单元培优讲义：专题03 因数与倍数（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

该小学数学苏教版五年级下册“因数与倍数”单元培优讲义，通过考点梳理构建系统知识框架，涵盖因数与倍数的意义、找法、特征等8个核心考点，以层级递进的方式呈现从基础概念到实际应用的知识脉络，突出质数合数、公因数公倍数等重难点的内在联系。 讲义亮点在于例题与练习的精准对应设计，如“用最大公因数解决剪彩带问题”“用最小公倍数解决分组问题”等题型，培养学生数学思维和应用意识。分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习提升。

2025-2026学年五年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题03 因数与倍数 考点梳理 2 考点一、因数与倍数的意义 2 考点二、找因数与倍数的方法 2 考点三、因数与倍数的特征 2 考点四、2、5、3的倍数的特征 2 考点五、质数与合数 2 考点六、公因数与最大公因数 3 考点七、公倍数与最小公倍数 3 考点八、特殊情况下的最大公因数与最小公倍数 3 例题讲解 3 题型一、因数和倍数的认识 3 题型二、找一个数的因数及因数的特征 4 题型三、根据因数的特征解决问题 5 题型四、找一个数的倍数及倍数的特征 6 题型五、根据倍数的特征解决问题 7 题型六、2、3、5的倍数特征 8 题型七、奇数与偶数的认识 9 题型八、质数与合数的认识 10 题型九、质因数的含义 11 题型十、分解质因数 11 题型十一、公因数与最大公因数 12 题型十二、用最大公因数解决实际问题 13 题型十三、公倍数与最小公倍数 14 题型十四、用最小公倍数解决实际问题 15 考点练习 17 练习一、因数和倍数的认识 17 练习二、找一个数的因数及因数的特征 17 练习三、根据因数的特征解决问题 19 练习四、找一个数的倍数及倍数的特征 22 练习五、根据倍数的特征解决问题 25 练习六、2、3、5的倍数特征 27 练习七、奇数与偶数的认识 29 练习八、质数与合数的认识 31 练习九、质因数的含义 34 练习十、分解质因数 34 练习十一、公因数与最大公因数 38 练习十二、用最大公因数解决实际问题 40 练习十三、公倍数与最小公倍数 43 练习十四、用最小公倍数解决实际问题 45 考点梳理 考点一、因数与倍数的意义 1.定义：在乘法算式 （、、均是非自然数）中，和是的因数，是和的倍数。 2.相互依存关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。必须说清谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 3.范围限制：为了方便，本单元研究的因数和倍数是在非自然数范围内进行讨论的。 考点二、找因数与倍数的方法 1.找因数的方法： (1)列乘法算式：有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，相乘的两个数都是这个数的因数。 (2)列除法算式：有序地写出用这个数分别除以大于或等于且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是这个数的因数。 2.找倍数的方法：用这个数依次与非自然数（）相乘，所得的积都是这个数的倍数。 考点三、因数与倍数的特征 1.因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是，最大的因数是它本身。 2.倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3.大小关系：一个数的最小倍数等于它的最大因数，都等于它本身。 考点四、2、5、3的倍数的特征 1.2的倍数特征：个位上是或的数都是的倍数。 2.5的倍数特征：个位上是或的数都是的倍数。 3.同时是2和5的倍数特征：个位上是的数，既是的倍数，又是的倍数。 4.3的倍数特征：一个数各位上数的和是的倍数，这个数就是的倍数。 5.偶数与奇数：是的倍数的数叫作偶数，不是的倍数的数叫作奇数。也是偶数。 考点五、质数与合数 1.质数（素数）：一个数只有和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。最小的质数是。 2.合数：一个数除了和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。最小的合数是。 3.特殊数字：既不是质数，也不是合数。 4.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 5.分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 考点六、公因数与最大公因数 1.公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。一个数的因数的个数是有限的，所以几个数的公因数的个数也是有限的。 2.最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。 3.求法： (1)列举法：先分别找出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数与最大公因数。 (2)筛选法：先找出较小数的所有因数，再从中找出哪些也是较大数的因数，从而找出两个数的公因数与最大公因数。 考点七、公倍数与最小公倍数 1.公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。一个数的倍数的个数是无限的，所以几个数的公倍数的个数也是无限的。 2.最小公倍数：几个数的公倍数中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。 3.求法： (1)列举法：先分别找出两个数的倍数，再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。 (2)筛选法：先找出较大数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数，从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。 考点八、特殊情况下的最大公因数与最小公倍数 1.成倍数关系：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是其中的较小数，最小公倍数是其中的较大数。 2.公因数只有1：当两个数只有公因数时，它们的最大公因数是，最小公倍数是这两个数的积。 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【例题1】从72÷8＝9这道除法算式中，我发现( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【答案】 8、9 72 72 8、9 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。已知算式72÷8＝9，其中商9是整数，且没有余数，符合因数和倍数的定义条件。因此，8和9是72的因数，72是8和9的倍数。 【详解】72÷8＝9 被除数是72，除数是8，商是9。 所以发现8、9是72的因数，72是8、9的倍数。 【练习1】在算式3×5＝15中，15是3和5的( )数，3和5既是15的( )数，也是15的( )数。 【答案】 倍 因 质因 【分析】两个整数相乘，这两个数都是积的因数，而积是这两个数的倍数，如果因数是质数，则称之为质因数。除了1和本身，没有其他因数的数是质数，3和5是质数，据此解答。 【详解】由分析可得，在算式3×5＝15中，15是3和5的倍数，3和5既是15的因数，也是15的质因数。 题型二、找一个数的因数及因数的特征 【例题2】36的因数有（    ）个。 A．7 B．9 C．10 D．无数 【答案】B 【分析】a×b＝c（a、b、c均为正整数），那么a和b是c的因数。所以，可将36写成两个整数相乘的形式，先找出36的所有因数，再统计个数即可。 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 所以，36的所有因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，一共有9个。 故答案为：B 【练习2】1、3、9都是9的( )，( )是任何数的因数。 【答案】 因数 1 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数，据此完成第一个空；任何数除以1都等于它本身，一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，据此完成第二个空。 【详解】1×9＝9 3×3＝9 1、3、9都是9的因数，1是任何数的因数。 题型三、根据因数的特征解决问题 【例题3】体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人） 【答案】4行或8行；2种 【分析】根据题意可知，每行人数×行数＝32，据此将32拆分成2个因数相乘，已知每行或每列不少于2人，据此判断有几种方法即可。 【详解】32＝1×32＝2×16＝4×8 因为每行或每列不少于2人，所以1×32、2×16不符合题意，所以有两种站队方法：①4行8列，②8行4列。 答：可以排4行或8行，共有2种站队的方法。 【练习3】把48个球装在若干个盒子里，如果每个盒子里装的数量一样多，有多少种装法？每种装法各需要多少个盒子？每个盒子里装几个？ 【答案】10种；1盒，48个；2盒，24个；3盒，16个；4盒，12个； 6盒，8个；24盒，2个； 16盒，3个；12盒，4个；8盒，6个；48盒，1个 【分析】盒子个数与每盒球的个数都是总数48的因数，因此直接考虑48的因数有哪些即可。 【详解】48的因数：1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 48＝1×48所以装1盒，每盒装48个； 48＝2×24所以装2盒，每盒装24个； 48＝3×16所以装3盒，每盒装16个； 48＝4×12所以装4盒，每盒装12个； 48＝6×8所以装6盒，每盒装8个； 48＝8×6所以装8盒，每盒装6个； 48＝12×4所以装12盒，每盒装4个； 48＝16×3所以装16盒，每盒装3个； 48＝24×2所以装24盒，每盒装2个； 48＝48×1所以装48盒，每盒装1个； 答：有10种装法；装1盒，每盒装48个；装2盒，每盒装24个；装3盒，每盒装16个；装4盒，每盒装12个；装6盒，每盒装8个；装8盒，每盒装6个；装12盒，每盒装4个；装16盒，每盒装3个；装24盒，每盒装2个；装48盒，每盒装1个。 题型四、找一个数的倍数及倍数的特征 【例题4】7的倍数有( )个，其中最小的是( )。 【答案】 无数 7 【分析】一个数的倍数是指这个数分别乘1、2、3、4…，所得的数，因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的。一个数的最小倍数是它本身，所以7的最小倍数是7。 【详解】因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的。一个数的最小倍数是它本身。 7的倍数有无数个，其中最小的是7。 【练习4】36的因数有( )；100以内17的倍数有( )。 【答案】 1、2、3、4、6、9、12、18、36 17、34、51、68、85 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个； 求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此解答。 【详解】求36的因数： 从1开始找，36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，所以36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36 。 求100以内17的倍数： 17×1＝17，17×2＝34，17×3＝51，17×4＝68，17×5＝85，17×6＝102（超过100，舍去），所以100以内17的倍数有17，34，51，68，85 36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36；100以内17的倍数有17、34、51、68、85。 题型五、根据倍数的特征解决问题 【例题5】图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（    ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余） A．长40厘米，宽35厘米 B．长36厘米，宽24厘米 C．长30厘米，宽18厘米 D．长20厘米，宽12厘米 【答案】B 【分析】由题意，要想剪时没有剩余，则纸的长、宽必须是8、6的倍数，据此逐项分析即可得解。 【详解】A．长40厘米，宽35厘米，35不是6的倍数，不合适； B．长36厘米，宽24厘米，36是6的倍数，24是8的倍数，合适； C．长30厘米，宽18厘米，30不是8的倍数、36是6的倍数，不合适； D．长20厘米，宽12厘米，20不是8的倍数，不合适。 故答案为：B 【练习5】小熊饼干每袋有7块。把下表填写完整，并填空。 袋数 1 2 3 4 5 6 7 饼干块数 7 14 （1）小熊饼干的块数一定是7的（    ）。 （2）表中7的倍数有（    ）。 【答案】 21；28；35；42；49 （1）倍数 （2）7、14、21、28、35、42、49 【分析】每袋饼干的数量×袋数＝饼干块数，在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，c是a、b的倍数，所以饼干块数是每袋饼干数量的倍数，即小熊饼干的块数是7的倍数，然后依次写出表中7的倍数即可。 【详解】 填表如下： 袋数 1 2 3 4 5 6 7 饼干块数 7 14 21 28 35 42 49 由分析可知： （1）小熊饼干的块数一定是7的倍数。 （2）表中7的倍数有7、14、21、28、35、42、49。 题型六、2、3、5的倍数特征 【例题6】253至少加上( )才是3的倍数，至少减去( )才能有因数5，至少增加( )才是2的倍数。 【答案】 2 3 1 【分析】3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数。 2＋5＋3＝7＋3＝10，10至少加2变成12，12是3的倍数。 5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。253个位至少减去3，变成250，250是5的倍数。 2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。253至少增加1，变成254，254是2的倍数。据此填空即可。 【详解】由分析可知：253至少加上2才是3的倍数，至少减去3才能有因数5，至少增加1才是2的倍数。 【练习6】一个三位数43□，既是2的倍数又是5的倍数，□里填( )；若既是2的倍数又是3的倍数，□里填( )。 【答案】 0 2或者8 【分析】2的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8；5的倍数的特征是个位上是0或5； 2的倍数个位上是0、2、4、6、8，所以□可能是0、2、4、6、8 ；3的倍数特征是这个数各个数位上的数字之和是3的倍数。 【详解】既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上只能是0，所以这个三位数43□，□里填0； 4＋3＝7，当□＝0时，4＋3＋0＝7，7不是3的倍数；当□＝2时，4＋3＋2＝9，9是3的倍数；当□＝4时，4＋3＋4＝11，11不是3的倍数；当□＝6时，4＋3＋6＝13，13不是3的倍数；当□＝8时，4＋3＋8＝15，15是3的倍数，所以这个三位数43□，□里填2或8。 题型七、奇数与偶数的认识 【例题7】在2、6、11、15、30、42中，偶数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数，据此解答。 【详解】2、6、11、15、30、42中，偶数有2、6、30、42，一共4个。 在2、6、11、15、30、42中，偶数有4个。 故答案为：C 【练习7】如果是自然数，下列式子中，肯定是奇数的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据自然数的性质以及奇数（不能被2整除的数是奇数）、偶数（能被2整除的数是偶数）的定义，对每个选项进行分析判断。 【详解】A．如果是自然数，那么2n表示n的2倍，根据偶数的定义，2n一定是偶数，偶数加1的结果一定是奇数，所以2n＋1肯定是奇数。 B．如果是自然数，那么n可能是奇数也能可能是偶数。 当n是奇数，那么n＋1就是偶数，比如n＝3，n＋1＝3＋1＝4，是偶数。 当n是偶数，那么n＋1就是奇数，比如n＝2，n＋1＝2＋1＝3，是奇数。 所以（n＋1）可能是奇数也能可能是偶数。 C．如果是自然数，那么n可能是奇数也能可能是偶数。 当n是奇数，那么n＋2就是奇数，比如n＝3，n＋2＝3＋2＝5，是奇数。 当n是偶数，那么n＋2就是偶数，比如n＝2，n＋2＝2＋2＝4，是偶数。 所以（n＋2）可能是奇数也能可能是偶数。 D．如果是自然数，那么2n表示n的2倍，根据偶数的定义，2n一定是偶数。 故答案为：A 题型八、质数与合数的认识 【例题8】筷子是中华民族传统饮食文化的重要体现。它的长度为七寸六分，大约25厘米，两根筷子放在一起像11，超市售卖时通常8双或10双为一盒，这段话中的数有7，6，25，2，1，11，8，10.其中奇数有( )，合数有( )，质数有( )。 【答案】 7、25、1、11 6、25、8、10 7、2、11 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。最小的偶数是0，没有最大的偶数，最小的奇数是1，也没有最大的奇数。一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。一个大于1的自然数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此解答。 【详解】筷子是中华民族传统饮食文化的重要体现。它的长度为七寸六分，大约25厘米，两根筷子放在一起像11，超市售卖时通常8双或10双为一盒，这段话中的数有7，6，25，2，1，11，8，10。其中奇数有7、25、1、11，合数有6、25、8、10，质数有7、2、11。 【练习8】24的因数有( )，其中质数有( )，( )既不是质数也不是合数。 【答案】 1，2，3，4，6，8，12，24 2，3 1 【分析】找24的因数可以一对一对的地找，即乘积为24的两个整数为其因数；只有1和它本身两个因数的就是质数，只有1既不是质数也不是合数。 【详解】①，所以1和24是24的因数；，所以2和12是24的因数；，所以3和8是24的因数；，所以4和6是24的因数。因此24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 ②1不符合质数的要求；2的因数为1和2，符合质数的要求；3的因数为1和3，符合质数的要求；4的因数有1、2、4，三个因数不符合质数的要求；6的因数有1、2、3、6，四个因数不符合质数的要求；8的因数有1、2、4、8，四个因数不符合质数的要求；12的因数有1、2、3、4、6、12，六个因数不符合质数的要求；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，八个因数不符合质数的要求。所以24的因数中质数有：2、3。 ③1只有1个因数既不是质数也不是合数。 题型九、质因数的含义 【例题9】在42＝6×7中，( )和( )都是42的因数，其中( )是42的质因数。 【答案】 6 7 7 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。所谓质因数就是，当我们把一个整数写成若干个整数的积的时候，如果每个因数都是质数，那么这些因数都叫原数的质因数。 【详解】在42＝6×7中，6和7都是42的因数；因为6是合数，7是质数，所以7是42的质因数。 因此在42＝6×7中，6和7都是42的因数，其中7是42的质因数。 【练习9】因为，所以5和6都是30的( )，5也是30的( )。 【答案】 因数 质因数 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数中的质数叫这个数的质因数。 【详解】因为，所以5和6都是30的因数，5也是30的质因数。 【点睛】因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。 题型十、分解质因数 【例题10】一个自然数，它的最大因数与最小倍数的和是24，这个自然数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 12 12＝2×2×3 【分析】根据一个数的最大因数、最小倍数都是它本身，可知一个自然数的最大因数与最小倍数的和是24，那么这个自然数的2倍是24，据此求出这个自然数。 分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】24÷2＝12 12＝2×2×3 所以这个自然数是12，把它分解质因数是12＝2×2×3。 【练习10】两个质数的积是21，这两个质数分别是( )和( )，所以将21分解质因数是( )。 【答案】 3 7 21＝3×7 【分析】因数只有1和本身的数是质数。20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，其中只有3×7＝21。据此填空。 【详解】两个质数的积是21，这两个质数分别是3和7，所以将21分解质因数是21＝3×7。 题型十一、公因数与最大公因数 【例题11】写出下面各组数的最大公因数。 10和9         14和42         26和39 ( )        ( )         ( ) 【答案】 1 14 13 【分析】两个数的最大公因数就是这两个数的公有质因数的乘积；如果两个数是互质数，最大公因数是1；若两个数有倍数关系，则较小数就是它们的最大公因数。据此计算即可。 【详解】10和9 10和9是互质数，最大公因数是1。 因为42是14的倍数，所以14和42的最大公因数是14； 26＝2×13 39＝3×13 则26和39的最大公因数是13。 故：10和9的最大公因数是1；14和42的最大公因数是14；26和39的最大公因数是13。 【练习11】找出下面每组数的最大公因数。 16和36        25和35        21和45        32和40 【答案】4；5；3；8 【分析】分解质因数法：几个自然数的最大公因数，必须包含这几个自然数全部公有的质因数，因此可先把各个数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出并且连乘起来，所得的积就是最大公因数。据此解答。 【详解】16＝2×2×2×2    36＝2×2×3×3 16和36 的最大公因数为2×2＝4。 25＝5×5    35＝5×7 25和35的最大公因数为5。 21＝3×7    45＝3×3×5 21和45的最大公因数为3。 32＝2×2×2×2×2    40＝2×2×2×5 32和40的最大公因数为2×2×2＝8。 题型十二、用最大公因数解决实际问题 【例题12】把两根彩带（如下图）剪成同样长的短彩带且没有剩余。每根短彩带最长是多少厘米？可以剪成几段？ 【答案】5厘米；14段 【分析】根据题意可知，每根短彩带最长的长度是45厘米和25厘米的最大公因数，就是每根短彩带的最长厘米数；用总长厘米数除以每根短彩带的厘米数就是段数，再把两条彩带所剪的段数相加即可得解。 【详解】45＝5×3×3 25＝5×5 45和25的最大公因数是5，每根短彩带最长是5厘米。 45÷5＝9（段） 25÷5＝5（段） 9＋5＝14（段） 可以剪14段。 【练习12】同学们手工课制作香囊，每个香囊需要用一块正方形的布料。如果将下面这块大布料全部用完，最少可以制作多少个香囊？ 【答案】28个 【分析】把一块长方形布料剪成同样的正方形且全部用完，说明正方形的边长是长、宽的公因数，求正方形最少可以制作香囊的个数，那么正方形的边长要最大，就是求长、宽的最大公因数；用分解质因数的方法求出长、宽的最大公因数，再分别求出长、宽各可以制作几个，最后相乘就是最少可以制作香囊的总个数。 【详解】42＝2×3×7 24＝2×2×2×3 42和24的最大公因数是：2×3＝6 即正方形的最大边长是6分米。 42÷6＝7（个） 24÷6＝4（个） 一共：7×4＝28（个） 答：最少可以制作28个香囊。 题型十三、公倍数与最小公倍数 【例题13】50以内6和4的公倍数有（    ）个。 A．4 B．5 C．6 D．无数个 【答案】A 【分析】两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；据此求出6和4的最小公倍数；再列举50以内该公倍数的所有倍数，即可解答。 【详解】6＝2×3 4＝2×2 6和4的最小公倍数是2×2×3＝12 50以内12的倍数有：12，24，36，48一共4个。 50以内6和4的公倍数有4个。 故答案为：A 【练习13】找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和28           26和39            16和25 【答案】7和28的最大公因数是7，最小公倍数是28； 26和39的最大公因数是13，最小公倍数是78； 16和25的最大公因数是1，最小公倍数是400 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】（1）7和28是倍数关系，所以7和28的最大公因数是7，最小公倍数是28； （2）26＝2×13，39＝3×13 26和39的最大公因数是13，最小公倍数是2×3×13＝78； （3）16和25是互质数，所以16和25的最大公因数是1，最小公倍数是16×25＝400。 题型十四、用最小公倍数解决实际问题 【例题14】五（1）班学生人数在40～50人之间，每4人一组或每6人一组，都能正好分完且没有剩余。五（1）班的学生有多少人？ 【答案】48人 【分析】每4人一组或每6人一组，都能正好分完且没有剩余，所以组数是4和6的最小公倍数。利用分解质因数法求最小公倍数，4＝2×2；6＝2×3。最小公倍数为2×2×3＝12，所以4和6的最小公倍数是12。因为公倍数是最小公倍数的整数倍，所以依次列出12的倍数：12、24、36、48、60…，观察可知，在40～50之间的倍数只有48。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（组） 12的倍数：12、24、36、48、60… 在40～50之间的倍数只有48。 答：五（1）班的学生有48人。 【练习14】学校计划制作一种长15厘米，宽10厘米的校园明信片，制作材料用正方形卡纸裁剪而成。 （1）采购下面哪种规格的正方形卡纸最合适？请说明理由。（制作时材料没有剩余） （2）李老师采购了80张②号卡纸，可制作多少张这种明信片？ 【答案】（1）②；理由见详解 （2）1920张 【分析】（1）要使制作材料没有剩余，正方形卡纸的边长应是明信片长15厘米和宽10厘米的公倍数。先对15和10分解质因数：15＝3×5，10＝2×5，所以15和10的最小公倍数是2×3×5＝30。因为1分米＝10厘米，所以30厘米为30÷10＝3分米。①号边长5分米（50厘米）、②号边长6分米（60厘米）、③号边长7分米（70厘米）。60是30的倍数，所以采购②号规格（边长6分米）的正方形卡纸最合适，这样能保证制作时材料没有剩余。 （2）②号卡纸边长为6分米，即60厘米。卡纸的长边可以剪60÷15＝4（张）。卡纸的宽边可以剪60÷10＝6（张）。一张②号卡纸可制作4×6＝24（张）明信片。采购了80张②号卡纸，可制作24×80＝1920（张）。 【详解】（1）15＝3×5 10＝2×5 2×3×5＝30（厘米） 1分米＝10厘米 30÷10＝3（分米） ②号边长6分米是3的倍数。 答：采购②号规格（边长6分米）的正方形卡纸最合适，这样能保证制作时材料没有剩余。 （2）6×10＝60（厘米） 60÷15＝4（张） 60÷10＝6（张） 4×6＝24（张） 24×80＝1920（张） 答：80张②号卡纸可制作1920张这种明信片。 考点练习 练习一、因数和倍数的认识 1．下面能表示因数和倍数关系的等式是（    ）。 A．8×1.25＝10 B．2×0＝0 C．7×2＝14 D．3÷0.5＝6 【答案】C 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数）；由此进行选择即可。 【详解】根据因数和倍数的意义可知： A．8×1.25＝10，1.25是小数，不属于因数和倍数关系； B．2×0＝0，0÷2＝0，不属于因数和倍数关系； C．7×2＝14，即14÷2＝7，是整除算式，属于因数和倍数关系； D．3÷0.5＝6，0.5是小数，不属于因数和倍数关系。 故答案为：C 2．在7×9＝63中，9是( )的因数，63是( )和( )的倍数。 【答案】 63 7 9 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数；据此解答。 【详解】在7×9＝63中，9是（63）的因数，63是（7）和（9）的倍数。 3．在42÷6＝7中，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 【答案】 6 7 42 42 6 7 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【详解】在42÷6＝7中，即6×7＝42，6和7是42的因数，42是6和7的倍数。 练习二、找一个数的因数及因数的特征 1．如果a是17的因数，那么（    ）。 A．a只能是1 B．a只能是17 C．a是1或17 D．a是任意自然数 【答案】C 【分析】如果整数a除以整数的商是整数且没有余数，那么b就是a的因数。商是整数且没有余数，所以1是17的因数，，商是整数且没有余数，所以17也是17的因数。因此17的因数只有1和17，对比选项，解决问题。 【详解】A.17也是17的因数，选项错误； B.1也是17的因数，选项错误； C.“a是1或17”，与17的因数只有1和17相符，选项正确； D.只有1和17能整除17，不是任意自然数，选项错误。 故答案为：C 2．下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．36 B．40 C．48 D．50 【答案】C 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数；一一列举出各数的因数，比较各自因数的个数即可。 【详解】A．36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36，共9个； B．40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40，共8个； C．48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，共10个； D．50的因数有：1，2，5，10，25，50，共6个 48的因数个数最多。 故答案为：C 3．6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系用加法算式表示是1＋2＋3＝6。古希腊的毕达哥拉斯把像6这样的数叫做完美数，下列数中是完美数的是（    ）。 A．9 B．10 C．20 D．28 【答案】D 【分析】由题可知，除自身外的所有因数之和等于它本身的数是完美数，据此逐一计算各选项的因数之和即可判断。 【详解】A．9的因数有1、3、9，除自身外的所有因数之和为1＋3＝4≠9，此选项错误； B．10的因数有1、2、5、10，除自身外的所有因数之和为1＋2＋5＝8≠10，此选项错误； C．20的因数有1、2、4、5、10、20，除自身外的所有因数之和为1＋2＋4＋5＋10＝22≠20，此选项错误； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，除自身外的所有因数之和为1＋2＋4＋7＋14＝28，等于原数，此选项正确。 故答案为：D 4．10的因数有( )个。 【答案】4 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，由此求出10的因数，据此解答。 【详解】10÷1＝10 10÷2＝5 10的因数有1，2，5，10，一共4个。 5．写出下面各数的因数。 【答案】17的因数有：1、17；36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36 【分析】根据找一个数的因数的方法，可以一对一对的找，最小的是1，最大的是它本身。 【详解】 17的因数有：1、17。 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 练习三、根据因数的特征解决问题 1．105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等并且不能少于10人，也不能多于30人。符合条件的队列一共有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等，则总人数一定能被每排的人数整除，即每排的人数是105的因数，再根据“不能少于10人，也不能多于30人”，选择合适的情况即可。 【详解】105的因数有：1、3、5、7、15、21、35、105；符合题意的有：15人、21人。 所以105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等并且不能少于10人，也不能多于30人。符合条件的队列一共有2种。 故答案为：B 2．根据题意列表。 有48瓶饮料要摆一摆，把摆放的情况填写完整。 排数 1 2 3 4 8 12 16 24 每排瓶数 【答案】48；24；16；12；6；4；3；2 【分析】已知饮料的总瓶数是48瓶，用总瓶数除以摆放的排数，即可求出每排的瓶数。 【详解】48÷1＝48（瓶） 48÷2＝24（瓶） 48÷3＝16（瓶） 48÷4＝12（瓶） 48÷8＝6（瓶） 48÷12＝4（瓶） 48÷16＝3（瓶） 48÷24＝2（瓶） 填空如下： 排数 1 2 3 4 8 12 16 24 每排瓶数 48 24 16 12 6 4 3 2 3．五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 【答案】4种；见详解 【分析】长方形队伍的总人数等于每行人数乘每列人数，即：每行人数×每列人数＝60。60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。因为每行和每列人数都不能少于5人，所以需找出两个因数相乘等于60，且每个因数都大于或等于5的情况：5×12＝60（每行5人，每列12人），12×5＝60（每行12人，每列5人），6×10＝60（每行6人，每列10人），10×6＝60（每行10人，每列6人）符合条件的因数对共有4组，即有4种排法。据此解答。 【详解】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 5×12＝60，每行5人，每列12人； 12×5＝60，每行12人，每列5人； 6×10＝60，每行6人，每列10人； 10×6＝60，每行10人，每列6人； 答：共有4种排法，分别是每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【点睛】本题的关键在于，先根据“总人数＝每行人数×每列人数”的关系，分解出60的所有因数，再结合“每行、每列人数不少于5人”的条件筛选出符合要求的因数对，最后通过考虑行数与列数的互换情况，统计出所有符合条件的排法数量并具体列出。 4．缫丝工需要操作缫丝机，将熟茧制成生丝。张师傅将48位缫丝工分成人数相等的小组（每组人数大于1，不止1组），可以分几组？列表写出所有方案。 【答案】见详解 【分析】先列举48的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。已知每组人数大于1、组数不止1组，排除因数1（每组人数需大于1）和48（若每组48人则只有1组，不符合“不止1组”的要求），剩余有效因数为：2、3、4、6、8、12、16、24。根据“每组人数＝总人数÷分组数”的数量关系，依次选取符合条件的分组数，分别计算对应的每组人数。将计算得出的分组数与每组人数一一对应，最终通过列表形式整理出所有满足题意的分组方案，清晰呈现结果。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 因为每组人数大于1且不止1组，所以分组数不能是1和48。 当分组数为2组时，每组人数为48÷2＝24（人）； 当分组数为3组时，每组人数为48÷3＝16（人）； 当分组数为4组时，每组人数为48÷4＝12（人）； 当分组数为6组时，每组人数为48÷6＝8（人）； 当分组数为8组时，每组人数为48÷8＝6（人）； 当分组数为12组时，每组人数为48÷12＝4（人）； 当分组数为16组时，每组人数为48÷16＝3（人）； 当分组数为24组时，每组人数为48÷24＝2（人）。 列表如下： 组数 每组人数 2 24 3 16 4 12 6 8 8 6 12 4 16 3 24 2 答：可分的组数为：2组、3组、4组、6组、8组、12组、16组、24组。 练习四、找一个数的倍数及倍数的特征 1．一个数最小的倍数是12，这个数有（    ）个因数。 A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据一个数最小的倍数是它本身，可以确定这个数为12，找到12的所有因数，确定个数即可。 【详解】根据分析： 所以12的因数有：1、2、3、4、6、12，共6个。 故答案为：B 【点睛】这道题的关键是明确一个数的最小倍数是它本身，并准确找出这个数的所有因数。 2．既是48的因数，又是4的倍数的数有（    ）个。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】把48分解成两个自然数相乘的形式，其中的乘数都是48的因数；用4分别乘1、2、3、4、5……，得出的积都是4的倍数。从两组数中找出相同的数，就是既是48的因数，又是4的倍数的数。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 则48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 4×1＝4，4×2＝8，4×3＝14，4×4＝16，4×5＝20，4×6＝24，4×7＝28，4×8＝32，4×9＝36，4×10＝40，4×11＝44，4×12＝48……， 则4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48……； 那么既是48的因数，又是4的倍数的数有：4、8、12、16、24、48，共有6个。 故答案为：C 3．一个数越大，倍数的个数越多。( ) 【答案】× 【分析】根据倍数的定义，一个数的倍数的个数是无限的。例如，2的倍数有2、4、6、8……，100的倍数有100、200、300……，它们的倍数的个数都是无限的。因此，无论数的大小，倍数的个数都是无限的。 【详解】一个数的倍数的个数是无限的，因此，无法比较倍数的个数。 故答案为：× 4．50以内6的全部倍数：( )。 【答案】6、12、18、24、30、36、42、48 【分析】根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘自然数1、2、3、4……从中找出符合要求的倍数，即可解答。 【详解】6×1＝6 6×2＝12 6×3＝18 6×4＝24 6×5＝30 6×6＝36 6×7＝42 6×8＝48 6×9＝54（54＞50，不符要求） 所以50以内6的全部倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 5．写出下面各数的倍数。（各写5个） 【答案】 3的倍数：3、6、9、12、15（答案不唯一） 13的倍数：13、26、39、52、65（答案不唯一） 【分析】找一个数的倍数，直接把这个数分别乘1、2、3、4、5、6……，一个数的倍数的个数是无限的。 【详解】，，，，…… 3的倍数：3、6、9、12、15（答案不唯一） ，，，，…… 13的倍数：13、26、39、52、65（答案不唯一） 如图： 练习五、根据倍数的特征解决问题 1．用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（    ）。（单位：厘米，其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米。） A．108×80 B．90×60 C．120×72 D．144×10 【答案】C 【分析】用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面，正好能铺满且没有浪费，也就是这个桌面的长和宽是12的倍数，据此解答。 【详解】A．80不能被12整除，不符合题意； B．90不能被12整除，不符合题意； C．120和72都能被12整除，120÷12＝10，72÷12＝6，6×10＝60（张），则用60张正方形画纸可以铺满桌面，符合题意； D．10不能被12整除，不符合题意。 故答案为：C 2．根据题意列表。 每间鸡舍可以养3只鸡。 鸡舍间数 1 2 3 4 5 6 可养鸡只数 【答案】3；6；9；12；15；18 【分析】已知每间鸡舍可以养3只鸡，用每间鸡舍可养的只数乘鸡舍的间数即可解答。 【详解】3×1＝3（只） 3×2＝6（只） 3×3＝9（只） 3×4＝12（只） 3×5＝15（只） 3×6＝18（只） 填空如下： 鸡舍间数 1 2 3 4 5 6 可养鸡只数 3 6 9 12 15 18 3．五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【答案】42、49棵 【分析】根据求一个数的倍数，求出7的倍数，又因为小树苗的数量在40～50棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 【详解】7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中40～50之间的数是42、49。 答：这些小树苗可能有42、49棵。 4．饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 【答案】5千克装或3千克装；9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；如果刚好把菜籽油装完，那么菜籽油的总质量是油桶可以装菜籽油质量的倍数，需要油桶的数量＝菜籽油的总质量÷每个油桶可以装菜籽油的质量，据此解答。 【详解】45÷5＝9（个） 45÷3＝15（个） 由上可知，45是5和3的倍数，则用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要5千克装的油桶9个或3千克装的油桶15个。 答：用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶。 【点睛】本题主要考查因数、倍数的应用，掌握因数、倍数的意义是解答题目的关键。 练习六、2、3、5的倍数特征 1．在15，18，25，30，40中，2的倍数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2和5的倍数的有( )，同时是2，3和5的倍数的数有( )。 【答案】 18，30，40 15，25，30，40 15，18，30 30，40 30 【分析】2的倍数（个位是0、2、4、6、8）、5的倍数（个位是0或5）、3的倍数（各位数字之和是3的倍数）的特征，逐一判断每个数字。同时是2和5的倍数需个位为0；同时是2，3和5的倍数需个位为0且各位数字之和是3的倍数，据此判断。 【详解】个位是0、2、4、6、8的有18，30，40，所以2的倍数有18，30，40； 个位是0或5的有15，25，30，40，所以5的倍数有15，25，30，40； 1＋5＝6，6是3的倍数，1＋8＝9，9是3的倍数，3＋0＝3，3是3的倍数，所以3的倍数有15，18，30； 同时是2和5的倍数的有30，40； 同时是2，3和5的倍数的数有30。 2．一个两位数既能被2和3整除，又能被5整除，这个两位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 30 90 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数。一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，既是2和3的倍数，又是5的倍数，这个数的个位上的数字是0。各个数位上的数字的和是3的倍数。 【详解】根据分析可知，一个两位数既能被2和3整除，又能被5整除，这个两位数最小是30，最大是90。 3．235至少加上( )，这个数就既有因数5，又同时是2和3的倍数。 【答案】5 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】同时是2和5的倍数，个位一定是0； 个位是0，离235最近且比235大的三位数是240； 2＋4＋0＝6，6是3的倍数，则240是3的倍数。 240－235＝5 所以，235至少加上（5），这个数就既有因数5，又同时是2和3的倍数。 4．一个三位数“31□”，如果这个数是5的倍数，□里最大填( )；如果这个数既是2的倍数又是3的倍数，□里最小填( )。 【答案】 5 2 【分析】一个数是5的倍数，末尾是0或5，□里最大填几就是5，要想同时是2、3的倍数，个位上一定是偶数，这个数各位上的数字之和一定是3的倍数，依此解答。 【详解】如果一个三位数是5的倍数，那么这个三位数的末尾是0或5，所以□里最大填几就是5； 如果这个数既是2的倍数又是3的倍数，个位上一定是偶数且各位上的数字之和一定是3的倍数，□里可以填0，2，4，6，8， 如果□填0：3＋1＋0＝4，，4不是3的倍数，□不能填0； 如果□填2：3＋1＋2＝6，，6是3的倍数，□能填2； 所以□里最小填2。 所以如果这个数是5的倍数，□里最大填5；如果这个数既是2的倍数又是3的倍数，□里最小填2。 5．用0、2、7三个数字组成三位数，分别满足以下的条件。 (1)同时是2、3的倍数的最大的三位数：( )。 (2)同时是5、3的倍数的最小的三位数：( )。 (3)同时是2、3和5的倍数的最大的三位数：( )。 【答案】(1)720 (2)270 (3)720 【分析】（1）既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 （2）既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 （3）2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】（1）同时是2、3的倍数的最大的三位数：720。 （2）同时是5、3的倍数的最小的三位数：270。 （3）同时是2、3和5的倍数的最大的三位数：720。 6．有三路公交车从同一站点同时出发。1路车每2分发车一辆，3路车每3分发车一辆，6路车每5分发车一辆，这三路公交车至少再过多少分会同时发车？ 【答案】30分 【分析】分析题目，要使三路公交车同时发车则时间必须同时是2、3、5的倍数，据此分别列举出2，3，5的倍数；再找出同时是2、3、5的倍数的最小数即可解答。 【详解】2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34…… 3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36…… 5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35…… 同时是2、3、5的倍数的最小数是：30 答：这三路公交车至少再过30分会同时发车。 练习七、奇数与偶数的认识 1．用2、0、5三个数，可以组成不同的三位数，其中是偶数的有（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】用数字2、0、5组成不同的三位数，首位不能为0。个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数，即为偶数。 所有可能的三位数有：以2为首位，有205、250；以5为首位，有502、520；共4个。 其中，205的个位是5，不是偶数；250的个位是0，是偶数；502的个位是2，是偶数；520的个位是0，是偶数。 据此解答。 【详解】用2、0、5三个数，可以组成不同的三位数，其中是偶数的有250、502、520，共3个。 故答案为：B 2．在6，10，15，22，35这些数中，偶数有( )个，同时是2和3的倍数的数是( )。 【答案】 3 6 【分析】自然数，能被2整除的数为偶数；一个数的个位数字是0、2、4、6、8且各个数位上的数字之和是3的倍数，即满足同时是2和3的倍数。 【详解】由分析可知： 1＋0＝1，不是3的倍数。 2＋2＝4，不是3的倍数。 在6，10，15，22，35这些数中，偶数有6，10，22共3个，同时是2和3的倍数的数是6。 3．与2a（a为非0自然数）相邻的两个奇数分别为( )和( )。 【答案】 2a−1 2a＋1 【分析】因为a是非0自然数，所以2a一定是偶数，相邻的偶数和奇数相差1，所以偶数相邻的两个奇数分别比它小1和大1。比2a小的相邻奇数为2a－1；比2a大的相邻奇数为2a＋1。 【详解】根据分析可知，与2a（a为非0自然数）相邻的两个奇数分别为2a－1和2a＋1。 4．昨晚，小红吃饭时家里的灯突然灭了，她按了5次开关，发现原来是停电了，等到来电的时候，灯是( )着的。（填“开”或“关”） 【答案】关 【分析】灯原本是亮着的，说明初始时开关处于开的状态。按1次开关，状态变为关；按2次开关，状态变回开；按3次开关，状态为关……由此可总结规律：按奇数次开关，灯是关的；按偶数次开关，灯是开的。小红按了5次开关，5是奇数，所以来电时灯是关着的。据此解答。 【详解】根据分析：昨晚，小红吃饭时家里的灯突然灭了，她按了5次开关，发现原来是停电了，等到来电的时候，灯是关着的。 5．9月20日是爱牙日，学校给100名单亲家庭的学生发牙膏，每人1支，这些牙膏的编号从1到100，编号是偶数的有( )支，编号是3的倍数中，最大的奇数是( )号。 【答案】 50 99 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】从1到100，一半是奇数，一半是偶数，100÷2＝50（支） 编号是偶数的有50支，编号是3的倍数中，最大的奇数是99号。 练习八、质数与合数的认识 1．20以内有（    ）个质数。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数；合数是指除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。据此找出20以内所有的质数。 【详解】20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，共有8个质数。 故答案为：C 2．从1、3、5、7这四个数字中选两个数字组成不同的两位数，其中合数有（    ）个。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据搭配问题的解题方法，将4个数字分别放在十位，其余数字依次在个位，写出所有不同的两位数，再确定合数的个数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】13、15、17、31、35、37、51、53、57、71、73、75，合数有15、35、51、57、75，共5个。 故答案为：B 3．著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”。这个猜想的内容是任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。下面符合这个猜想的是（    ）。 A．8＝1＋7 B．36＝17＋19 C．60＝3＋57 D．32＝15＋17 【答案】B 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】A．8＝1＋7中，1不是质数，不符合哥德巴赫猜想； B．36＝17＋19中，36是大于2的偶数，17、19都是质数，符合哥德巴赫猜想； C．60＝3＋57中，57是合数，不是质数，不符合哥德巴赫猜想； D．32＝15＋17中，15是合数，不是质数，不符合哥德巴赫猜想。 故答案为：B 4．在1、2、8、9、41、51中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 【答案】 1、9、41、51 2、8 2、41 8、9、51 【分析】不能被2整除的数叫做奇数；能被2整数的数叫做偶数。 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2； 一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其它因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【详解】1、2、8、9、41、51；奇数有：1、9、41、51； 偶数有：2、8； 质数有：2、41； 合数有8、9、51。 在1、2、8、9、41、51中，奇数有1、9、41、51，偶数有2、8，质数有2、41，合数有8、9、51。 5．在括号里填上适当的质数。 24＝( )＋( )        91＝( )×( ) 【答案】 5 19 13 7 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；找出24以内的质数，找出两个质数的和为24即可（答案不唯一）；分解91为两个质数之积时，需找到能整除91的质数对。 【详解】24以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23。 24＝5＋19 91＝13×7 24＝5＋19       91＝13×7 6．在1～20这些自然数中，最小的偶数是( )；是奇数又是合数的数有( )；最小的合数是( )，最小的质数是( )。 【答案】 2 9、15 4 2 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数；不是2的倍数的数叫作奇数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，最小的质数是2。 【详解】在1～20中，能被2整除的最小自然数是2，所以在1～20这些自然数中，最小的偶数是2。 在1～20这些自然数中，奇数有1、3、5、7、9、11、15、17、19，其中1既不是质数也不是合数，3、5、7、11、17都是质数，9的因数除了9外，还有因数3，所以9是合数，15的因数除了1和15外，还有因数3和5，所以15是合数，所以是奇数又是合数的数有9和15。 最小的合数是4，最小的质数是2。 7．下面是质数和合数的对话。从对话中，我知道质数是( )，合数是( )。 【答案】 7 9 【分析】自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数， 比如2、3、5、7… 等；除了1和它本身，还有其他因数的数是合数，比如4、6、8、9… 等。已知质数与合数的积是63 ，然后从63＝1×63、63＝3×21、63＝7×9这三组里，选出“一个是质数、一个是合数”，且和是16的一组即可。 【详解】63＝1×63：1既不是质数也不是合数，排除； 63＝3×21：和是3＋21＝24，不是16，排除； 63＝7×9：和是7＋9＝16；7的因数只有1和7，是质数；9的因数有1、3、9，是合数；均符合条件。 因此，质数是7，合数是9。 8．亮亮家的门锁密码是由4个不是0的数字组成的。第1个数字是最小的合数，第2个数字是最小的质数，第3个数字既不是质数也不是合数，第4个数字既是合数又是奇数。亮亮家的门锁密码是( )。 【答案】4219 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】第1个数字是最小的合数，即4； 第2个数字是最小的质数，即2； 第3个数字既不是质数也不是合数，即1； 第4个数字既是合数又是奇数，即9； 亮亮家的门锁密码是4219。 练习九、质因数的含义 1．42＝6×7，6( )42的质因数，7( )42的质因数。（填“是”或“不是”） 【答案】 不是 是 【分析】分解质因数是把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，其中每个质数叫做这个合数的质因数；因为6是合数不是质数，7是质数，所以6不是42的质因数，7是42的质因数，据此解答。 【详解】42＝6×7，则6和7都是42的因数，因为6是合数不是质数，7是质数，因此6不是42的质因数，7是42的质因数。 因此42＝6×7，6不是42的质因数，7是42的质因数。 2．18的因数有( )，其中质因数有( )。 【答案】1、2、3、6、9、18；2、3 【分析】找18的因数可以一组一组的找，乘积是18的因数有1和18，2和9，3和6；如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数，质数是除了1和它本身之外没有其它因数的数，这些数中，2和3是质因数。 【详解】由分析可知，18的因数有（1、2、3、6、9、18），其中质因数有（2、3）。 3．35的因数有( )，其中质因数有( )。 【答案】 1、5、7、35 5、7 【分析】根据找一个数的因数的方法，利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组的找出35的因数，再按照质数的定义，除了1和它本身之外，不能被其他自然数整除的数即为质数，在35的因数中找出质数即可得解。 【详解】35＝1×35＝5×7 则35的因数有1、5、7、35，其中质因数有5、7。 练习十、分解质因数 1．一个数最大的因数是27，这个数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 27 27＝3×3×3 【分析】一个数最大的因数是这个数的本身；分解质因数就是将一个数写成几个质数相乘的形式，可以用短除法得出。 【详解】 一个数最大的因数是27，这个数是27，把它分解质因数是27＝3×3×3。 2．一个数的最小倍数是36，把它分解质因数是( )。 【答案】36＝2×2×3×3 【分析】根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”，求出这个数，再根据分解质因数是指将一个合数拆成若干个质数相乘的形式，质数是只有1和自身两个因数的数，如2、3、5等，36是偶数，先除以最小的质数2：36÷2＝18；18仍是偶数，继续除以2：18÷2＝9；9不是偶数，除以质数3：9÷3＝3；3是质数，将所有除数和最后的商相乘即可。 【详解】一个数的最小倍数是36，可知这个数就是36 36÷2＝18 18÷2＝9 9÷3＝3 36＝2×2×3×3 一个数的最小倍数是36，把它分解质因数是36＝2×2×3×3。 3．一个数是2和3的倍数，还是60的因数，这个数最大是( )。如果把这个数分解质因数是( )。 【答案】 60 60＝2×2×3×5 【分析】根据倍数性质，同时是2和3的倍数的数，一定是2×3＝6的倍数（即能被6整除）。是60的因数：需先列出60的所有因数，再从中筛选出是6的倍数的数。60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。能被6整除的数为：6、12、30、60。对比可得，最大的数是60。 分解质因数是将一个数拆成若干个质数相乘的形式。对60分解质因数：60＝2×2×3×5。 【详解】2×3＝6 是2和3的倍数的数，一定是6的倍数。 60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。能被6整除的数为：6、12、30、60，最大的数是60。 60＝2×2×3×5 这个数最大是60。如果把这个数分解质因数是60＝2×2×3×5。 4．在3，7，12，31，57，89中，质数有( )个，把这些数中最小的合数分解质因数是( )。 【答案】 4 12＝2×2×3 【分析】自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数； 分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式。据此解答。 【详解】3＝1×3 7＝1×7 12＝1×12＝2×6＝3×4 31＝1×31 57＝1×57＝3×19 89＝1×89 因此这些数中，质数有3、7、31、89，共4个。 合数有12、57，最小的是12，12＝2×2×3。 综上，这些数中，质数有4个，把这些数中最小的合数分解质因数是12＝2×2×3。 5．在下面的数中圈出质数，并把合数分解质因数。 17   39   20   23   41   121   57   49 【答案】见详解 【分析】自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数，把一个合数分解成若干个质因数相乘的形式叫做分解质因数。据此解答。 【详解】17＝1×17，17是质数； 39＝1×39＝3×13，39是合数； 20＝1×20＝2×10＝4×5，20是合数； 23＝1×23，23是质数； 41＝1×41，41是质数； 121＝1×121＝11×11，121是合数； 57＝1×57＝3×19，57是合数； 49＝1×49＝7×7，49是合数； 综上，17，23，41是质数，39，20，121，57，49是合数。 39＝3×13 20＝2×2×5 121＝11×11 57＝3×19 49＝7×7 6．近几年国家提出“乡村振兴”的口号，乡村振兴必须先产业振兴。李叔叔返乡创业，在农场里栽了一些苹果树苗，每行的棵数和行数都是质数（每行棵数相同）。4个小朋友去农场参观，他们数出的总棵数如下表所示，其中只有一个小朋友数对了。农场里到底栽了多少棵苹果树苗？ 为什么？ 明明 亮亮 红红 轩轩 66 72 77 88 【答案】77；理由见详解 【分析】根据题意，苹果树苗的总棵数是每行的棵数（质数）与行数（质数）的乘积，据此分别将4个小朋友数出的数量分解质因数，能写成两个质数相乘的形式即可。 【详解】66＝2×3×11，分解质因数后无法写成两个质数相乘的形式。 72＝2×2×2×3×3，分解质因数后无法写成两个质数相乘的形式。 77＝7×11，分解质因数后能写成两个质数相乘的形式。 88＝2×2×2×11，分解质因数后无法写成两个质数相乘的形式。 答：农场里栽了77棵苹果树苗，因为77＝7×11。 练习十一、公因数与最大公因数 1．12和18的最大公因数是（    ）。 A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】A 【分析】分解12和18的质因数：质因数是指能整除给定正整数的质数。12＝2×2×3，18＝2×3×3。12和18的公有的质因数是2和3。最大公因数等于公有的质因数的乘积，以此计算，并选择出正确答案。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 2×3＝6 即12和18的最大公因数是6。 故答案为：A 2．下列4组数中，只有公因数1的一组数是（    ）。 A．20和25 B．18和27 C．21和42 D．14和17 【答案】D 【分析】公因数：指两个或多个数共有的因数。判断时，需要先找出每组数的所有因数，再对比它们的公因数，看是否只有1。 【详解】A．20的因数：1、2、4、5、10、20，25的因数：1、5、25，20和25共有的因数是1、5，除了1之外还有公因数5，因此A选项不符合题意。 B．18的因数：1、2、3、6、9、18，27的因数：1、3、9、27，18和27共有的因数是1、3、9，除了1之外还有公因数3、9，因此B选项不符合题意。 C．21的因数：1、3、7、21，42的因数：1、2、3、6、7、14、21、42，21和42共有的因数是1、3、7、21，除了1之外还有多个公因数，因此C选项不符合题意。 D．14的因数：1、2、7、14，17的因数：1、17，14和17共有的因数只有1，因此D选项符合题意。 故答案为：D 3．自然数m是n的3倍，m和n的最大公因数是（    ）。 A．m B．n C．3 D．mn 【答案】B 【分析】几个数的公因数中最大的一个叫做最大公因数。成倍数关系的两个数，其最大公因数是较小的数。 【详解】根据分析，自然数m是n的3倍，则m和n的最大公因数是n。 故答案为：B 4．在下图中，a是( )，b是( )，a和b的最大公因数是( )。 【答案】 12 18 6 【分析】一个数的最大因数是它本身，据此确定a和b的值；观察a和b的公因数，找到最大的公因数是最大公因数。 【详解】观察韦恩图，a的最大因数是12，a是12，b的最大因数是18，b是18，a和b的最大公因数是6。 5．找出每组数的最大公因数。 24和36     7和14     30和25     8和11     12和18 【答案】12；7；5；1；6 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数。 【详解】（1）24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最大公因数是：2×2×3＝12 （2）7和14是倍数关系，所以7和14的最大公因数是7； （3）30＝2×3×5 25＝5×5 30和25的最大公因数是5； （4）8和11是互质数，所以8和11的最大公因数是1； （5）12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是：2×3＝6 练习十二、用最大公因数解决实际问题 1．有两根彩带（如图），把它们截成同样长的短彩带，且没有剩余，每根短彩带最长是（    ）。 A．4厘米 B．12厘米 C．18厘米 D．24厘米 【答案】B 【分析】求每根短彩带最长是多少厘米，即求36和48的最大公因数，先把36和48进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数；由此解答即可。 【详解】36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 36和48的最大公因数是2×2×3＝12，每根短彩带的最长是12厘米。 有两根彩带，把它们截成同样长的短彩带，且没有剩余，每根短彩带最长是12厘米。 故答案为：B 2．李老师将34本笔记本和91支圆珠笔平均分给一个兴趣小组的同学。结果笔记本还差2本，圆珠笔多出7支。这个兴趣小组最多有( )名同学。 【答案】12 【分析】由题意可知，如果笔记本增加2本，圆珠笔减少7支，那么兴趣小组的人数既是（34＋2）的因数，也是（91－7）的因数，求这个兴趣小组的最多人数就是求这两个数的最大公因数，据此解答。 【详解】34＋2＝36（本） 91－7＝84（支） 36和84的最大公因数：2×2×3＝12 所以，这个兴趣小组最多有12名同学。 3．有两根绳子，一根长48米，另一根长36米，现在要把它们剪成同样长的小段，没有剩余，且每小段的长度都是整米数，每小段最长是多少米？一共可以剪成多少小段？ 【答案】 12米；7段 【分析】要求每小段的最长长度，即求48和36的最大公因数。通过分解质因数，找出48和36公有的质因数并相乘，得到最大公因数为12，即每小段最长12米。 然后分别用两根绳子的长度除以每小段长度，算出各自能剪成的段数，再将段数相加，即可得到总共剪成的段数。据此解答。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以48和36的最大公因数是2×2×3＝12 48÷12＋36÷12 ＝4＋3 ＝7（段） 答：每小段最长是12米，一共可以剪成7小段。 4．三月是“学雷锋月”，实验小学五年级同学到“夕阳红养老院”义务劳动，男生有30人，女生有24人，把他们分成劳动小组。如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分成几组？每组中男生和女生各有多少人？ 【答案】6组；5人；4人 【分析】要使每组中男生和女生人数分别相同且组数最多，需找到男生人数30和女生人数24的最大公因数。两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此求出30和24的最大公因数，求出最多分成几组，再用男生人数÷最大公因数，求出每组男生人数；用女生人数÷最大公因数，求出每组女生人数。 【详解】30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 30和24的最大公因数是2×3＝6；最多可以分6组。 30÷6＝5（人） 24÷6＝4（人） 答：最多可以分6组，每组中男生有5人，女生有4人。 5．为了布置教室，小红将一张长24厘米、宽16厘米的彩纸裁成同样大小的小正方形。 （1）如果要求彩纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？ （2）一共可以裁出多少个这样的正方形？ 【答案】（1）8厘米 （2）6个 【分析】（1）根据题意可知，裁出的正方形边长最大是多少，是求24和16的最大公因数； （2）由于是把这个长方形的彩纸正好裁完，没有剩余，即可以用这张长方形纸的面积除以正方形的面积得出结果。根据，，分别求出彩纸和正方形的面积，用长方形面积÷正方形面积＝裁出的正方形的个数，据此列式解答。 【详解】（1） （24，16）＝8 答：裁出的正方形边长最大是8厘米。 （2） （个） 答：一共可以裁出6个这样的正方形。 练习十三、公倍数与最小公倍数 1．2和24的最小公倍数是（    ）。 A．2 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。如果两个整数成倍数关系，则最小公倍数是这两个整数中较大的那个数。 【详解】2和24成倍数关系，最小公倍数是较大的24。 即2和24的最小公倍数是24。 故答案为：C 2．已知（、都是非零自然数），则和的最小公倍数是（    ）。 A．a B． C．ab D．4 【答案】A 【分析】根据a＝4b（a、b都是非零自然数），可知a是b的4倍，即a和b存在倍数关系。当两个数成倍数关系时，较大的数即为它们的最小公倍数。据此解答。 【详解】由a＝4b可知，a和b成倍数关系，且a＞b，所以，a和b的最小公倍数为a。 故答案为：A 3．8和10的最大公因数是( )；12和36的最小公倍数是( )。 【答案】 2 36 【分析】用分解质因数法求最大公因数，是把公有的质因数相乘；求最小公倍数，是把公有的和各自独有的质因数相乘，若两个数成倍数关系，较大数即为它们的最小公倍数。据此计算即可。 【详解】8＝2×2×2 10＝2×5 8和10的最大公因数是2。 36÷12＝3 36是12的3倍，所以12和36的最小公倍数是36。 4．在括号里写出每组数的最大公因数，在横线上写出每组数的最小公倍数。 9和10( )    13和1( )    12和20( ) 12和3( )    3和5( )    24和16( ) 【答案】 1 90 1 13 4 60 3 12 1 15 8 48 【分析】互质数（公因数只有1）的最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积；成倍数关系的数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；一般数用分解质因数法求最大公因数和最小公倍数。 【详解】9和10是互质数，最大公因数1，最小公倍数9×10＝90； 13和1是互质数，最大公因数1，最小公倍数13×1＝13； 12＝2×2×3，20＝2×2×5，最大公因数2×2＝4，最小公倍数2×2×3×5＝60； 12和3成倍数关系，最大公因数3，最小公倍数12；3和5是互质数，最大公因数1，最小公倍数3×5＝15； 24＝2×2×2×3，16＝2×2×2×2，最大公因数2×2×2＝8，最小公倍数2×2×2×2×3＝48。 9和10，最大公因数：1；最小公倍数：90 13和1，最大公因数：1；最小公倍数：13 12和20，最大公因数：4；最小公倍数：60 12和3，最大公因数：3；最小公倍数：12 3和5，最大公因数：1；最小公倍数：15 24和16，最大公因数：8；最小公倍数：48 5．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 10和15     7和13     34和51     60和12 【答案】最大公因数5；最小公倍数30；最大公因数1；最小公倍数91；最大公因数17；最小公倍数102；最大公因数12；最小公倍数60 【分析】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数，最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是两个数中的较小数，最小公倍数是两个数中的较大数，据此解答。 【详解】（1）10和15 10和15的最大公因数是5，最小公倍数是5×2×3＝30。 （2）7和13是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是7×13＝91。 （3）34和51 34和51的最大公因数是17，最小公倍数是17×2×3＝102。 （4）60÷12＝5，60和12是倍数关系，它们的最大公因数是12，最小公倍数是60。 练习十四、用最小公倍数解决实际问题 1．学校图书室在书店买了一些图书，如果每10本一包，正好能够包完。如果每16本一包，也能正好包完。图书室至少买了（    ）本图书。 A．60 B．80 C．120 D．160 【答案】B 【分析】图书室的书，10本一包，正好能够包完，则图书室书的数量一定是10的倍数；如果图书室的书，每16本一包，也能正好包完，则图书室书的数量一定也是16的倍数。 求图书室至少买了多少本图书，也就是求10和16的最小公倍数，根据求两个数最小公倍数的方法：先把10和16进行分解质因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的乘积是它们的最小公倍数；据此解答即可。 【详解】10＝2×5 16＝2×2×2×2 所以10和16的最小公倍数是：2×5×2×2×2＝80，也就是图书室至少买了80本图书。 故答案为：B 2．通师一附小学举行广播操比赛，五年级二班设计的队形方案：1名学生在前面领操，其他学生既可以正好排成每行12人，也可以正好排成每行16人。五二班至少有学生多少人？ 【答案】49人 【分析】由题意可知，如果把五二班的总人数去掉1人，那么剩余人数既是12的倍数，也是16的倍数，由此可知，五二班的总人数比12和16的公倍数多1，则最少人数比这两个数的最小公倍数多1，据此解答。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最小公倍数：2×2×3×2×2＝48 48＋1＝49（人） 答：五二班至少有学生49人。 3．公路一边共有梧桐树28棵（两端都有），每相邻两棵之间的距离原来都是8米，现在因树显得较密，要改成12米的间隔。如果起点的树不动，那么不需要移动的树共有多少棵？ 【答案】10棵 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数，据此求出原来与现在间隔距离的最最小公倍数是不需要移动的树的间隔距离。两端都植，段数＝棵数－1，原来的间距×（原来的棵数－1）＝总长度，如果起点的树不动，总长度÷不需要移动的树的间隔距离＋1＝不需要移动的棵数。 【详解】8＝2×2×2、12＝2×2×3 2×2×2×3＝24（米） 8×（28－1） ＝8×27 ＝216（米） 216÷24＋1 ＝9＋1 ＝10（棵） 答：不需要移动的树共有10棵。 4．你们听说过“韩信点兵——多多益善”这句歇后语吗？其实在数学中也有“韩信点兵”这一说法，它指代的是一种类型的数学问题，下面我们就来试着解答吧。 韩信带领1500名士兵去打仗，战死了四百多人，还未来得及清点人数，敌军已经追来，韩信急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信马上向将士们宣布：我军还有1049名勇士。同学们，你知道韩信是怎么算出来的吗？尝试说一说。 【答案】见详解 【分析】士兵3人一排多2人，即3人一排少1人；5人一排多4人，即5人一排少1人；7人一排多6人，也就是7人一排少1人。因为3人一排、5人一排、7人一排都少1人，所以总人数加上1之后，就能够被3、5、7整除；由于3、5、7这三个数两两互质，根据互质数求最小公倍数的方法，它们的最小公倍数就是这三个数的乘积，即3×5×7＝105。考虑到最初有1500名士兵，战死了四百多人，那么剩下的人数在1000～1100之间；找到105的倍数接近这个剩余人数范围的数是105×10＝1050，再减去1人即可。 【详解】3×5×7 ＝15×7 ＝105 105×10－1 ＝1050－1 ＝1049（名） 答：还有1049名勇士。 5．A路和B路公交车早上7时同时从起始站发车。A路车每10分钟发一辆车，B路车每8分钟发一辆车。这两路车第二次同时发车的时间是多少？ （1）列表找出这两路车第二次同时发车的时间。先填一填，再圈出答案。 A路车 7：00 7：10 7：20 B路车 7：00 7：08 7：16 （2）解决这个问题，还有其他的方法吗？请写出你的想法。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）列表法解决问题时，根据A路车每10分钟发一辆车，写出A路车的发车时间，可以在上一次发车时间的基础上加10分钟；根据B路车每8分钟发一辆车，写出B路车的发车时间，可以在上一次发车时间的基础上加8分钟，再圈出第二次同时出发的时间。 （2）通过找10和8的最小公倍数来找出这两路车第二次同时发车的时间；根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，较大的那个数为最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数为两个数的乘积，据此解答。 【详解】（1）如图： （2）10＝2×5 8＝2×2×2 10和8的最小公倍数是2×2×2×5＝40（分钟） 7时＋40分＝7时40分，即早上7：40。 答：这两路车第二次同时发车的时间是早上7：40。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题03 因数与倍数 考点梳理 2 考点一、因数与倍数的意义 2 考点二、找因数与倍数的方法 2 考点三、因数与倍数的特征 2 考点四、2、5、3的倍数的特征 2 考点五、质数与合数 2 考点六、公因数与最大公因数 3 考点七、公倍数与最小公倍数 3 考点八、特殊情况下的最大公因数与最小公倍数 3 例题讲解 3 题型一、因数和倍数的认识 3 题型二、找一个数的因数及因数的特征 4 题型三、根据因数的特征解决问题 4 题型四、找一个数的倍数及倍数的特征 4 题型五、根据倍数的特征解决问题 4 题型六、2、3、5的倍数特征 5 题型七、奇数与偶数的认识 5 题型八、质数与合数的认识 5 题型九、质因数的含义 6 题型十、分解质因数 6 题型十一、公因数与最大公因数 6 题型十二、用最大公因数解决实际问题 6 题型十三、公倍数与最小公倍数 7 题型十四、用最小公倍数解决实际问题 7 考点练习 8 练习一、因数和倍数的认识 8 练习二、找一个数的因数及因数的特征 8 练习三、根据因数的特征解决问题 9 练习四、找一个数的倍数及倍数的特征 9 练习五、根据倍数的特征解决问题 10 练习六、2、3、5的倍数特征 11 练习七、奇数与偶数的认识 11 练习八、质数与合数的认识 11 练习九、质因数的含义 12 练习十、分解质因数 12 练习十一、公因数与最大公因数 13 练习十二、用最大公因数解决实际问题 14 练习十三、公倍数与最小公倍数 15 练习十四、用最小公倍数解决实际问题 15 考点梳理 考点一、因数与倍数的意义 1.定义：在乘法算式 （、、均是非自然数）中，和是的因数，是和的倍数。 2.相互依存关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。必须说清谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 3.范围限制：为了方便，本单元研究的因数和倍数是在非自然数范围内进行讨论的。 考点二、找因数与倍数的方法 1.找因数的方法： (1)列乘法算式：有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，相乘的两个数都是这个数的因数。 (2)列除法算式：有序地写出用这个数分别除以大于或等于且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是这个数的因数。 2.找倍数的方法：用这个数依次与非自然数（）相乘，所得的积都是这个数的倍数。 考点三、因数与倍数的特征 1.因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是，最大的因数是它本身。 2.倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 3.大小关系：一个数的最小倍数等于它的最大因数，都等于它本身。 考点四、2、5、3的倍数的特征 1.2的倍数特征：个位上是或的数都是的倍数。 2.5的倍数特征：个位上是或的数都是的倍数。 3.同时是2和5的倍数特征：个位上是的数，既是的倍数，又是的倍数。 4.3的倍数特征：一个数各位上数的和是的倍数，这个数就是的倍数。 5.偶数与奇数：是的倍数的数叫作偶数，不是的倍数的数叫作奇数。也是偶数。 考点五、质数与合数 1.质数（素数）：一个数只有和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。最小的质数是。 2.合数：一个数除了和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。最小的合数是。 3.特殊数字：既不是质数，也不是合数。 4.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 5.分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 考点六、公因数与最大公因数 1.公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。一个数的因数的个数是有限的，所以几个数的公因数的个数也是有限的。 2.最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。 3.求法： (1)列举法：先分别找出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数与最大公因数。 (2)筛选法：先找出较小数的所有因数，再从中找出哪些也是较大数的因数，从而找出两个数的公因数与最大公因数。 考点七、公倍数与最小公倍数 1.公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。一个数的倍数的个数是无限的，所以几个数的公倍数的个数也是无限的。 2.最小公倍数：几个数的公倍数中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。 3.求法： (1)列举法：先分别找出两个数的倍数，再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。 (2)筛选法：先找出较大数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数，从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。 考点八、特殊情况下的最大公因数与最小公倍数 1.成倍数关系：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是其中的较小数，最小公倍数是其中的较大数。 2.公因数只有1：当两个数只有公因数时，它们的最大公因数是，最小公倍数是这两个数的积。 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【例题1】从72÷8＝9这道除法算式中，我发现( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【练习1】在算式3×5＝15中，15是3和5的( )数，3和5既是15的( )数，也是15的( )数。 题型二、找一个数的因数及因数的特征 【例题2】36的因数有（    ）个。 A．7 B．9 C．10 D．无数 【练习2】1、3、9都是9的( )，( )是任何数的因数。 题型三、根据因数的特征解决问题 【例题3】体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人） 【练习3】把48个球装在若干个盒子里，如果每个盒子里装的数量一样多，有多少种装法？每种装法各需要多少个盒子？每个盒子里装几个？ 题型四、找一个数的倍数及倍数的特征 【例题4】7的倍数有( )个，其中最小的是( )。 【练习4】36的因数有( )；100以内17的倍数有( )。 题型五、根据倍数的特征解决问题 【例题5】图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（    ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余） A．长40厘米，宽35厘米 B．长36厘米，宽24厘米 C．长30厘米，宽18厘米 D．长20厘米，宽12厘米 【练习5】小熊饼干每袋有7块。把下表填写完整，并填空。 袋数 1 2 3 4 5 6 7 饼干块数 7 14 （1）小熊饼干的块数一定是7的（    ）。 （2）表中7的倍数有（    ）。 题型六、2、3、5的倍数特征 【例题6】253至少加上( )才是3的倍数，至少减去( )才能有因数5，至少增加( )才是2的倍数。 【练习6】一个三位数43□，既是2的倍数又是5的倍数，□里填( )；若既是2的倍数又是3的倍数，□里填( )。 题型七、奇数与偶数的认识 【例题7】在2、6、11、15、30、42中，偶数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【练习7】如果是自然数，下列式子中，肯定是奇数的是（    ）。 A． B． C． D． 题型八、质数与合数的认识 【例题8】筷子是中华民族传统饮食文化的重要体现。它的长度为七寸六分，大约25厘米，两根筷子放在一起像11，超市售卖时通常8双或10双为一盒，这段话中的数有7，6，25，2，1，11，8，10.其中奇数有( )，合数有( )，质数有( )。 【练习8】24的因数有( )，其中质数有( )，( )既不是质数也不是合数。 题型九、质因数的含义 【例题9】在42＝6×7中，( )和( )都是42的因数，其中( )是42的质因数。 【练习9】因为，所以5和6都是30的( )，5也是30的( )。 题型十、分解质因数 【例题10】一个自然数，它的最大因数与最小倍数的和是24，这个自然数是( )，把它分解质因数是( )。 【练习10】两个质数的积是21，这两个质数分别是( )和( )，所以将21分解质因数是( )。 题型十一、公因数与最大公因数 【例题11】写出下面各组数的最大公因数。 10和9         14和42         26和39 ( )        ( )         ( ) 【练习11】找出下面每组数的最大公因数。 16和36        25和35        21和45        32和40 题型十二、用最大公因数解决实际问题 【例题12】把两根彩带（如下图）剪成同样长的短彩带且没有剩余。每根短彩带最长是多少厘米？可以剪成几段？ 【练习12】同学们手工课制作香囊，每个香囊需要用一块正方形的布料。如果将下面这块大布料全部用完，最少可以制作多少个香囊？ 题型十三、公倍数与最小公倍数 【例题13】50以内6和4的公倍数有（    ）个。 A．4 B．5 C．6 D．无数个 【练习13】找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和28           26和39            16和25 题型十四、用最小公倍数解决实际问题 【例题14】五（1）班学生人数在40～50人之间，每4人一组或每6人一组，都能正好分完且没有剩余。五（1）班的学生有多少人？ 【练习14】学校计划制作一种长15厘米，宽10厘米的校园明信片，制作材料用正方形卡纸裁剪而成。 （1）采购下面哪种规格的正方形卡纸最合适？请说明理由。（制作时材料没有剩余） （2）李老师采购了80张②号卡纸，可制作多少张这种明信片？ 考点练习 练习一、因数和倍数的认识 1．下面能表示因数和倍数关系的等式是（    ）。 A．8×1.25＝10 B．2×0＝0 C．7×2＝14 D．3÷0.5＝6 2．在7×9＝63中，9是( )的因数，63是( )和( )的倍数。 3．在42÷6＝7中，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。 练习二、找一个数的因数及因数的特征 1．如果a是17的因数，那么（    ）。 A．a只能是1 B．a只能是17 C．a是1或17 D．a是任意自然数 2．下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．36 B．40 C．48 D．50 3．6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系用加法算式表示是1＋2＋3＝6。古希腊的毕达哥拉斯把像6这样的数叫做完美数，下列数中是完美数的是（    ）。 A．9 B．10 C．20 D．28 4．10的因数有( )个。 5．写出下面各数的因数。 练习三、根据因数的特征解决问题 1．105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等并且不能少于10人，也不能多于30人。符合条件的队列一共有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．根据题意列表。 有48瓶饮料要摆一摆，把摆放的情况填写完整。 排数 1 2 3 4 8 12 16 24 每排瓶数 3．五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 4．缫丝工需要操作缫丝机，将熟茧制成生丝。张师傅将48位缫丝工分成人数相等的小组（每组人数大于1，不止1组），可以分几组？列表写出所有方案。 练习四、找一个数的倍数及倍数的特征 1．一个数最小的倍数是12，这个数有（    ）个因数。 A．4 B．6 C．8 D．12 2．既是48的因数，又是4的倍数的数有（    ）个。 A．4 B．5 C．6 D．7 3．一个数越大，倍数的个数越多。( ) 4．50以内6的全部倍数：( )。 5．写出下面各数的倍数。（各写5个） 练习五、根据倍数的特征解决问题 1．用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（    ）。（单位：厘米，其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米。） A．108×80 B．90×60 C．120×72 D．144×10 2．根据题意列表。 每间鸡舍可以养3只鸡。 鸡舍间数 1 2 3 4 5 6 可养鸡只数 3．五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 4．饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 练习六、2、3、5的倍数特征 1．在15，18，25，30，40中，2的倍数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2和5的倍数的有( )，同时是2，3和5的倍数的数有( )。 2．一个两位数既能被2和3整除，又能被5整除，这个两位数最小是( )，最大是( )。 3．235至少加上( )，这个数就既有因数5，又同时是2和3的倍数。 4．一个三位数“31□”，如果这个数是5的倍数，□里最大填( )；如果这个数既是2的倍数又是3的倍数，□里最小填( )。 5．用0、2、7三个数字组成三位数，分别满足以下的条件。 (1)同时是2、3的倍数的最大的三位数：( )。 (2)同时是5、3的倍数的最小的三位数：( )。 (3)同时是2、3和5的倍数的最大的三位数：( )。 6．有三路公交车从同一站点同时出发。1路车每2分发车一辆，3路车每3分发车一辆，6路车每5分发车一辆，这三路公交车至少再过多少分会同时发车？ 练习七、奇数与偶数的认识 1．用2、0、5三个数，可以组成不同的三位数，其中是偶数的有（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．6 2．在6，10，15，22，35这些数中，偶数有( )个，同时是2和3的倍数的数是( )。 3．与2a（a为非0自然数）相邻的两个奇数分别为( )和( )。 4．昨晚，小红吃饭时家里的灯突然灭了，她按了5次开关，发现原来是停电了，等到来电的时候，灯是( )着的。（填“开”或“关”） 5．9月20日是爱牙日，学校给100名单亲家庭的学生发牙膏，每人1支，这些牙膏的编号从1到100，编号是偶数的有( )支，编号是3的倍数中，最大的奇数是( )号。 练习八、质数与合数的认识 1．20以内有（    ）个质数。 A．6 B．7 C．8 D．9 2．从1、3、5、7这四个数字中选两个数字组成不同的两位数，其中合数有（    ）个。 A．6 B．5 C．4 D．3 3．著名的哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”。这个猜想的内容是任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。下面符合这个猜想的是（    ）。 A．8＝1＋7 B．36＝17＋19 C．60＝3＋57 D．32＝15＋17 4．在1、2、8、9、41、51中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 5．在括号里填上适当的质数。 24＝( )＋( )        91＝( )×( ) 6．在1～20这些自然数中，最小的偶数是( )；是奇数又是合数的数有( )；最小的合数是( )，最小的质数是( )。 7．下面是质数和合数的对话。从对话中，我知道质数是( )，合数是( )。 8．亮亮家的门锁密码是由4个不是0的数字组成的。第1个数字是最小的合数，第2个数字是最小的质数，第3个数字既不是质数也不是合数，第4个数字既是合数又是奇数。亮亮家的门锁密码是( )。 练习九、质因数的含义 1．42＝6×7，6( )42的质因数，7( )42的质因数。（填“是”或“不是”） 2．18的因数有( )，其中质因数有( )。 3．35的因数有( )，其中质因数有( )。 练习十、分解质因数 1．一个数最大的因数是27，这个数是( )，把它分解质因数是( )。 2．一个数的最小倍数是36，把它分解质因数是( )。 3．一个数是2和3的倍数，还是60的因数，这个数最大是( )。如果把这个数分解质因数是( )。 4．在3，7，12，31，57，89中，质数有( )个，把这些数中最小的合数分解质因数是( )。 5．在下面的数中圈出质数，并把合数分解质因数。 17   39   20   23   41   121   57   49 6．近几年国家提出“乡村振兴”的口号，乡村振兴必须先产业振兴。李叔叔返乡创业，在农场里栽了一些苹果树苗，每行的棵数和行数都是质数（每行棵数相同）。4个小朋友去农场参观，他们数出的总棵数如下表所示，其中只有一个小朋友数对了。农场里到底栽了多少棵苹果树苗？ 为什么？ 明明 亮亮 红红 轩轩 66 72 77 88 练习十一、公因数与最大公因数 1．12和18的最大公因数是（    ）。 A．6 B．12 C．18 D．36 2．下列4组数中，只有公因数1的一组数是（    ）。 A．20和25 B．18和27 C．21和42 D．14和17 3．自然数m是n的3倍，m和n的最大公因数是（    ）。 A．m B．n C．3 D．mn 4．在下图中，a是( )，b是( )，a和b的最大公因数是( )。 5．找出每组数的最大公因数。 24和36     7和14     30和25     8和11     12和18 练习十二、用最大公因数解决实际问题 1．有两根彩带（如图），把它们截成同样长的短彩带，且没有剩余，每根短彩带最长是（    ）。 A．4厘米 B．12厘米 C．18厘米 D．24厘米 2．李老师将34本笔记本和91支圆珠笔平均分给一个兴趣小组的同学。结果笔记本还差2本，圆珠笔多出7支。这个兴趣小组最多有( )名同学。 3．有两根绳子，一根长48米，另一根长36米，现在要把它们剪成同样长的小段，没有剩余，且每小段的长度都是整米数，每小段最长是多少米？一共可以剪成多少小段？ 4．三月是“学雷锋月”，实验小学五年级同学到“夕阳红养老院”义务劳动，男生有30人，女生有24人，把他们分成劳动小组。如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分成几组？每组中男生和女生各有多少人？ 5．为了布置教室，小红将一张长24厘米、宽16厘米的彩纸裁成同样大小的小正方形。 （1）如果要求彩纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？ （2）一共可以裁出多少个这样的正方形？ 练习十三、公倍数与最小公倍数 1．2和24的最小公倍数是（    ）。 A．2 B．12 C．24 D．48 2．已知（、都是非零自然数），则和的最小公倍数是（    ）。 A．a B． C．ab D．4 3．8和10的最大公因数是( )；12和36的最小公倍数是( )。 4．在括号里写出每组数的最大公因数，在横线上写出每组数的最小公倍数。 9和10( )    13和1( )    12和20( ) 12和3( )    3和5( )    24和16( ) 5．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 10和15     7和13     34和51     60和12 练习十四、用最小公倍数解决实际问题 1．学校图书室在书店买了一些图书，如果每10本一包，正好能够包完。如果每16本一包，也能正好包完。图书室至少买了（    ）本图书。 A．60 B．80 C．120 D．160 2．通师一附小学举行广播操比赛，五年级二班设计的队形方案：1名学生在前面领操，其他学生既可以正好排成每行12人，也可以正好排成每行16人。五二班至少有学生多少人？ 3．公路一边共有梧桐树28棵（两端都有），每相邻两棵之间的距离原来都是8米，现在因树显得较密，要改成12米的间隔。如果起点的树不动，那么不需要移动的树共有多少棵？ 4．你们听说过“韩信点兵——多多益善”这句歇后语吗？其实在数学中也有“韩信点兵”这一说法，它指代的是一种类型的数学问题，下面我们就来试着解答吧。 韩信带领1500名士兵去打仗，战死了四百多人，还未来得及清点人数，敌军已经追来，韩信急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信马上向将士们宣布：我军还有1049名勇士。同学们，你知道韩信是怎么算出来的吗？尝试说一说。 5．A路和B路公交车早上7时同时从起始站发车。A路车每10分钟发一辆车，B路车每8分钟发一辆车。这两路车第二次同时发车的时间是多少？ （1）列表找出这两路车第二次同时发车的时间。先填一填，再圈出答案。 A路车 7：00 7：10 7：20 B路车 7：00 7：08 7：16 （2）解决这个问题，还有其他的方法吗？请写出你的想法。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $