精品解析：上海东华大学附属奉贤致远中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

致远中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为________． 2. 点关于平面对称的点的坐标是_____________． 3. 已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于___________． 4. 已知向量，，若，则_____. 5. 直线：，：，若，则______. 6. 已知某圆锥的高为2，底面积为，则该圆锥的侧面积为___________． 7. 某社区有男性居民1600名，女性居民1400名，该社区卫生室为了解该社区居民身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用分层抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中男性居民的人数为______. 8. 通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数______________．（精确到）线性相关系数公式 9. 如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则三棱锥的体积为______． 10. 已知，点P是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为________. 11. 已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为_______． 12. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是______．（填上你认为所有正确的序号） ①双纽线C关于原点O中心对称； ②双纽线C上满足的点P只有1个； ③； ④的最大值为． 二、单选题 13. 为了了解疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：则认为疾病与性别有关的把握约为（   ） 患疾病 不患疾病 总计 男 20 5 25 女 10 15 25 总计 30 20 50 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 14. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 1 15. 已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 16. 已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 18. 已知圆： （1）求圆关于直线对称的圆D的标准方程； （2）当k取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长. 19. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 20. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，M是棱SB的中点. （1）求异面直线AM与SD所成角的余弦值； （2）求点A到平面的距离； （3）设N是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围. 21. 设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点． （1）若，且四边形为矩形，求的离心率； （2）若，且的周长的最大值为12，求的方程； （3）若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 致远中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以所求距离为. 故答案为：4 2. 点关于平面对称的点的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于平面对称点的特征进行求解即可. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是， 故答案为： 3. 已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接运用等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且，公比， 所以该数列的前4项的和为， 故答案为： 4. 已知向量，，若，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直列式求值即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：2 5. 直线：，：，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两条直线平行系数间的关系 ，且列式子求解. 【详解】直线：，：，且， 所以，且 ，所以 . 故答案为：. 6. 已知某圆锥的高为2，底面积为，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为， 则，得，所以， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 7. 某社区有男性居民1600名，女性居民1400名，该社区卫生室为了解该社区居民身体健康状况，对该社区所有居民按性别采用分层抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中男性居民的人数为______. 【答案】80 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求解即可. 【详解】由题意知，抽样比为，所以样本中男性居民的人数为. 故答案为：80 8. 通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数______________．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【解析】 【分析】利用相关系数公式计算即可. 【详解】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 9. 如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用等体积法求出三棱锥的体积； 【详解】因为，，，所以，所以， 又因为,,平面； 所以平面， 所以平面，， ； 故答案为： 10. 已知，点P是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据圆上的点到定点的最值问题可得：，再根据抛物线的定义结合三角不等式即可求得最小值. 【详解】 如图，由题意知是抛物线的焦点， 过点作准线的垂线，垂足为，记点到抛物线的准线的距离为， 所以， 当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，等号成立， 所以的最小值为6. 故答案为： 11. 已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据题意，得到，代入椭圆方程，即可求解. 【详解】解：设是所求轨迹上的一点，且， 因为，且，可得， 即，可得， 代入椭圆，可得，整理得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 12. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是______．（填上你认为所有正确的序号） ①双纽线C关于原点O中心对称； ②双纽线C上满足的点P只有1个； ③； ④的最大值为． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于②，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于③，根据三角形的等面积法分析判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断. 【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以， 用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确， 对于②，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即， 所以，得，所以这样的点只有一个，所以②正确， 对于③，根据三角形的等面积法可知， 即，所以，所以③错误， 对于④，因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 所以的最大值为，所以④正确， 故答案为：①②④ 二、单选题 13. 为了了解疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：则认为疾病与性别有关的把握约为（   ） 患疾病 不患疾病 总计 男 20 5 25 女 10 15 25 总计 30 20 50 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的列联表数据计算，将其与临界值表进行比较，即可得到答案． 【详解】由公式得， 故有的把握认为疾病与性别有关， 故选：C 14. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其回归直线方程是，且，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点列方程求解即可. 【详解】由可知 ，. 因为回归直线过样本中心点，即， 将其坐标代入方程可得，解得， 故选：B. 15. 已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设长方体的外接球半径为，且，根据球的表面积公式，求得，再由长方体的对角线长公式，求得，结合基本不等式，即可求得长方体体积的最大值，得到答案. 【详解】设长方体的外接球半径为，且， 因为外接球表面积为，故，即， 又因为，可得，即， 所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积的最大值为. 故选：C． 16. 已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线对称性结合题意可得四边形为矩形，利用双曲线定义及与勾股定理计算可用表示出，，再利用为直角三角形，借助勾股定理可列出与、、有关齐次方程，即可计算出，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 因，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形，所以， 则，得，则， 又因为为直角三角形，，所以， 则， 所以，即，其渐近线方程为. 故选：D. 三、解答题 17. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明:， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列.； （2）. 【解析】 【分析】（1）直接由等比数列的定义证明即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可得：， . 18. 已知圆： （1）求圆关于直线对称的圆D的标准方程； （2）当k取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式和中点公式，结合圆的标准方程进行求解即可； （2）先判断直线过定点，利用圆的性质进行求解即可. 【小问1详解】 圆心，，设，因为圆心C与D关于直线对称，所以 ， 所以圆标准方程为：； 【小问2详解】 直线过定点，当时，弦长最短， ∵，∴ 此时最短弦长为. 19. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】（1）；84 （2）74 （3）62；37 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率关系可得的值，再根据百分位数的概念求解样本成绩的第75百分位数即可； （2）根据频率分布直方图计算平均数即可； （3）根据样本的平均数与方差求解总体的平均数与方差即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图面积和为1， 可得， 解得； 成绩在的频率为， 则第75百分位数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图可得样本平均数为 ． 【小问3详解】 可知成绩落在的人数为人， 成绩落在的人数为人， 则两组总体成绩平均数为， 则总体方差为． 20. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，M是棱SB的中点. （1）求异面直线AM与SD所成角的余弦值； （2）求点A到平面的距离； （3）设N是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）利用空间点到面的距离公式进行求解即可； （3）利用空间夹角公式，利用换元法、余弦函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 又因为平面，平面， 所以，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 因为， 所以， 因此异面直线AM与SD所成角的余弦值为； 【小问2详解】 设平面的法向量为， ，， 于是有， 所以点A到平面的距离为； 【小问3详解】 设，， 设平面的法向量为，， ， 于是有， 设直线与平面所成角的大小为， ， 令，， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的大小的取值范围为. 21. 设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点． （1）若，且四边形为矩形，求的离心率； （2）若，且的周长的最大值为12，求的方程； （3）若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意得到，从而求出离心率； （2）根据，再由题意可求出，即可求出方程； （3）设，根据题目信息求出，将点代入椭圆方程并化简得到，根据点均在上以及得到，解方程即可求出；根据题目信息及求出的可得，求出的长及原点到直线的距离，利用三角形面积公式即可求出答案. 【小问1详解】 由，得，， 将代入椭圆方程得，解得，则， 又四边形是矩形，则，即离心率. 【小问2详解】 由得，，即轴， 则， 当且仅当过右焦点时等号成立，即的周长的最大值为， 即，即， 则方程为 【小问3详解】 设， 由得，点，又， 则， 因为点在上，所以 则， 又点均在上，则， 由得，即， 则，又，即. 由得，， 又，即直线， 由得，， 则， 则 由得，， 即， 即， 化简整理得，，则， 又原点到直线的距离为， 则 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $