湖北省部分名校2025-2026学年高三1月联考数学试卷

高三数学答题卡 象 贴条形码区 准考证号 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂■ 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注L答题前、考生先将自已的蛛名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码 意2.选释题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整，笔迹清楚。 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷，草稿纸上答题无效。 项4保特卡面请清，不要析叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交。 选择题 1 AB C D 5A幻B☐GD☐ 9A)B☐CD 2A)B☐C☒D回 6AB☐CD 10四®C回 3ABC D 7 [A]B C][D 11 A][B]C][D 4A回☒D 8AB©回 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题13分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡（共页）第页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓名 座位号 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) D E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题17分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡（共页）第2页 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.设复数：=a-i,若：的实部与虚部相等，则实数a的值为(). 1+2i A月 B.-1 C.1 D. 2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=e,则f(n3)=() A.-3 B.3 c.3 D. 3.将直线1：x-2y=0绕点(2，)逆时针旋转日(9为锐角，其中c0s0=310)后所得直线方程 10 为() A.y=x-1 B.y=2x-3 C.y=3x-5 D.y=4x-7 4.已知B,R为椭圆+上-1的两个焦点，P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，若四边形 164 PFQE为矩形，则四边形PFQ的外接圆面积为(). A.16元 B.12元 C.8元 D.4π 5.已知集合M={xx2-2x+a≤0，N={xy=h(x-4},若(GM)nN=(4,+o),则a的取 值范围是( A.(-8,-4] B.(-8,+∞) C.[4,+o) D.[-8,+w) 6.“东数西算”是一项国家战略工程，旨在通过构建全国一体化算力网络体系，将东部算力需 求有序引导到西部的资源优化配置策略.某人工智能公司有两种方式租赁算力方案可供选择， 一种是仅根据单位算力支付费用，另一种是租用专用超级计算机，然后再根据单位算力支付 费用，下表列出了该公司调查A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少的租赁方案，当 他有8000(PetaFLOPS)算力需求时，最优方案所需费用为()· 公司 算力 租赁最少费用 A公司 2000 (PetaFLOPS) 120万元 B公司 4000 (PetaFLOPS) 180万元 C公司 6000 (PetaFLOPS) 220万元 A.240万元 B.260万元 C.280万元 D.300万元 第1页（共4页） 7.如图，△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼 成的一个大正三角形，若AD=8,BD=4,点M为线段CE上的 动点，则(AM-BC)·MD的最大值为(). A.4 9 B.21 C.24 D.40 8.函数f(x,y)=sinx·cosy+cosx./siny的最大值为(). A.1 B.5 C.2 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. )=3sim(x+马，给出下列四个命题中的真首 6 A.f(x)在[0,2π]上单调递增 B.f(x)的最小正周期是6π C.f(x)的图象关于直线x=2π对称 D.f(x)的图象关于点(-π，O)对称 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动 点（含边界），则下列说法正确的命题有() B A.若DF∥平面AEC,则动点F的轨迹长度为√2 A B.不存在动点F,使BF⊥平面AEC D C.若F平面AEC1,则三棱锥F-A,EC体积的最大值为2 D.若正方体ABCD-AB,C,D,的外接球为球O,则球O被平面AEG所 截藏面圆的面积为2” 11.已知抛物线y=x的焦点为F,点4（子），则下列结论正确的是（) A.抛物线上动点P,则PP网的最大值为 B.抛物线两条互相垂直的切线交点为P,若P、F、A三点共线，则P(1-之 C.过A(行0)作抛物线两条切线，切点分别为M,N,则三角形AN的面积为号 D.若抛物线第一象限上点P的切线与y轴和直线PA的夹角相等，则P(1,1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(x+)的展开式中，xy的系数为30，则a的值为 第2页（共4页) 13.CBA季后赛总决赛在甲、乙两只球队进行，总决赛采用七局四胜制(7场4胜).总决赛的 主场优势授予常规赛排名更高的球队，采用“2-2-1-1-1”的主客场安排（即排名高的球队 先打两个主场，然后是对手的两个主场，之后若需要，交替进行一个主场)，设甲队主场取 胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，若甲球队常规赛排名更 高，那么甲队4：2获胜的概率是 14.已知函数f(x)= [xe-2,x≥0， -x2-4x,x<0. 若函数g(x)=f(x)-ar2-2e(keR)(e为自然对数的底 数)恰有4个零点，则k的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记Sn为数列{an}的前n项和，已知5S=4a-4. (1)求{a}的通项公式： (2)设c.=(n+la,求数列{c}的前n项和2 16.(15分) 某健身房为了解“是否喜欢健身操”与年龄的关联性，随机调查了80位会员，得到的数据 如表所示（单位：人）： 游泳 年龄 合计 喜欢健身操 不喜欢健身操 青年 15 25 40 中年 20 20 40 合计 35 45 80 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为是否喜欢健身操与年龄有关联？ (2)已知会员小邹选择“动感单车”“瑜伽”“普拉提”三种项目的概率依次为0.2,0.5， 0.3；且小邹在这三种项目中达到“训练标准”的概率依次为0.6,0.8,0.4.若小邹某次训练未达 到目标，求他选择的是“瑜伽”项目的概率， n(ad-be)2 附：X2 n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) d 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xo 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第3页（共4页） 17.(15分) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD=4V3,DC=6,点E是CD上靠 近点D的三等分点，现将△ADE沿着AE折起，使得点D到达点P的位置，且PC=26,如图2. D 图1 图2 (1)求证：平面PAE⊥平面ABCE: (2)若P,A,B,C在同一个球面上，设该球面所在球的球心为O,证明：点O在平面ABCE内： (3)若点r为线段PB上一点，直线AF与平面APE所成角的正弦值为25，求平面A8F与 平面PAB所成角的余弦值. 18.(17分) 如图，椭圆+y2=1与双曲线w=(>0)在第一象限交于A,8两点. (1)AB直线的斜率是否为定值，若是，求出其取值，若不是，请说明理由： (2)若D(2,0),x轴上存在一定P满足|PA=PB,且∠ABP+∠BPD=90°，求t的值. 19.(17分) 己知函数fx)=sim(径x)+hx-ar. (1)若函数f(x)在点(1，f(1)》处的切线过(-1,1)，求a的值： (2)若a>2证明：f闭<1恒成立： (3)试求出正整数a的最小值，使f(x)存在唯一的极值点. 第4页（共4页）高三数学参考答案 题号 2 3 J 6 8 答案 D C B B D B 1. 【答案】D 【解折2a02动-a2)2a中少 故选D. 1+22 5 ,所以a-2=-(2a+1), a23 2.【答案】C 【解析】f(e)为R上的奇函数ln3>0f(n3)=-f(-n3)=-e3=- 故选C. 3 3.【答案】A 【解析】设直线I:x-2y=0的倾斜角为P,所求直线倾斜角为a,又日为锐角，其中cos9=3 ,所以 10 1,1 tane= '则tama tam0+tamB-32=1,直线方程为y=x-1故选A. 1-tan0.tam p 1-1x1 32 4.【答案】B 【解析】由题意可知，F(-2√3,0)，E,(2√3,0)，由四边形PFQE为矩形，知Pg=,引，外接圆半径 r=c=25 SPROR=12元 故选B. 5.【答案】D 【解析】CM={2-2x+a>0},N=(4,+w),由CMnN=(4,+o)=N,所以VcCM.故xe(4,+), x2-2x+a>0恒成立，所以a>-x2+2x恒成立，所以a≥-8，故选D. 6.【答案】B 【解析】设方案一，单位算力费用为4万元，方案二，单位算力费用为a,万元且4<4，，租用一台超级 计算机费用t万元 运算量付费 租赁方式付费租赁最少费用 A地 20004 2000a,+t 120万元 B地 4000a 4000a2+t 180万元 C地 6000a 6000a,+t 220万元 由于A、B、C三个公司租赁方案的整体费用最少，根据数据计算量支付费用分别为2000☑，4000a, 60004成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾，租用超级计算机分别为2000☑，+t, 4000a,+t,6000a,+t也成等差数列，与租赁最少费用120万元，180万元，220万元矛盾，则必有某 公司是根据数据计算量支付费用的，若根据数据计算量支付费用的是B公司则4000☑=180，则 2000☑=90<120与A公司租赁最少费用120万元矛盾；若根据数据计算量支付费用的是C公司则 第1页共7页 220 60004,=220,则2000a,= 3 <120与A公司租赁最少费用120万元矛盾：故根据数据计算量支付费 用的是A公司，租用超级计算机的是B公司和C公司，则20004=120,4000a,+t=180, 600a,+t=220,解得：4=10 6 ,2,t=100,若某公司有s00(PetaFLOPS)第力需求时， ,4,=100 最优方案需费用为nim{8000a,8000a+100}=min{480,260}=260万，故选B. 7.【答案】D 【解析】根据题意可得∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°， 所以∠CFB=∠AEC=∠BDA=120°，又因为AD=8,BD=4, 所以BF=CE=AD=8,BD=DF=CF=EF=AE=DE=4, 设EM=九EC(0≤入≤1)，则MC=(1-)EC,， 所以MD=ME+ED=ED-EC=ED-22EF, AM-BC=AC+CM-(AC-AB)=CM+AB=2(A-1)EF+2ED-DF, 所以(AM-BC)·MD=「2(A-1)EF+2ED-DF1(ED-2AEF) =-4A(A-1)EF+2(A-1 ED.EF-4AEF.ED+2ED+2DF.EF-DE.ED -642元-)+16（元-1）-32元+32+16元+8=-6422+64元+24-64(2-分+40 令f)=-64(1-习+40，在0，为上单调递增，在日，单调递减。 故(AM-BC)·MD最大值为40，故选D 8.【答案】B 【解析】设m=(cosx,sinx,n=(Winy,√cosy),则f(x,y)=mn. 显然f(x)=mn≤园月=V5ny+cos少=2sin(0+列≤柜，故选B. 题号 0 10 11 答案 ACD ABC AD 9.【答案】ACD 【解析】由f(w)=3sin(x+,可知f(w的最小正周期为12元，故选ACD. 6 10.【答案】ABC 【解析】对于A,过D作平面/∥平面AEC,与地面的交线为AD和CD的中点连线，长度为√2，故A 正确：对于B,过B,作BM⊥平面AEC,交DD的中点，延长BM与底面ABCD的交点在底面ABCD 第2页共7页 外，故B正确：对于C,因为AC,的面积为定值，显然当F与D重合时体积最大，三棱锥F-AEC,体 积为2，故C正确，对于D,球心O到平面AEC的距离为三，故球O被平面AEC所截截面圆半径 √26 ，所以截面圆面积为 26π ，故D错误，故选ABC. 3 11.【答案】AD 【解析】对于A,抛物线上动点P到焦点F的距离与到准线y=-二的距离 相等，所以PF-PA的最大值为A到准线的距离；故A正确；对于B,抛 物线两条互相垂直的切线交点P,),若P、F、A三点共线，则 P(子宁，散B精谈：对C设切点标分别为M(,):), y= 作抛物线两条切线分别为y=2xx-,y=2x,x-x:2,均过A(30)切点 2×行×g27故C错误，对于D,由抛物线光学 分别为M0,0,2N号，三角形0W的面积为xx4=2动 [y=x2 性质可知，PA经过焦点F,联立 31可得第一象限上点P(1,),故D正确，故选AD. y 4x+4 12.【解析】由(x+y的展开式中，含有x4y的项C(x)4(ay),其系数为5a=30,所以a=6 13.【解析】甲队在前五场比赛中，赢3场输2场，第六场赢.又前五场中甲队有三个主场，两个客场 甲队三个主场全胜，两个客场全负以4：2获胜的概率是0.6×0.5×0.5×0.5=0.027 甲队三个主场2胜1负，两个客场1胜1负以4：2获胜的概率是(C×0.62×0.4)×(C2×0.5×0.5)×0.5=0.108 甲队三个主场1胜2负，两个客场2胜以4：2获胜的概率是(C×0.6×0.4)×(0.5×0.5)×0.5=0.036 综上所述，甲队以4：2获胜的概率是p=0.027+0.108+0.036=0.171 14.【解析】易知，当x=0时，f(x)=g(x)=0,所以x≠0时，y=f(x)和y=x2-ex的图象有3 +4<0)=kx-24,则)=m)和y=)的图象有3个交点 ex-2,x>0 个零点.设(x)= 当k=0时，y=(x)和y=(x)的图象有且仅有1个零点，不合题意，应舍去 员数y=)恒过定点0,20)且对精销为x:关，作出y=)和，=)的大我图象， 第3页共7页 h=eo-2 当k>0,若y=x-2e与y=e-2的图像相切，设切点(x,e-2),则 x,=3 。-2e=e-2,解得 k=e :y=(x)和y=n(x)的图像有3个交点，则k>e.当k<0 2>-4,解得k<- 2 综上所述，k∈-oo, eu(e,+o). 15.【详解】(1)当n=1时，5S=4a-4,即a=S=-4, 当≥2时，5，=4a-4①，5S=401-4②，①-②得50，=4a-41,即8=-4， C4- 所以数列an}是首项4=-4，公比为-4的等比数列，故数列an}的通项公式为a=-4×(4)1=(4)”; (2)由题设cn=0+1)×4”, 则9.=2×4+3×42+4×43+.+(n+1)×4③， 49m=2×42+3×43+4×44+..+(n+1)×4+1④， ③-④得-32.=8+4：+4++4-h）x4m=8+40=4）-6+×4, 1-4 9 16.【详解】(1)零假设为H。:是否喜欢游泳与性别无关联。 根据列联表中的数据，计算得到x-8005×20-25x20=1.269<3.8941=X, 40×40×35×45 所以根据小概率值“=0.05的独立性检验，不能认为是否喜欢健身操与年龄有关联. (2)设A表示“选动感单车”；A表示“选瑜伽”：A表示“选普拉提”；B表示“未达到目标” P(A)=0.2,P(A)=0.5,P(A)=0.3,P(BA)=1-0.6=0.4,P(BA)=1-0.8=0.2,P(BA)=1-0.4=0.6 P(B)=P(A)P(BlA)+P(A2)P(Bl4)+P(A)P(BlA)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.3×0.6=0.36 小邹训练没有达标的条件下，他选择瑜伽的概率为P(A,B)= P(4,B)_P(4,)P(BA,)_0.5x02_5 P(B) P(B) 0.3618 17.【答案】（①证明见解析：(2）证明见解析：62厅 17 【详解】(1)在平面PAE内过点P作PH⊥AE于点H,连接CH. 第4页共7页 在梯形ABCD中，由∠ADC=90°，AD=2√3，DE=2, 易得∠DEA=60°，则EH=DEcos.∠DEA=1,DH=√3，即PH=V3 在△CEH中，由余弦定理，得 CH2=EH2+EC2-2EH.EC.CoS/HEC=1+16+4=21. ,PC=26,且PC2=PH+CH,∴.PH⊥HC,又AE∩CH=H,得PH⊥平面ABCE PHC平面PAE,∴.平面PAE⊥平面ABCE. (2)过点H作AB的平行线交BC于点G,易得HG⊥AE. 以H为原点，分别以A,HG,HP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系g2 由已知，得A(3,0,0),B(3,4W3,0)，C(-3,25,0),E(-1,0,0),P0,0,V3) 再设A,B,C,P在同一个球的球心坐标为O(xy,),半径为 =3-,-y,3-x)+y+子=r p=3-45-y-月6-x+5-y+:=r 则有 -(3-x,25-y,-》月3-x+6-y+=r =（x,y,5-2+y2+(5-= [x=1 求解可得y=23,即球心坐标为O1,23,0),所以点O在平面ABCE内： 6=0 (3)设PF=PB,(0≤2≤1)，由PB=(3,4W5,5),得P厘=(31,4V31,-V3),则F3,43,V3-52) AF=(（31-3,4W3元，-√3+V5),易知平面APE的法向量为n=(01,0) 直线AF与平面APE所成角的正弦值为 m(, AF.n 45) 25 32-3)}2+(45n+(-5+5月 5 平面，4F中亚-(00正-（含28 2 设平面AEF的法向量为=（x,y,z) 第5页共7页 AE·h=-4x=0 则 F4-产+25+5：=0·令4，则=0y=-山，所以平面P的法向量为所(0-14 在平面A8中.西=4饭.亚（26 ,它的法向量=(1,0，)，平面AEF与平面PAB 所成角的余弦值为os(?, 4V5 2W5 17 18.【解析】 x2 +y2=1 (1)联立椭圆与双曲线有： 消y得：+ 4+=l,且x>0 y= →1x-术+f=0,关于x的二次方程判别式A=1-2>0,得0<1<1，x4B2=2±2- 且有 x42+x2=4 代-4=2，从而42，为= XA, x82 得k。-业=4三-1为定值. 4-X:x4-x32 (2)取AB中点M,作BH⊥OD于H. 由∠ABP+∠BPD=90°→∠BPD=90°-∠ABP=∠BPM, ∴lBM=|BH→2ya=2BM=AB, 由h(刘5*25450 则√50-0-2y。=x=V2-2-F=√W+t--)=+t--t, Q+V5⑤F7=+i得=5+25-45+1s 7+2W529 19.【解标11)电已知xs0,f创-co经+士a,所以f0=1-a,f0=1-a 1 则f(x)在点(1，f(1)处的切线为：y=(1-a(x-1)+(1-ad), 即y=(1-d)x,所以a-1=1,a=2. a)若a分则-am<,(>0,放f闭a写刘+nx方≤1+nx方， 起对-x-1,则g(到片行 x2' 易知x∈(0,2)时，g'()>0,x∈(2，+o)时，g'(x)<0 第6页共7页 .8mx=g(2)=n2<1. (3)设)=f0)=5c0s59+a,x>0. 元 2 、2 r当a=1时，0)=c0s)+】1,易知0四=0，且x∈(0，)时，p)>1-1>0. 2 2 x∈0,2)时，()<1-1<0，则1为f)得极大值点， 而a四-分*片1-号0，国-o27片1是}230. 244 则存在x。∈(2,4)，使p(x)=0,即x。应为另一极值点，知a=1时不成立； 2当a=2时.%0-5mc写0+{2.由piG的￡ 1 4 rc02引时，sn今9≥0,2m亏0成立，得9在0.2上避减 又时-号号>0,0=10，所以本@2刘内在啡-专点兮0 即f(x)在(0,2]内存在唯一极值点x: 当x(2,3)时，<x< 所以1<08<0，为①<2<2<0，刊单调递湿 2 无极值： 当e+网计，0兮期时≤号2受片2.00.f0调是版无限 2 x 23 6 值.故a=2符合要求. 综上：正整数的最小值为2，使∫(x)存在唯一的极值点. 第7页共7页