： 抛物线的对称轴为：直线， 设，， ∵， 则， ， ， ∵以为顶点的四边形是菱形， ∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线， 当以为对角线时，则，如图1，    ∴， 解得：， ∴或 ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分，即与的中点重合， 当时， ∴， 解得：， ∴ 当时， ∴， 解得：， ∴ 以为对角线时，则，如图2，    ∴， 解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分，即与中点重合， ∴， 解得：， ∴； 当以为对角线时，则，如图3，    ∴， 解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分，即与的中点重合， ∴， 解得： ∴， 综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为： ，或，或，或或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键． 【变式4】（2023·天津红桥·三模）已知拋物线（为常数，）经过点，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，在该拋物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)为轴上方拋物线上的动点，过点作直线，分别交抛物线的对称轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，调求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)是， 【分析】（1）用待定系数法，将点代入即可进行解答； （2）根据题意进行分类讨论：①当点在上方时，易证，则点P和点C纵坐标相等，即可求解；②当点在下方时，设与轴相交于点，有．根据列出方程求出m的值，即可求出直线的解析式，即可进行解答； （3）根据题意可得．设， 用待定系数法求解直线的解析式为．即可得出点．同理可得直线的解析式为．则点．得出．即可进行解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴解得． ∴该拋物线的解析式为． （2）解：存在，理由如下． 根据题意，可得点．设． ①如图，当点在上方时，    ∵， ∴． ∴， 解得（舍去）或． ∴点的坐标为． ②如图，当点在下方时，    设与轴相交于点，有． ∵， ∴． 在中，． 有， 解得． ∴． 设直线的解析式为， 由解得 ∴直线的解析式为． 由， 解得（舍去）或． 又， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （3）解：由，得对称轴为直线． ∴．    设，其中． 设直线的解析式为， 则解得 ∴直线的解析式为． 当时，． ∴点． 同理可得直线的解析式为． 当时，． ∴点． ∴． ∴． ∴的值为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，正确画出图形，根据图形进行分类讨论． 【变式5】（2022·天津和平·三模）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点，抛物线与x交于点和B，与y轴交于点C．平面直角坐标系内有点和点． (1)求抛物线的解析式及点B坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使的值最小，求点E的坐标； (3)若F为抛物线对称轴上的一个定点， ①过点H作y轴的垂线l，若对于抛物线上任意一点都满足P到直线l的距离与它到定点F的距离相等，求点F的坐标； ②在①的条件下，抛物线上是否存在一点P，使最小，若存在，求出点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=-x2+2x+3；B（3，0）； (2)E（1，）； (3)①；②P（2，3），最小值为 【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，把A（-1，0）代入，解得a=-1，求得抛物线的解析式及点B坐标； （2）连接BH交对称轴于点E，连接AE，此时AE + HE 的值最小，先求得直线BH解析式为，再把x=1代入解得y=，得到点E坐标； （3）①设对称轴上点F（1，1），过点P作PN⊥l，过点F作FM⊥PN，根据得，又得到，整理得到，由任意一点P（m，n），与n无关得到，求出t的值，得到点F的坐标； ②根据垂线段最短可知，当G，P，N共线时，FP+GP的值最小，最小值为：， 【详解】（1）解：∵抛物线顶点D（1，4），与x轴交于点A（-1，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4， 把A（-1，0）代入，解得a=-1， ∴y=-（x-1）2+4， ∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3， 令y=0，可得-（x-1）2+4=0，解得x1 =-1，x2 =3， ∴B（3，0）； （2）如图①，连接BH交对称轴于点E，连接AE，此时AE + HE 的值最小， 设直线BH解析式为y=kx+b，把B（3，0），H（0，）代入， 解得k=，b=， ∴直线BH解析式为， 把x=1代入解得y=， ∴E（1，）； （3）①如图②，设对称轴上点F（1，t），过点P作PN⊥l，过点F作FM⊥PN， ，， ，， ， ， ， ∵抛物线上任意一点P（m，n）， ， ， ， ， 整理可得：， ∵任意一点P（m，n），与n无关.， ， ， ； ②：如图③， ∵抛物线上任意一点P（m，n）满足PF=PN， ∴FP +GP = PN +GP. 根据垂线段最短可知，当G，P，N共线时，FP+GP的值最小，最小值为：， ∵G（2，0）， ∴把x=2代入y=-x2+2x+3. 解得y=3. ∴当P（2，3）此时FP+GP的值最小，最小值为 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数求函数解析式、两点间距离公式、以及线段和最小问题，表示出PN和PF的长度，并进行整体变形是解题的关键． 1．（2024·天津南开·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于x的方程的一个根为4，那么该方程的另一个根为（） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称轴方程是：． 根据抛物线与抛物线的对称轴相同，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有一个根为4， ∴抛物线与x轴的一个交点为， 抛物线的对称轴为直线 抛物线的对称轴也是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为 ∴方程的另一个根为 故选：B． 2．（2024·河西区·二模）下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，对于一次函数当一次项系数大于0时，则y随x的值的增大而增大，当一次项系数小于0时，则y随x的值的增大而减小，对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而增大，在对称轴左侧y随x的值的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而减小，在对称轴左侧y随x的值的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A、由于，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； B、由于，则当时，y随x的值的增大而增大，符合题意； C、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； D、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而增大，当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； 故选：B． 3．（2020·天津和平·一模）已知二次函数（是常数）的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，明确抛物线与轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 先将所给的二次函数整理，再根据图象与轴没有公共点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，随的增大而减小，可得，从而得出答案轴． 【详解】解： ， 图象与轴没有公共点， ， ， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而减小， ， 实数的取值范围是， 故选C． 4．（2024蓟州模拟预测）如图，拋物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数综合问题；根据，有，可设点、的坐标为，代入解析式，即可解得答案． 【详解】解：，则是等腰直角三角形 ， 可设点、， 把代入，得 即， ， ，即． 故选：A． 5．（2025南开区模拟预测）二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶ x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与方程、不等式的关系．利用待定系数法求得二次函数解析式，然后利用二次函数的性质，二次函数与方程、不等式的关系逐个进行判断． 【详解】由表可知，二次函数图象经过点，，， ∴，解得， ∴二次函数为， ∵， ∴该二次函数的对称轴为直线，故①正确； ∵， ∴，故②错误； 把代入二次函数中，得， ∴ ∵二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为，， ∴不等式的解集为，故③正确； ∵方程即为， 整理为， 解得，， ∴方程有两个不相等的实数根．故④正确． 综上所述，说法正确的共有3个． 故选：C 6．（2024·天津和平·三模）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中，正确结论的个数是（　　） A．l B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．①设边长为，则边长为，当时，求出是10，不符合题意，即可判断正误；②列出一元二次方程，求出x值即可判断正误；③列出二次函数解析式，根据最值求法即可判断正误；④列出二次函数解析式，求得扇形面积的最大值，即可判断正误． 【详解】解：如图①，设边长为，则边长为， 当时，， ∴， ∵， 故①不正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴或， ∵时，，满足， 故②正确； 设矩形菜园的面积为， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为162， 故③正确； 如图②，设，则弧长， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为162， ∴方案二围成扇形菜园的最大面积等于方案一围成矩形菜园的最大面积． 故④不正确． ∴正确结论是②③2个． 故选：B． 7．（2024·天津西青·二模）抛物线（a，b，c是常数，）对称轴为直线，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3． 有下列结论： ①； ②； ③． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、二次函数与系数关系、二次函数与不等式的关系，解答的关键是利用数形结合的思想方法进行推理和计算． 根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点的横坐标，则当时，可对①进行判断;根据对称轴方程得，再根据抛物线与轴交点可知，可对②进行判断；根据题意，当当时，二次函数值小于一次函数值，可得，将代入即可得出取值范围，可对③进行判断． 【详解】解：点D在x轴下方且横坐标小于3，抛物线的对称轴为直线 ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标， ∴当时，， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ，即， ∵抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， ， 故②正确； 直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3， ∴当时，二次函数值小于一次函数值， ，有， ， 解得：， 故③正确， 综上，正确的有3个， 故选：D． 8．（2025·天津滨海新·模拟预测）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移变换，解题的关键在于掌握函数图像向下平移的规则．原抛物线的解析式减去2即可． 【详解】解：根据平移规则，向下平移2个单位需在解析式中减去2， , 故答案为：． 9．（2025·湖南长沙·一模）从五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则二次函数图象开口向上的概率是． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了二次函数的性质，简单事件的概率；根据二次函数图象性质知，当时，函数图象开口向上；五个数中任取一个有5种等可能的情况，其中取到正数的有3种等可能的情况，从而可求得概率． 【详解】解：由题意知，当时，二次函数图象开口向上； 而五个数中任取一个有5种等可能的情况，其中取到正数的有3种等可能的情况， 所以二次函数图象开口向上的概率为； 故答案为：． 10．（2024·天津红桥·一模）若二次函数(k为常数)的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根的判别式．熟练掌握二次函数与一元二次方程，根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 1．（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故选：B． 2．（2025·天津·模拟预测）已知抛物线经过点．有以下结论： ①； ②该抛物线一定经过； ③点在抛物线上，且，则； ④若是方程的两个根，其中，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．根据题意首先确定该抛物线对称轴是，结合抛物线经过点，易得该函数图像的开口向下，即，可知，故①正确；点关于直线的对称点为， 即该抛物线一定经过，故②正确；分都在对称轴右侧和在对称轴两侧两种情况，易得③错误；首先判断抛物线与抛物线关于轴对称，即可确定，故④正确． 【详解】解：如图，该抛物线对称轴是，抛物线经过点， 开口向下，即， ，故①正确； ∵点关于直线的对称点为， 该抛物线一定经过，故②正确； 若都在对称轴右侧时， ， ， 若在对称轴两侧时， ， ， 综上，时，故③错误； 如图，设抛物线上任一点坐标为，把代入，则有， 点在抛物线上， 与关于轴对称， 抛物线经过点， 抛物线经过点， ， 是抛物线与直线交点的横坐标， ，④正确． 综上所述，结论①②④正确，合计3个． 故选：C． 3．（2025·天津南开·二模）如图，正三角形的边长为1，是线段上一点，过作边的垂线，垂足为点． 有下列结论： ①当点在线段上时，的长可以为； ②当点为线段中点时，的面积达到最大值，最大值为； ③点在线段上有两个位置满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、解直角三角形和二次函数的性质，根据等边三角形的性质的，①若的长为，则可求、、和的长，进一步求得，结合点D的位置判断AD是否在其范围内即可；②设的长度为x，则的长度为，，即的面积，结合二次函数的性质即可知当时，的面积有最大值为，故②错误；③若的面积为，求得x即可． 【详解】解：∵正三角形的边长为1， ∴， ①若的长为，则的长为，的长为，的长为，的长为， 那么，， ∵是线段上一点， ∴， ∵， ∴的长可以为，故①正确； ②设的长度为x，则的长度为， ∵， ∴， ∴的面积， ∵是线段上一点， ∴ ∴当时，的面积有最大值为：，故②错误； ③若的面积为，则，解得（负值已舍），故③错误； 故选：B． 4．（2024·天津河西·二模）已知菱形，，，点，，，分别在菱形的四条边上，．连接．有下列结论：①四边形是矩形；②长有两个不同的值，使得四边形的面积都为；③四边形面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，一元二次方程根的判别，二次函数最值等知识点，灵活运用菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质进行角的等量代换即可证出为矩形，判断①；过点作于点，设，则，用含的式子表达出和的长后，利用矩形的面积公式列式判断②和③即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 同理可证：， ∴四边形是矩形，故①正确； 过点作于点，如图所示： 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时 整理得： ∵ ∴长有两个不同的值，故②正确； ∵ ∴当时，面积最大值为，故③正确； 综上①②③正确； 故选：D． 5．（2024·天津和平·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其对称轴是直线，当时，与其对应的函数值．有下列结论： ①； ②若点，，均在函数图象上，则； ③若方程的两根为，且则； ④． 其中，正确结论的个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练运用二次函数的图象与性质是解题关键． 由该二次函数的图象的对称轴为，可得，再结合图象确定，易得，即可判断结论①；由图象可知，抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大，据此即可判定结论②；由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点为，可得抛物线解析式为，令，作，由图象可知，即可判定结论③．由题意得，，将代入即可判断结论④ 【详解】解：根据题意：画出大致图象如下： 由图象可知，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①错误； ∵点，，均在函数图象上， ∴，故结论②错误； 由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为， ∴抛物线解析式为， 令， 则有， 如图作，由图像可知，故结论③正确． ∵当时，与其对应的函数值，抛物线（a，b，c是常数，）经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论④正确． 故选：B． 6．（2025·天津·一模）已知矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．交y轴于点M． (1)如图①，求的大小及的长； (2)将矩形沿y轴向上平移，得到矩形，点O，D，E，F的对应点分别为．设． ①如图②，直线与x轴交于点N，若，求t的值； ②若矩形与矩形重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）． 【答案】(1)，； (2)①1；②（）． 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角函数的有关计算． （1）根据矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，，，在中，即可得出结论； （2）①①由四边形是矩形，又因为，所以四边形是平行四边形，，即可求解； ②先确定的取值范围，再利用梯形面积减去三角形面积可得：（），即可得出结论． 【详解】（1）解：∵把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，记交y轴于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当与重合时， 当过点时，如图， 同理可得： 设 则 由可得： 经检验：是原方程的根且符合题意， 当重叠部分为五边形时， t的取值范围为 如图，同理可得： 过作，则同理可得 即（）． 7．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形中，且，，点，点在轴正半轴上，且． (1)填空：如图①，点的坐标为，点的坐标为； (2)将沿轴水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为． ①如图②，当边与交于点，边与交于点，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①② 【分析】本题主要考查了平移的性质、解直角三角形、等腰梯形的性质、二次函数的图象与性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）解和等腰梯形即可得解； （2）①由重叠部分为五边形可知，再进再用梯形面积减去面积即可得解； ②由范围，分类讨论重叠部分的图形，进而画图求解即可． 【详解】（1）解：，． 在中，， ． 如图，过作于点，于点， 则， ． 在中，， ． 故答案为：，． （2）①如图，作于，于， ，． 又， 四边形为矩形， ． ． ， ． 在中，，， ． 则． ，． 四边形为平行四边形． ． 则． ， ． ， ． ，则． ． ． ②当时，如图，重叠部分为梯形， 由题可知， ． ， ． 当时，如图，重叠部分为梯形， ，， 点是中点． ． ． 当时，此时重叠部分为五边形，如①中情形， ． 此时在时，随增大而减小， 当时，，当时，， ． 当时，如图，此时重叠部分为， ， 为等边三角形． 此时， ． ． 当时，，当时，， ． 综上，． 8．（2025·天津河东·模拟预测）抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于，点． (1)若， ①求抛物线的解析式和点的坐标； ②点为第二象限的抛物线上一点，过点作轴，交于点，作轴于点，当时，求点的坐标； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，点为线段上一点，过点作直线于点，当的面积的最大值为时，求点的坐标． 【答案】(1)①， ② (2) 【分析】（1）①利用已知点坐标带入抛物线方程求参数，再通过顶点公式直接计算顶点坐标． ②通过设定点坐标，结合几何图形条件（平行、垂直、角度），绘出相关图像，然后建立方程，利用坐标关系求解． （2）通过几何图形分析确定一次函数关系式，通过图像将三角形面积表示为变量的函数，利用二次函数的性质解决最值问题． 【详解】（1）①解：将带入中，得到， 将点带入解析式，得到方程，解得， 所以抛物线解析式为， 根据公式求得二次函数顶点坐标． ②根据题意画出图像： 由图可知：轴，轴， ， ， ， ， 点为第二象限的抛物线上一点， 设坐标为， 令，解得， 设所在直线的函数表达式为 将，带入表达式得 ，解得 所在直线的函数表达式为 设 解得：， （2） 已知经过点，代入得： 设，即的另一个解为 则 即 该二次函数的对称轴为 顶点的坐标为 则直线的斜率为 又 直线的函数表达式为 因此垂直于的直线斜率为1， 设， 直线的函数表达式为 联立，解得 这是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点： 最大面积为： 当时： 解得： 当时，的最大值位置为 【点睛】本题综合考察了二次函数的图像和性质，用图像明确几何图形中的角度与坐标的关系，通过二次函数模型解决三角形面积最值问题． 9．（2025·天津红桥·二模）已知抛物线（b为常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)当时，求点P的坐标； (2)直线与x轴相交于点D，当时，求b的值； (3)M为线段上的动点，若取得最小值时，求b的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、等腰三角形的性质、正切的定义、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将、代入解析式，然后运用配方法化成顶点式即可解答； （2）将代入解析式可得，再求得对称轴为，即顶点P的横坐标为，然后代入解析式求得横坐标即可解答； （3）由（2）可得、，则，即；如图，过点B作直线与y轴的正半轴相交于点E，且．易得；如图：过点M作垂足为Q．可得，易得，即当点P，M，Q共线时，取得最小值；再说明，由正切函数可得，即，再求出b的值即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为：， 将点代入可得：，解得：， 所以抛物线解析式为：， ∴． ∴点P的坐标为． （2）解：将代入抛物线可得：， ∴， ∴抛物线解析式为：， 当时，，即， ∵， ∴或， ∴， ∴该抛物线的对称轴为，即顶点P的横坐标为， ∴顶点P的纵坐标坐标为， ∴； 设直线的表达式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为． 当时，，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． （3）解：∵，， ∴，即 如图，过点B作直线与y轴的正半轴相交于点E，且． ∴． 如图：过点M作垂足为Q．可得．， ∴， ∴当点P，M，Q共线时，取得最小值， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，，得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（2025·福建·中考真题）已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（） A．18 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题、二次函数图像变换等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键， 通过分析四个交点在x轴上的等距排列，得出平移后的函数与x轴的交点位于和，然后代入函数表达式求m的值即可． 【详解】解：∵原函数与x轴交于点和，向下平移m个单位后新函数为，且四个交点等距， ∴平移后新函数与x轴交于点和， 将代入新函数：，解得：． 故m的值为16． 故选：B． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 3．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵， 即， ∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为，即， ∵， ∵ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵ ∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； 故选：D 4．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C． 5．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线的对称轴为，可得：，又因为，可知抛物线开口向上，所以，则有，由表格可知，当时，，所以可知；因为开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大，可得：；整理方程，可得：，因为抛物线有最小值且，所以当时，，又因为，所以当时，，所以方程有个不相等的实数根；当时，方程可化为，此时方程有个不相等的实数根；当时，，此时方程无实数根；因为当时，，当时，，解得：，，所以可得：，又因为，所以可得：，根据和，可得不等式，从而可得：，根据不等式的性质可得：；根据抛物线的对称性可知，若要的最小值是，则有或，从而可得：当的最小值是，时或. 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 又当时，， 由表格可知当时，， ， ， ， 抛物线的开口向上， ，，， ， 故正确； 由可知抛物线开口向上，对称轴为， ，， ， 开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大， ，故正确； 抛物线开口向上，对称轴为， 与关于对称轴对称， ， 由可知， ， ， 当时，， 把方程，整理得：， 有个根； 当时，方程为， 方程有个根； 当时，， 则有， 方程无实根，故错误； 时，， 当时，， 当时，， 可得，， ，， ， ， ， 解得：， ，故正确； 当时，， 此时抛物线过点，， 抛物线与交于点，， 时最小值为， 或，与结论不符合，故错误． 综上所述，正确结论为，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、二次方程根的个数判断、不等式的应用，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴、开口方向及系数关系，再结合函数性质逐一分析结论． 6．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 7．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得：， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了“奇对称点对”的定义，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据点，点都在二次函数上，可判断①；由，都在反比例函数上，结合的取值，可判断②；根据定义，将点代入，可判断③；不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上，假设在上，那么在上，将代入，得到，然后结合一元二次方程的判别式求得答案． 【详解】解：①将代入，得到； 将代入，得到； 可知点，点都在二次函数上， 那么点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；故①正确； ②当代入，得到， 当代入，可得， ，都在反比例函数上， ，为反比例函数的一组奇对称点对”， 可以取无数个不为0的数， 反比例函数有无数组“奇对称点对”；故②正确； ③点，点，为函数的一组“奇对称点对”， 点，点都在函数上， ， ， ③错误； ④不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上， 假设在上，那么在上， 将代入，得到， ， ，该函数有两组“奇对称点对”， 当时，有两个不同的实数根， ，， ，（符合题意）， ； ④正确； 故答案为：①②④． 10．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 11．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $