专题1.1 向量（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

1-1 向量 讲义 教学目标 理解向量、向量的模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量的概念. 教学重点 向量有关概念及其判断. 教学难点 零向量、单位向量、、共线向量. 知识点01 平面向量的有关概念 1.平面向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作. 3.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作. 4.单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 5.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：. 规定：零向量与任意向量平行. 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 【即学即练1-1】(24-25高一下·天津宝坻·月考)下列说法中正确的是(   ) A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 【即学即练1-2】(23-24高一下·广东东莞·开学考试)给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则；⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【难度】0.65【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项. 【详解】解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误； ②若，方向不同，则 不一定成立； ③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确； ④平行四边形中，一定有，正确； ⑤若，，则，正确； ⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误． 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B. 【即学即练1-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)下列说法正确的是(    ) A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【答案】ABC【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据向量有关概念判断即可. 【详解】选项A：向量与向量为相反向量，方向相反，长度相等，A正确； 选项B：因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确； 选项C：零向量都相等，C正确； 选项D：向量不可以比较大小，D错误． 故选：ABC 【即学即练1-4】(2023高一·全国·专题练习)下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 【答案】1【难度】0.94 【知识点】平行向量(共线向量)、零向量与单位向量、向量的模、探求命题为真的充要条件 【分析】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④；利用零向量与任何向量共线可判断⑤. 【详解】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错； 对于②，根据共线向量的定义可知，②正确； 对于③，若，则四点可能共线，故③错； 对于④，若，只能说明，的长度相等但确定不了方向，故④错； 对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错. ∴正确的命题有1个. 故答案为：1. 题型01 平面向量的概念 【典例1-1】(20-21高一下·全国·课后作业)下列物理量中，不能称为向量的是(   ) A．质量 B．速度 C．位移 D．力 【答案】A【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的概念判断即可. 【详解】由于向量即有大小又有方向，故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量. 故选：A 【典例1-2】(24-25高一下·河南开封·月考)下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A 【典例1-3】(多选)(25-26高一上·全国·随堂练习)(多选)下列物理量中，不是向量的是(    ) A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【答案】AD【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义，结合选项，即可求解. 【详解】因为向量是既有大小又有方向的量，而质量和路程只有大小， 故选：AD. 【典例1-4】(22-23高一下·海南儋州·月考)下列各量中，向量有： ．(填写序号) ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 【答案】③⑤⑥【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的概念判断即可. 【详解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度. 故答案为：③⑤⑥. 【变式1-1】(24-25高一下·甘肃天水·月考)下列各量中是向量的是(   ) A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【答案】C【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的定义判断即可. 【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量. 故选：C. 【变式1-2】(24-25高一下·河南·月考)下列量中是向量的为(    ) A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【答案】D【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的概念，可得答案. 【详解】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量. 故选：D． 【变式1-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)下列说法正确的是(    ) A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【答案】ABC【难度】0.94【知识点】相等向量、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量有关概念判断即可. 【详解】选项A：向量与向量为相反向量，方向相反，长度相等，A正确； 选项B：因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确； 选项C：零向量都相等，C正确； 选项D：向量不可以比较大小，D错误． 故选：ABC 【变式1-4】(2023高一·全国·单元测试)下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的有 个. 【答案】2【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义判断即可． 【详解】既有大小，又有方向的量叫做向量； 温度、密度、风速只有大小没有方向，因此不是向量； 而数轴、拉力既有大小，又有方向，因此它们都是向量. 故答案为:2. 题型02 向量的模 【典例2-1】(24-25高一下·天津宝坻·月考)下列说法中正确的是(   ) A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 【典例2-2】(23-24高一下·天津河北·期中)下列说法中，正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B【难度】0.85 【知识点】平行向量(共线向量)、相等向量、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 【典例2-3】(多选)(2025高一·全国·专题练习)(多选)给出下列命题正确的是(    ) A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量 【分析】由向量的定义判断A选项；由向量的模长的定义判断B选项，向量不能比较大小判断C选项，由相等向量判断D选项. 【详解】对于A， 海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，故A正确， 对于B，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，故B正确， 对于C，向量不可以比较大小，故C错误， 对于D，，则，且，故为平行四边形，故D正确， 故选：ABD 【典例2-4】(21-22高一·全国·课后作业)已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则 . 【答案】【难度】0.94【知识点】向量的模 【分析】根据题设可得圆O的半径为1，结合已知条件及含的直角三角形的性质即可求. 【详解】由题设，圆O的半径为1，又，如下图示： 在中，，，所以. 故答案为： 【变式2-1】(23-24高一下·陕西宝鸡·期中)下列说法正确的是(    ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【答案】D【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量、相等向量 【分析】由向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错； 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错； 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错； 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】(23-24高一下·河南·期中)在四边形中，与交于点，且，则 (   ) A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量的模、相等向量 【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【详解】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D 【变式2-3】(23-24高一下·黑龙江绥化·月考)关于平面向量，下列说法正确的是(    ) A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【答案】B【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据向量的相关概念直接判断即可. 【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误； 零向量方向任意，D错误. 故选：B 【变式2-4】(23-24高一下·河北石家庄·月考)下列说法错误的是(    ) A．向量与的长度相等 B．向量的模可以比较大小 C．共线的单位向量都相等 D．只有零向量的模等于0 【答案】C【难度】0.94【知识点】向量的模、零向量与单位向量、平行向量(共线向量) 【分析】了解向量的模的意义即可判断A,B,D选项，非零共线向量方向可相同或相反，即可判断C项. 【详解】对于A项，因向量与是一对相反向量，长度相等，方向相反，故A项正确； 对于B项，因向量的模是向量的长度，是一个非负数，故可以比较大小，故B项正确； 对于C项，共线的单位向量的方向可以相同或相反，故它们可以是一对相反向量，故C项错误； 对于D项，向量的模等于0即说明它是零向量，故D项正确. 故选：C. 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)如图，在菱形中，，则以下说法正确的是(    )    A．与相等的向量只有1个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含) C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 【答案】ABC【难度】0.85【知识点】向量的模、相等向量 【分析】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD，根据菱形的性质即可求解C. 【详解】由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确； 而在中，，，故，故C正确； 由于，因此与是相等的，故D错误． 故选：ABC 【变式2-6】(20-21高一下·全国·课后作业)如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量中模最大的向量是 ，其长度为 ． 【答案】 【难度】0.94【知识点】向量的模 【分析】根据各向量的起止点所在的格点求模长，即可知模最大的向量. 【详解】由图形，． ∴长度最大为． 故答案为：， 题型03 零向量与单位向量 【典例3-1】(23-24高一下·陕西宝鸡·月考)下列说法错误的是(　　)． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 【答案】A【难度】0.85【知识点】相等向量、向量的模、平面向量的概念与表示、零向量与单位向量 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义判断. 【详解】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误； B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确； C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确； D.向量与是相反向量，大小相同，方向相反，故正确； 故选：A 【典例3-2】(23-24高一下·山东德州·月考)下列说法错误的是( ) A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【答案】C【难度】0.85【知识点】零向量与单位向量、向量的模、平面向量的概念与表示、相等向量 【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，则不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确. 故选：C. 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·福建福州·期中)下列说法错误的是( ) A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】BD【难度】0.94【知识点】零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的有关定义依次判断即可. 【详解】对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确； 对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误； 对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误． 故选：BD． 【典例3-4】(2023高一·全国·专题练习)下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 【答案】1【难度】0.94 【知识点】平行向量(共线向量)、零向量与单位向量、向量的模、探求命题为真的充要条件 【分析】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④；利用零向量与任何向量共线可判断⑤. 【详解】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错； 对于②，根据共线向量的定义可知，②正确； 对于③，若，则四点可能共线，故③错； 对于④，若，只能说明，的长度相等但确定不了方向，故④错； 对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错. ∴正确的命题有1个. 故答案为：1. 【变式3-1】(22-23高一下·河北石家庄·月考)下列说法错误的是(    )． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B【难度】0.85【知识点】零向量与单位向量、向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【详解】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 【变式3-2】(24-25高一下·甘肃定西·月考)如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是(    ) ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案. 【详解】因为是两个单位向量，所以， 但两向量的方向不能确定，所以，故①②错误，③④正确． 故选：B. 【变式3-3】(22-23高一下·江苏连云港·月考)下列说法错误的是(    ) A． B．、是单位向量，则 C．两个相同的向量的模相等 D．单位向量均相等 【答案】D【难度】0.85【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据相等向量、单位向量的定义判断即可. 【详解】对于A：因为，又互为相反向量的两个向量的模相等，所以，故A正确； 对于B：因为、是单位向量，所以，故B正确； 对于C：两个相同的向量的模相等，故C正确； 对于D：单位向量的模相等均为，由于无法确定方向是否相同，故单位向量不一定相等，故D错误. 故选：D 【变式3-4】(多选)(23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试)以下关于平面向量的说法中，正确的是(    ) A．有向线段就是向量 B．所有单位向量的模都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫作共线向量 【答案】BD【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量、平行向量(共线向量) 【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断即可得. 【详解】向量可以用有向线段表示,有向线段只是表示向量的一个图形工具,它不是向量，故A错误； 单位向量是长度为1的向量，故B正确； 零向量有方向，其方向是任意的，故C错误； 由平行向量的定义知，平行向量也叫作共线向量，故D正确． 故选：BD. 【变式3-5】(多选)(2025高一·全国·专题练习)(多选)给出下列命题正确的是(    ) A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】相等向量、向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】由向量的定义判断A选项；由向量的模长的定义判断B选项，向量不能比较大小判断C选项，由相等向量判断D选项. 【详解】对于A， 海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，故A正确， 对于B，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，故B正确， 对于C，向量不可以比较大小，故C错误， 对于D，，则，且，故为平行四边形，故D正确， 故选：ABD 【变式3-6】(22-23高一下·广东湛江·月考)下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 (填序号)． 【答案】②③④【难度】0.85【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】由零向量的定义、向量相等的条件、向量共线的条件、向量模的定义，判断各说法是否正确. 【详解】由零向量的定义可知，①正确； 时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误； 两个向量共线，与模是否相等无关，③错误； 当时，满足，，但不能得到，④错误. 故答案为：②③④ 题型04 共线向量 【典例4-1】(22-23高一下·安徽合肥·月考)下列五个结论： ①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量，则与的方向必不相同； ③，则；④向量是单位向量，向量也是单位向量，则向量与向量共线； ⑤方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量一定是平行向量． 其中正确的有(    ) A．①⑤ B．④ C．⑤ D．②④ 【答案】C【难度】0.85【知识点】零向量与单位向量、平面向量的概念与表示、平行向量(共线向量) 【分析】根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤. 【详解】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错； ，但与的方向可以相同，故②错； 向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错； 单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错； 如图，作出这两个向量， 则方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量方向相反， 所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确． 故选：C. 【典例4-2】(22-23高一下·黑龙江哈尔滨·月考)下列叙述中正确的个数是(    ) ①若，则 ；②若，则或；③若，则；④若，则. A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】平行向量(共线向量)、相等向量、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】由向量不能比较大小判断①；举反例判断②；由时判断③；由相等向量和平行向量的关系判断④. 【详解】因为向量不能比较大小，所以①错误， 单位向量模都为1，方向任意，所以②错误， 当时，和可能不平行，所以③错误， 两个向量相等则它们一定平行，所以④正确. 故选：B 【典例4-3】(多选)(23-24高一下·湖北·期中)下列叙述中错误的是(    ) A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】BC【难度】0.94 【知识点】平行向量(共线向量)、零向量与单位向量、向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同且模长为1的单位向量，故D正确． 故选：BC． 【典例4-4】(23-24高一下·河南许昌·开学考试)下列结论中正确的是 (填序号)． ①若与共线，则点、、、共线； ②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量； ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量； ④直角坐标平面上的轴的非负半轴是向量． 【答案】②③【难度】0.94【知识点】平行向量(共线向量)、平面向量的概念与表示 【分析】根据共线向量以及向量的定义来对①②③④中的命题的正误进行判断，即可得出结果. 【详解】在梯形  中，，但点不共线，故①错误； 物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，是一对共线向量，故②正确； 如图，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，是共线向量，故③正确； 直角坐标平面上的轴的非负半轴只有方向，没有大小，不是向量，故④错误. 综上，正确结论的序号是②③. 故答案为：②③ 【变式4-1】(22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中)下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【难度】0.85【知识点】向量的模、平面向量的概念与表示、平行向量(共线向量)、相等向量 【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误； 对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确； 对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误； 对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误. 故选：A 【变式4-2】(22-23高一下·陕西西安·月考)下列各说法中，正确的是(    ) A．若，则或 B．与非零向量共线的单位向量是 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量 D．若，则 【答案】C【难度】0.85【知识点】平行向量(共线向量)、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】利用平面向量概念可判断AD选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用共线向量的定义可判断C选项. 【详解】对于A选项，若，则、的方向关系无法确定，A错； 对于B选项，与非零向量共线的单位向量是，B错； 对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C对； 对于D选项，若，但向量、不能比大小，D错. 故选：C. 【变式4-3】(23-24高一下·广东东莞·开学考试)给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则；⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【难度】0.65【知识点】平行向量(共线向量)、相等向量、向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项. 【详解】解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误； ②若，方向不同，则 不一定成立； ③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确； ④平行四边形中，一定有，正确； ⑤若，，则，正确； ⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误． 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B. 【变式4-4】(22-23高一下·湖南长沙·月考)下列命题：①若，则；②若，，则； ③的充要条件是且；④若，，则；⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】平行向量(共线向量)、相等向量、平面向量的概念与表示、探求命题为真的充要条件 【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④. 【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错； 对于②，若，，则，②对； 对于③，且或， 所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错； 对于④，取，则、不一定共线，④错； 对于⑤，若、、、是不共线的四点， 当时，则且，此时，四边形为平行四边形， 当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知， 所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对. 故选：A. 【变式4-5】(多选)(23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试)以下关于平面向量的说法中，正确的是(    ) A．有向线段就是向量 B．所有单位向量的模都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫作共线向量 【答案】BD【难度】0.94 【知识点】平行向量(共线向量)、零向量与单位向量、向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断即可得. 【详解】向量可以用有向线段表示,有向线段只是表示向量的一个图形工具,它不是向量，故A错误； 单位向量是长度为1的向量，故B正确； 零向量有方向，其方向是任意的，故C错误； 由平行向量的定义知，平行向量也叫作共线向量，故D正确． 故选：BD. 【变式4-6】(多选)(23-24高一下·贵州贵阳·月考)下列结论中，错误的是(    ) A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B．若，则，不是共线向量； C．若，则四边形是平行四边形； D．与同向，且，则 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】向量的模、平面向量的概念与表示、平行向量(共线向量) 【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确； 对B：若，也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误； 对C：若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误； 对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误. 故选：BCD. 一、单选题 1.(23-24高一下·江西南昌·期中)下列说法正确的是(    ) A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 【答案】A【难度】0.94【知识点】向量的模、相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即得. 【详解】对于A，相等向量必是共线向量，A正确； 对于B，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，B错误； 对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，C错误； 对于D，共线向量的方向可以相反，D错误. 故选：A 2.(22-23高一下·山西大同·月考)下列说法不正确的是(   ) A．向量的模是一个非负实数 B．任何一个非零向量都可以平行移动 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 【答案】D【难度】0.85【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】利用向量的定义及知识逐项判断即可求解. 【详解】根据向量的有关概念易判断，D项错误． A、向量的模是指向量的长度，因此向量的模是一个非负实数，故该选项说法正确； B、任何一个非零向量都可以平行移动，故该选项说法正确； C、方向相反的两个向量一定是共线向量，故该选项说法正确； D、两个有共同起点且共线的向量其终点不一定相同， 如图，与有共同的起点且共线，但终点不同，故该选项说法错误. 故选：D. 3.(23-24高一下·陕西宝鸡·期中)下列说法正确的是(    ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【答案】D【难度】0.94【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】由向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错； 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错； 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错； 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确. 故选：D. 4.(23-24高一下·云南·月考)如图，在中，向量是(    ) A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等的向量 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量的模、相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】对于A，由图形判断；对于B，根据圆的半径为向量的模判断；对于C，由共线向量的定义判断；对于D，由相等的向量的定义判断. 【详解】对于A，根据图形，可得向量，，不是相同起点的向量，∴A错误； 对于B，因为O是圆心，那么向量，，的模长是一样的，∴B正确； 对于C，共线向量知识点是方向相同或者相反的向量，∴C错误； 对于D，相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D错误， 故选：B． 5.(2024高一下·上海·专题练习)下列说法正确的为(    ) A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D【难度】0.65【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 6.(22-23高一下·北京·期中)给出下列命题正确的是(    ) A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 【答案】B【难度】0.65【知识点】平行向量(共线向量)、相等向量、向量的模 【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误， 对于B，若，，则，∴B正确， 对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误， 对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误. 故选：B． 7.(23-24高一下·广东东莞·开学考试)给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则；⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【难度】0.65【知识点】平行向量(共线向量)、相等向量、向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项. 【详解】解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误； ②若，方向不同，则 不一定成立； ③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确； ④平行四边形中，一定有，正确； ⑤若，，则，正确； ⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误． 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B. 8.(2025·河北·模拟预测)在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则(    ) A．1 B． C．2 D．3 【答案】B【难度】0.4【知识点】向量的模 【分析】设内切圆圆心，将、、分解为从出发的向量；利用等边三角形“重心与内心重合”的性质，简化向量和为；通过三角形面积与内切圆半径的关系求得，进而计算向量和的模长. 【详解】设点为内切圆圆心，则， 则， 因为是等边三角形，故点也是的重心， 故，故， 由等面积得，则， 故. 故选：B 二、多选题 9.(23-24高一下·山西临汾·月考)下列说法不正确的是(    ) A．若，则或 B．与是平行向量 C．若与是共线向量，则四点共线 D．若 ，则 【答案】ACD【难度】0.85 【知识点】平行向量(共线向量)、零向量与单位向量、向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：，模相等不能推出共线，A错误； 对于B：与是相反向量，所以是平行向量，B正确； 对于C：若与是共线向量，不能得到四点共线，C错误； 对于D：若 ，当向量时，与不一定平行，D错误. 故选：ACD. 10.(22-23高一下·宁夏银川·月考)在下列结论中，正确的结论为(    ) A．且是的必要不充分条件 B．且是的既不充分也不必要条件 C．与方向相同且是的充要条件 D．与方向相反或是的充分不必要条件 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】根据向量共线、向量相等的概念结合充分条件、必要条件逐项判断即可. 【详解】因为且，所以或， 若，则与方向相同且，所以且是的必要不充分条件， 故选项A正确，选项B错误； 对于选项C，因为与方向相同且，所以， 反之，若，则与方向相同且， 所以与方向相同且是的充要条件，正确； 对于选项D，若与方向相反或，则，若，则与方向不同或， 即由得不到与方向相反或， 所以与方向相反或是的充分不必要条件，正确. 故选：ACD 11.(23-24高一下·江苏泰州·月考)下列说法中，正确的是(   ) A．若两个非零向量 满足，则是互为相反向量 B．若向量 满足 与同向，则 C．的充要条件是 与重合，与重合 D．模为0是一个向量方向不确定的充要条件 【答案】AD【难度】0.65【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、平行向量(共线向量) 【分析】根据向量的基本性质，基本概念，以及向量平行和零向量的定义，逐项分析即可. 【详解】对于A,因为两个非零向量 满足， 则，且，故方向相反，则是互为相反向量，故A正确； 对于B，因为向量不能比较大小，故B错误； 对于C， 若与重合，与重合，则，则充分性成立， 但，根据向量的可平移性， 不一定有与重合，与重合，必要性不成立，故C错误； 对于D，模为0的向量是零向量，故其方向不确定；一个向量方向不确定，是零向量，其模为0, 故模为0是一个向量方向不确定的充要条件，则D正确， 故选：AD. 三、填空题 12.(23-24高一下·江西九江·月考)如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量．    【答案】6【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据题意，直接写出满足题意的向量即可. 【详解】根据题意，可得所有共线非零向量有：，共有个. 故答案为：. 13.(24-25高一上·上海·课后作业)(1)A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； (2)如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】 A、B、C三点共线 B是的中点 平行四边形【难度】0.85 【知识点】相等向量、平行向量(共线向量) 【分析】(1)根据共线向量的概念即可判断； (2)根据相等向量的概念即可判断． 【详解】(1)且有一个公共点，A、B、C三点共线； ，方向相同，B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； (2)在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 14.(23-24高一下·江苏宿迁·开学考试)在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 【答案】①③⑤【难度】0.65 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、平行向量(共线向量) 【分析】根据向量的定义及知识即可逐项判断求解. 【详解】对①：由定义知①正确； 对②：由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故②不正确； 对③：根据定义可知单位向量的长度都为1，故③正确； 对④：单位向量方向可以不同，故④错误； 对⑤：任意向量与零向量都共线，故⑤正确； 故答案为：①③⑤. 四、解答题 15.(24-25高一下·全国·课前预习)已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)答案见解析；(2)地在地的东南方向，距地【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】(1)根据向量的定义即可求解， (2)根据三角形的边角关系即可求解. 【详解】(1)由题意，作出向量，，，，如图所示．    (2)依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 16.(24-25高一上·上海·课后作业)按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.(图中每个小正方形的边长均为1) (1)正北方向，且模为2的向量；(2)长度为，方向为北偏西45°的向量；(3)向量的负向量. 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】根据向量的方向和模长画出和，利用相反向量画出. 【详解】(1)根据平面向量的方向和模长，画出，如下： (2)根据平面向量的方向和模长，画出，如下： (3)根据相反向量的定义，画出，如下： 17.(24-25高一上·上海·课堂例题)如图，在中，，，，D是的中点.    (1)求与的夹角；(2)求与的夹角. 【答案】(1)；(2)【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由题意可得，，结合向量夹角的定义即可求解. 【详解】(1)由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. (2)由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. 18.(24-25高一上·上海·课后作业)已知线段被n()等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【答案】(1)8个；(2)个【难度】0.65【知识点】向量的模、相等向量 【分析】(1)按向量的模长进行分类求解； (2)按向量的模长进行分类求解． 【详解】(1)解：当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个:， 总共有8个． (2)由(1)知， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， ....依次类推， 当模长为时，有2个， 总共有个． 19.(2024高一下·全国·专题练习)在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆【难度】0.65 【知识点】向量的模、相等向量 【分析】(1)根据相等向量的定义可得向量； (2)根据向量的模长公式的几何知识可得轨迹. 【详解】(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示：    (2)由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．    第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1-1 向量 讲义 教学目标 理解向量、向量的模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量的概念. 教学重点 向量有关概念及其判断. 教学难点 零向量、单位向量、、共线向量. 知识点01 平面向量的有关概念 1.平面向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作. 3.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作. 4.单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 5.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：. 规定：零向量与任意向量平行. 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 【即学即练1-1】(24-25高一下·天津宝坻·月考)下列说法中正确的是(   ) A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【即学即练1-2】(23-24高一下·广东东莞·开学考试)给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则；⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【即学即练1-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)下列说法正确的是(    ) A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【即学即练1-4】(2023高一·全国·专题练习)下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 题型01 平面向量的概念 【典例1-1】(20-21高一下·全国·课后作业)下列物理量中，不能称为向量的是(   ) A．质量 B．速度 C．位移 D．力 【典例1-2】(24-25高一下·河南开封·月考)下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例1-3】(多选)(25-26高一上·全国·随堂练习)(多选)下列物理量中，不是向量的是(    ) A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【典例1-4】(22-23高一下·海南儋州·月考)下列各量中，向量有： ．(填写序号) ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 【变式1-1】(24-25高一下·甘肃天水·月考)下列各量中是向量的是(   ) A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【变式1-2】(24-25高一下·河南·月考)下列量中是向量的为(    ) A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【变式1-3】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)(多选)下列说法正确的是(    ) A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【变式1-4】(2023高一·全国·单元测试)下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的有 个. 题型02 向量的模 【典例2-1】(24-25高一下·天津宝坻·月考)下列说法中正确的是(   ) A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【典例2-2】(23-24高一下·天津河北·期中)下列说法中，正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【典例2-3】(多选)(2025高一·全国·专题练习)(多选)给出下列命题正确的是(    ) A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 【典例2-4】(21-22高一·全国·课后作业)已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则 . 【变式2-1】(23-24高一下·陕西宝鸡·期中)下列说法正确的是(    ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【变式2-2】(23-24高一下·河南·期中)在四边形中，与交于点，且，则 (   ) A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【变式2-3】(23-24高一下·黑龙江绥化·月考)关于平面向量，下列说法正确的是(    ) A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【变式2-4】(23-24高一下·河北石家庄·月考)下列说法错误的是(    ) A．向量与的长度相等 B．向量的模可以比较大小 C．共线的单位向量都相等 D．只有零向量的模等于0 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)如图，在菱形中，，则以下说法正确的是(    )    A．与相等的向量只有1个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含) C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 【变式2-6】(20-21高一下·全国·课后作业)如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量中模最大的向量是 ，其长度为 ． 题型03 零向量与单位向量 【典例3-1】(23-24高一下·陕西宝鸡·月考)下列说法错误的是(　　)． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 【典例3-2】(23-24高一下·山东德州·月考)下列说法错误的是( ) A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·福建福州·期中)下列说法错误的是( ) A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【典例3-4】(2023高一·全国·专题练习)下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 【变式3-1】(22-23高一下·河北石家庄·月考)下列说法错误的是(    )． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【变式3-2】(24-25高一下·甘肃定西·月考)如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是(    ) ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】(22-23高一下·江苏连云港·月考)下列说法错误的是(    ) A． B．、是单位向量，则 C．两个相同的向量的模相等 D．单位向量均相等 【变式3-4】(多选)(23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试)以下关于平面向量的说法中，正确的是(    ) A．有向线段就是向量 B．所有单位向量的模都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫作共线向量 【变式3-5】(多选)(2025高一·全国·专题练习)(多选)给出下列命题正确的是(    ) A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 【变式3-6】(22-23高一下·广东湛江·月考)下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 (填序号)． 题型04 共线向量 【典例4-1】(22-23高一下·安徽合肥·月考)下列五个结论： ①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量，则与的方向必不相同； ③，则；④向量是单位向量，向量也是单位向量，则向量与向量共线； ⑤方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量一定是平行向量． 其中正确的有(    ) A．①⑤ B．④ C．⑤ D．②④ 【典例4-2】(22-23高一下·黑龙江哈尔滨·月考)下列叙述中正确的个数是(    ) ①若，则 ；②若，则或；③若，则；④若，则. A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(23-24高一下·湖北·期中)下列叙述中错误的是(    ) A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【典例4-4】(23-24高一下·河南许昌·开学考试)下列结论中正确的是 (填序号)． ①若与共线，则点、、、共线； ②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量； ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量； ④直角坐标平面上的轴的非负半轴是向量． 【变式4-1】(22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中)下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】(22-23高一下·陕西西安·月考)下列各说法中，正确的是(    ) A．若，则或 B．与非零向量共线的单位向量是 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量 D．若，则 【变式4-3】(23-24高一下·广东东莞·开学考试)给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则；⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-4】(22-23高一下·湖南长沙·月考)下列命题：①若，则；②若，，则； ③的充要条件是且；④若，，则；⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是(    ) A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)(23-24高一下·辽宁朝阳·开学考试)以下关于平面向量的说法中，正确的是(    ) A．有向线段就是向量 B．所有单位向量的模都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫作共线向量 【变式4-6】(多选)(23-24高一下·贵州贵阳·月考)下列结论中，错误的是(    ) A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B．若，则，不是共线向量； C．若，则四边形是平行四边形； D．与同向，且，则 一、单选题 1.(23-24高一下·江西南昌·期中)下列说法正确的是(    ) A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 2.(22-23高一下·山西大同·月考)下列说法不正确的是(   ) A．向量的模是一个非负实数 B．任何一个非零向量都可以平行移动 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 3.(23-24高一下·陕西宝鸡·期中)下列说法正确的是(    ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 4.(23-24高一下·云南·月考)如图，在中，向量是(    ) A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等的向量 5.(2024高一下·上海·专题练习)下列说法正确的为(    ) A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 6.(22-23高一下·北京·期中)给出下列命题正确的是(    ) A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 7.(23-24高一下·广东东莞·开学考试)给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则；⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 8.(2025·河北·模拟预测)在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则(    ) A．1 B． C．2 D．3 二、多选题 9.(23-24高一下·山西临汾·月考)下列说法不正确的是(    ) A．若，则或 B．与是平行向量 C．若与是共线向量，则四点共线 D．若 ，则 10.(22-23高一下·宁夏银川·月考)在下列结论中，正确的结论为(    ) A．且是的必要不充分条件 B．且是的既不充分也不必要条件 C．与方向相同且是的充要条件 D．与方向相反或是的充分不必要条件 11.(23-24高一下·江苏泰州·月考)下列说法中，正确的是(   ) A．若两个非零向量 满足，则是互为相反向量 B．若向量 满足 与同向，则 C．的充要条件是 与重合，与重合 D．模为0是一个向量方向不确定的充要条件 三、填空题 12.(23-24高一下·江西九江·月考)如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量．    13.(24-25高一上·上海·课后作业)(1)A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； (2)如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 14.(23-24高一下·江苏宿迁·开学考试)在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 四、解答题 15.(24-25高一下·全国·课前预习)已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 16.(24-25高一上·上海·课后作业)按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.(图中每个小正方形的边长均为1) (1)正北方向，且模为2的向量；(2)长度为，方向为北偏西45°的向量；(3)向量的负向量. 17.(24-25高一上·上海·课堂例题)如图，在中，，，，D是的中点. (1)求与的夹角；(2)求与的夹角. 18.(24-25高一上·上海·课后作业)已知线段被n()等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 19.(2024高一下·全国·专题练习)在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.  (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1-1向量讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01平面向量的概念 1-1向量 题型02向量的模 题型03零向量与单位向量 知识点01平面向量的有关概念 题型04共线向量 教学目标、教学重难点 教学目标 理解向量、向量的模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量的概念 教学重点 向量有关概念及其判断. 教学难点 零向量、单位向量、、共线向量 知识清单 知识点01平面向量的有关概念 1.平面向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量 2.向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB 3.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0 4.单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量 5.平行（共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：/乃， 规定：零向量与任意向量平行 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 【即学即练1-1】(24-25高一下·天津宝坻月考)下列说法中正确的是() A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【即学即练1-2】(23-24高一下广东东莞开学考试)给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同：②若a=bl,则a=万； ③在四边形ABCD中，若AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC; ⑤若m=元，元=k,则m=飞：⑥若a/乃，b/,则/心 其中不正确的命题的个数为) A.2 B.3 C.4 D.5 【即学即练1-3】（多选）24-25高一下·全国·课后作业（多选）下列说法正确的是() 第1页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.向量CD向量DC长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动 C.零向量都相等 D.向量可以比较大小 【即学即练1-4】(2023高一.全国.专题练习)下列五个命题： ①向量P1P2与OA共线，则P1,P2,O,A必在同一条直线上： ②如果非零向量与b平行，则a与b方向相同或相反： ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是P1P2=OA: ④若=，则a、b的长度相等且方向相同或相反： ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个 题型精讲 题型01平面向量的概念 〖典例1-1】(20-21高一下·全国·课后作业)下列物理量中，不能称为向量的是() A.质量 B.速度 C.位移 D.力 【典例1-2】(24-25高一下河南开封月考)下列物理量：①质量；②速度：③力：④加速度：⑤位移： ⑥密度：⑦功.其中是向量的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【典例1-3】（多选)25-26高一上·全国随堂练习)（多选）下列物理量中，不是向量的是() A.质量 B.速度 C.力 D.路程 【典例1-4】(22-23高一下·海南儋州·月考)下列各量中，向量有： (填写序号) ①浓度；②年龄；③风力：④面积；⑤位移；⑥加速度. 【变式1-1】(24-25高一下.甘肃天水，月考)下列各量中是向量的是() A.时间 B.路程 C.加速度 D.温度 《变式1-2】(24-25高一下河南·月考)下列量中是向量的为) A.课桌的高度 B.一段路程的公里数 C.上课时老师敲击黑板的频率 D.小汽车受到路面的弹力 【变式1-3】（多选）24-25高一下·全国·课后作业多选)下列说法正确的是() A.向量CD向量DC长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动 第2页共11页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 C.零向量都相等 D.向量可以比较大小 【变式1-4】(2023高一全国单元测试)下列各量：①数轴；②温度：③拉力：④密度：⑤风速.其中是向 量的有个 题型02向量的模 【典例2-1】(24-25高一下·天津宝坻月考)下列说法中正确的是() A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 《典例2-2】(23-24高一下·天津河北期中)下列说法中，正确的是() A.若=1，则d=士1 B.若a=万，则心 c.若=且6，则a= D.若al0,则d=0 【典例2-3】（多选）2025高一全国.专题练习)（多选）给出下列命题正确的是() A.海拔、温度、角度都不是向量 B.向量AB与向量BA的长度相等 c.若d,满足d>,且a,洞向，则a>万 D.若四边形ABCD满足AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形 【典例2-4】(21-22高一·全国课后作业)己知圆O的周长是2π，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，∠BAC= g,CD1AB于点D,则ICD1= 《变式2-1】(23-24高一下陕西宝鸡期中)下列说法正确的是()） A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C.模为1的向量都是相等向量 D.向量的模可以比较大小 I变式2-2】(23-24高一下.河南·期中)在四边形ABCD中，AC与BD交于点0，且A0=OC,B0=0D,AC= BD,则() A.AC⊥BD B.四边形ABCD是梯形 C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形 第3页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-3】(23-24高一下·黑龙江绥化月考)关于平面向量，下列说法正确的是() A.向量可以比较大小 B.向量的模可以比较大小 C.速度是向量，位移是数量 D.零向量是没有方向的 【变式2-4】(23-24高一下河北石家庄·月考)下列说法错误的是() A.向量AB与BA的长度相等 B.向量的模可以比较大小 C.共线的单位向量都相等 D.只有零向量的模等于0 凰变式2-5】（多选）24-25高一下·全国·课后作业)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的 是() C B A.与AB相等的向量只有1个（不含AB) B.与AB的模相等的向量有9个（不含AB) C.BD的模恰为DA的模的v3倍 D.CB与DA不相等 【变式2-6(20-21高一下·全国·课后作业)如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量AB,CD,EF,FG,G五 中模最大的向量是， 其长度为 题型03零向量与单位向量 【典例3-1】(23-24高一下·陕西宝鸡·月考)下列说法错误的是(). A.零向量没有方向 B.两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C.只有零向量的模等于0 D.向量AB与BA的长度相等 第4页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例3-2】(23-24高一下山东德州·月考)下列说法错误的是() A.CD=DC B.e,e2是单位向量，则|e引=le2引 C.若AB>CD,则AB>CD D.两个相同的向量的模相等 〖典例3-3】（多选）24-25高一下福建福州·期中)下列说法错误的是() A.加速度是向量 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的方向是任意的 D.向量就是有向线段 【典例3-4】(2023高一·全国专题练习)下列五个命题： ①向量P1P2与0A共线，则P1,P2,O,A必在同一条直线上： ②如果非零向量与b平行，则与b方向相同或相反： ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是P1P2=OA: ④若=b,则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有个： 【变式31】(22-23高一下河北石家庄·月考)下列说法错误的是() A.向量CD与向量DC长度相等 B.起点相同的单位向量，终点必相同 C.向量的模可以比较大小 D.任一非零向量都可以平行移动 【变式32】(24-25高一下甘肃定西·月考)如果石，b是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是() ①a=万：②a=±b;③2=；④=. A.1 B.2 C.3 D.4 【变式33】(22-23高一下·江苏连云港·月考)下列说法错误的是() A.ICD]=DC] B.e1、e2是单位向量， 则 C.两个相同的向量的模相等 D.单位向量均相等 【变式3-4】（多选23-24高一下辽宁朝阳·开学考试）以下关于平面向量的说法中，正确的是() A.有向线段就是向量 B.所有单位向量的模都相等 C.零向量没有方向 D.平行向量也叫作共线向量 凰变式35】（多选）2025高一.全国专题练习)（多选）给出下列命题正确的是() A.海拔、温度、角度都不是向量 第5页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.向量AB与向量BA的长度相等 c.若a,b满足>b,且a,b同向，则a>b D.若四边形ABCD满足AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形 【变式36】(22-23高一下广东湛江月考)下列四个说法：①若=0，则a=0;②若=，则a=万 或a=-万：③若a/b,则=：④若a/乃，/心，则/.其中错误的是_（填序号）. 题型04共线向量 【典例41】(22-23高一下·安徽合肥月考)下列五个结论： ①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量a≠，则与的方向必不相同： ③>b1,则a>b;④向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b共线； ⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量， 其中正确的有() A.①⑤ B.④ c.⑤ D.②④ 【典例42】(22-23高一下·黑龙江哈尔滨·月考)下列叙述中正确的个数是() ①若a=五，则3a>26:②若=矶，则a=或a=-万：③若a石，c,则alc:④若a=万，则a1. A.0 B.1 C.2 D.3 【典例4-3】（多选）(23-24高一下·湖北期中)下列叙述中错误的是() A.己知非零向量a与b且/乃，则a与b的方向相同或相反 B.若a=b,则3a>2乃 c.若a/b,b/,则a/e 0.对任一非零向量ā，哥是一个单位向量 【典例44】(23-24高一下·河南许昌开学考试)下列结论中正确的是 (填序号). ①若AB与CD共线，则点A、B、C、D共线： ②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量： ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量； ④直角坐标平面上的x轴的非负半轴是向量， 凰变式41】(22-23高一下，新疆乌鲁木齐·期中)下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长 度相等、方向相同的向量是相等向量：③平行且模相等的两个向量是相等向量：④若ā≠万，则≠ 其中正确命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 第6页共11页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式42】(22-23高一下陕西西安月考)下列各说法中，正确的是() A.若=列，则a=或a=- ®。与非零向量英线的单位向量是哥 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量 D.若d>,则a> 《变式43】(23-24高一下广东东莞开学考试)给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若1a=Ib,则=： ③在四边形ABCD中，若AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形：④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC; ⑤若m=元，元=尼，则m=尼：⑥若a/i,/,则a/ 其中不正确的命题的个数为) A.2 B.3 C.4 D.5 【变式44】(22-23高一下湖南长沙.月考)下列命题：①若d=,则a=五；②若a=五，五=元，则a=c ③a=b的充要条件是=且a/石：④若a/乃，/心，则a/心：⑤若A、B、C、D是不共线的四点，则 AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 【变式45】（多选）(23-24高一下辽宁朝阳开学考试)以下关于平面向量的说法中，正确的是() A.有向线段就是向量 B.所有单位向量的模都相等 C.零向量没有方向 D.平行向量也叫作共线向量 【变式46】（多选23-24高一下·贵州贵阳月考）下列结论中，错误的是() A.表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B.若a≠b,则a,b不是共线向量： C.若AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形： D.a与b同向，且同>，则a> 强化训练 一、单选题 1.(23-24高一下…江西南昌·期中)下列说法正确的是() A.若a=b,则a与b共线 B.若a与b是平行向量，则a=b c.若a=,则a= D.共线向量方向必相同 2.(22-23高一下山西大同·月考)下列说法不正确的是() 第7页共11页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.向量的模是一个非负实数 B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 3.(23-24高一下·陕西宝鸡·期中)下列说法正确的是() A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C.模为1的向量都是相等向量 D.向量的模可以比较大小 4.(23-24高一下.云南·月考)如图，在⊙0中，向量B0,0C,0A是() B A.有相同起点的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.相等的向量 5.(2024高一下.上海.专题练习)下列说法正确的为() A.共线的两个单位向量相等 B.若ab,c,则ac C.若ABICD,则一定有直线ABIICD D.若向量AB,CD共线，则点A,B,C,D不一定在同一直线上 6.(22-23高一下·北京期中)给出下列命题正确的是() A.若d=,则a=b B.若a=b,b=元，则a=c c.若=且a6,则a=方 D.若ab,b1c,则ad 7.(23-24高一下广东东莞开学考试)给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同：②若1d=b,则=五： ③在四边形ABCD中，若AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC: ⑤若m=元，元=，则m=;⑥若a/石，/，则/心 其中不正确的命题的个数为)】 A.2 B.3 C.4 D.5 第8页共11页 而学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 8.(2025河北模拟预测)在边长为2的等边△ABC中，点P为△ABC内切圆上一点，则PA+PB+PC=() A.1 B.V3 C.2 D.3 二、多选题 9.(23-24高一下.山西临汾·月考)下列说法不正确的是() A.若a=bl,则a=b或a=-b B.AB与BA是平行向量 C.若AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点共线 D.若aIb,b‖c,则aIc 10.(22-23高一下.宁夏银川月考)在下列结论中，正确的结论为) A.aIb且=b是a=的必要不充分条件 B.alb且同=b是a=的既不充分也不必要条件 c.a与方向相同且@d=是d=的充要条件 D.与b方向相反或划d≠b1是a≠b的充分不必要条件 11.(23-24高一下江苏泰州·月考)下列说法中，正确的是() A.若两个非零向量AB,CD满足AB+CD=0,则AB,CD是互为相反向量 B.若向量AB,CD满足AB=CD,AB与CD同向，则AB>CD C.AB=CD的充要条件是A与C重合，B与D重合 D.模为0是一个向量方向不确定的充要条件 三、填空题 12.(23-24高一下·江西九江·月考)如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以 写出个共线非零向量， B 13.(24-25高一上·上海·课后作业1A、B、C是平面上三个不同的点，若AB‖BC,则A、B、C的位置关系 是 ;若进一步有AB=BC,则A、B、C的位置关系是」 (2)如图，在四边形ABCD中，若AB=DC,则四边形ABCD是 B A 14.(23-24高一下江苏宿迁·开学考试)在下列判断中，真命题的是 第9页共11页 丽学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 ①长度为0的向量都是零向量：②零向量的方向都是相同的：③单位向量的长度都相等：④单位向量都 是同方向；⑤任意向量与零向量都共线. 四、解答题 15.(24-25高一下·全国课前预习)已知飞机从A地按北偏东30的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南 偏东30的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000v2km到达D地. (1)作出向量AB,BC,CD,DA; (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 16.(24-25高一上·上海·课后作业)按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小 正方形的边长均为1) (1)正北方向，且模为2的向量AE;(2)长度为2V2,方向为北偏西45°的向量BF:(3)向量BF的负向量CF」 17.(24-25高一上·上海·课堂例题)如图，在Rt△ABC中，AB=2V3,BC=2,AC=4,D是AC的中点. (1)求AB与BD的夹角；(2)求AC与BD的夹角. C D B 第10页共11页丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1-1向量讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01平面向量的概念 1-1向量 题型02向量的模 题型03零向量与单位向量 知识点01平面向量的有关概念 题型04共线向量 教学目标、教学重难点 教学目标 理解向量、向量的模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量的概念 教学重点 向量有关概念及其判断. 教学难点 零向量、单位向量、、共线向量 知识清单 知识点01平面向量的有关概念 1.平面向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB 3.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0 4.单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 5.平行（共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：/乃， 规定：零向量与任意向量平行 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 【即学即练1-1】(24-25高一下·天津宝坻·月考)下列说法中正确的是() A.向量的模都是正实数B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A:根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B:单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误： 对于C:向量的模与方向没有关系，故C正确： 对于D:向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误 故选：C 【即学即练1-2】(23-24高一下·广东东莞开学考试)给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若=b,则a=b: 第1页共25页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③在四边形ABCD中，若AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形：④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC: ⑤若m=元，元=，则m=:⑥若a/b,b/,则a/. 其中不正确的命题的个数为) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B【难度】0.65【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项. 【详解】解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误： ②若=，方向不同，则a=五不一定成立： ③在四边形ABCD中，若AB=DC,则AB/DC且AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形，正确： ④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC,正确： ⑤若m=元，元=尼，则m=,正确： ⑥a/乃，/心，则a/,取=0时，a与不一定共线，错误. 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B 【即学即练1-3】（多选）(24-25高一下·全国·课后作业（多选）下列说法正确的是(） A.向量CD向量DC长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动 C.零向量都相等 D.向量可以比较大小 【答案】ABC【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据向量有关概念判断即可 【详解】选项A:向量CD与向量DC为相反向量，方向相反，长度相等，A正确： 选项B:因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确； 选项C:零向量都相等，C正确； 选项D:向量不可以比较大小，D错误. 故选：ABC 【即学即练1-4】(2023高一全国专题练习)下列五个命题： ①向量P1P2与0A共线，则P1,P2,O,A必在同一条直线上： ②如果非零向量与b平行，则a与b方向相同或相反： ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是P1P2=OA: ④若试=，则a、的长度相等且方向相同或相反： ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行 其中正确的命题有个 【答案】1【难度】0.94 【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量、向量的模、探求命题为真的充要条件 【分析】利用向量共线可判断①②③：利用相等向量可判断④：利用零向量与任何向量共线可判断⑤ 第2页共25页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于①，向量P1P2与OA共线，则直线P1P2与直线0A可能平行，故①错： 对于②，根据共线向量的定义可知，②正确： 对于③，若P1P2=OA,则四点P1,P2,0,A可能共线，故③错： 对于④，若同向=，只能说明石，的长度相等但确定不了方向，故④错： 对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错： .正确的命题有1个 故答案为：1. 题型精讲 题型01平面向量的概念 【典例1-1】(20-21高一下.全国课后作业)下列物理量中，不能称为向量的是() A.质量 B.速度 C.位移 D.力 【答案】A【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的概念判断即可 【详解】由于向量即有大小又有方向，故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量， 故选：A 【典例1-2】(24-25高一下河南开封月考)下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移： ⑥密度：⑦功.其中是向量的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案。 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量： 速度、力、加速度、位移是向量： 所以向量共有4个. 故选：A 【典例1-3】（多选25-26高一上·全国·随堂练习（多选）下列物理量中，不是向量的是() A.质量 B.速度 C.力 D.路程 【答案】AD【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义，结合选项，即可求解 【详解】因为向量是既有大小又有方向的量，而质量和路程只有大小， 故选：AD. 【典例1-4】(22-23高一下·海南儋州月考)下列各量中，向量有：· (填写序号) ①浓度；②年龄：③风力：④面积：⑤位移：⑥加速度. 【答案】③⑤⑥【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的概念判断即可. 第3页共25页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【详解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度 故答案为：③⑤⑥ 《变式1-1】(24-25高一下.甘肃天水~月考)下列各量中是向量的是() A.时间 B.路程 C.加速度 D.温度 【答案】C【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的定义判断即可 【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量 故选：C 【变式1-2】(24-25高一下河南·月考)下列量中是向量的为) A.课桌的高度 B.一段路程的公里数 C.上课时老师敲击黑板的频率 D.小汽车受到路面的弹力 【答案】D【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的概念，可得答案， 【详解】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量 故选：D. 【变式1-3】（多选）(24-25高一下·全国·课后作业)（多选）下列说法正确的是() A.向量CD向量DC长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动 C.零向量都相等 D.向量可以比较大小 【答案】ABC【难度】0.94【知识点】相等向量、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量有关概念判断即可. 【详解】选项A:向量CD与向量DC为相反向量，方向相反，长度相等，A正确； 选项B:因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确： 选项C:零向量都相等，C正确： 选项D:向量不可以比较大小，D错误， 故选：ABC 【变式1-4】(2023高一全国·单元测试)下列各量：①数轴；②温度：③拉力；④密度；⑤风速.其中是向 量的有个 【答案】2【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义判断即可. 【详解】既有大小，又有方向的量叫做向量： 温度、密度、风速只有大小没有方向，因此不是向量： 而数轴、拉力既有大小，又有方向，因此它们都是向量. 故答案为：2， 第4页共25页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02向量的模 【典例2-1】(24-25高一下·天津宝坻月考)下列说法中正确的是() A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的概念即可判断。 【详解】对于A:根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误： 对于B:单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误： 对于C:向量的模与方向没有关系，故C正确： 对于D:向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误 故选：C 凰典例2-2】(23-24高一下·天津河北期中)下列说法中，正确的是() A.若=1，则a=士1 B.若a=b,则ab c.若=且6，则a=万 D.若a0,则1=0 【答案】B【难度】0.85 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】对于A:根据向量与数量的定义分析判断：对于B:根据向量相等和向量共线分析判断；对于C: 举反例说明即可：对于D:根据零向量和向量共线分析判断. 【详解】对于选项A:因为a为向量，土1均为数量，故A错误： 对于选项B:根据相等向量与平行向量的关系，知a=b,即有ab,故B正确： 对于选项c:例如a=-b≠0，满足=b且ab,但a≠b,故C错误： 对于选项D:由零向量可知：对任意ā，均有0，即=0不一定成立，故D错误： 故选：B 【典例2-3】（多选2025高一全国.专题练习）（多选）给出下列命题正确的是() A.海拔、温度、角度都不是向量 B.向量AB与向量BA的长度相等 c.若a,b满足>b,且元，b同向，则a>b D.若四边形ABCD满足AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量 【分析】由向量的定义判断A选项；由向量的模长的定义判断B选项，向量不能比较大小判断C选项，由 相等向量判断D选项」 【详解】对于A,海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，故A正确， 第5页共25页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 对于B,向量AB与向量BA是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，故B正确， 对于C,向量不可以比较大小，故C错误， 对于D,AB=DC,则AB=DC,且AB/CD,故为平行四边形，故D正确， 故选：ABD 【典例2-4(21-22高一，全国·课后作业)已知圆O的周长是2π，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，∠BAC= 云CD1AB于点D,则1CD= 【答案】号【难度】0.94【知识点】向量的模 【分析】根据题设可得圆O的半径为1，结合已知条件及含”的直角三角形的性质即可求CD1 【详解】由题设，圆O的半径为1，又∠BAC=5,CD1AB,如下图示： B 在Rt△COD中，∠D0C=2∠BAC=,0C=1,所以CD=日 2 故答案为： 2 【变式2-1】（23-24高一下.陕西宝鸡·期中)下列说法正确的是() A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C.模为1的向量都是相等向量 D.向量的模可以比较大小 【答案】D【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量、相等向量 【分析】由向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错： 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错： 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错： 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确 故选：D. 【变式2-2】(23-24高一下河南·期中)在四边形ABCD中，AC与BD交于点0，且A0=0C,B0=0D,AC= BD,则() 第6页共25页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.AC⊥BD B.四边形ABCD是梯形 C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形 【答案】D【难度】0.94【知识点】向量的模、相等向量 【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解。 【详解】由A0=OC,B0=OD,AC=|BD, 知四边形ABCD的对角线相互平分且相等， 所以四边形ABCD为矩形 故选：D 《变式2-3】(23-24高一下·黑龙江绥化月考)关于平面向量，下列说法正确的是() A.向量可以比较大小 B.向量的模可以比较大小 C.速度是向量，位移是数量 D.零向量是没有方向的 【答案】B【难度】0.94【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据向量的相关概念直接判断即可 【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确： 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误： 零向量方向任意，D错误。 故选：B 【变式2-4】(23-24高一下河北石家庄·月考)下列说法错误的是() A.向量AB与BA的长度相等 B.向量的模可以比较大小 C.共线的单位向量都相等 D.只有零向量的模等于0 【答案】C【难度】0.94【知识点】向量的模、零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】了解向量的模的意义即可判断A,B,D选项，非零共线向量方向可相同或相反，即可判断C项. 【详解】对于A项，因向量AB与BA是一对相反向量，长度相等，方向相反，故A项正确： 对于B项，因向量的模是向量的长度，是一个非负数，故可以比较大小，故B项正确： 对于C项，共线的单位向量的方向可以相同或相反，故它们可以是一对相反向量，故C项错误： 对于D项，向量的模等于0即说明它是零向量，故D项正确， 故选：C 【变式2-5】（多选）24-25高一下.全国课后作业)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说法正确的 是() B D A.与AB相等的向量只有1个（不含AB) 第7页共25页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.与AB的模相等的向量有9个（不含AB) C.BD的模恰为DA的模的V3倍 D.CB与DA不相等 【答案】ABC【难度】0.85【知识点】向量的模、相等向量 【分析】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD,根据菱形的性质即可求解C 【详解】由于AB=DC,因此与AB相等的向量只有DC,而与AB的模相等的向量有DA,DC,AC,CB,AD, CD,CA,BC,BA,故A,B正确： 而在Rt△A0D中，LAD0=30,∴D可=号DA,故D=V③DA,故C正确： 由于CB=DA,因此CB与DA是相等的，故D错误。 故选：ABC 【变式2-6(20-21高一下·全国·课后作业)如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量AB,CD,E匠，FG,G五 中模最大的向量是，其长度为 【答案】 G丽 3V2【难度】0.94【知识点】向量的模 【分析】根据各向量的起止点所在的格点求模长，即可知模最大的向量， 【详解】由图形，AB1=2V2,1CD1=3,|EF=4,FG=√1,1Gi=3V2 ∴.G丽长度最大为3V2 故答案为：G7,3√2 题型03零向量与单位向量 【典例3-1】(23-24高一下·陕西宝鸡月考)下列说法错误的是(). A.零向量没有方向 B.两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C.只有零向量的模等于0 D.向量AB与BA的长度相等 【答案】A【难度】0.85【知识点】相等向量、向量的模、平面向量的概念与表示、零向量与单位向量 【分析】A.由零向量的定义判断：B.由相等向量的定义判断：C.由向量模的定义判断：D.由相反向量的定义 判断。 【详解】A规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误； B两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确： 第8页共25页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确： D.向量AB与BA是相反向量，大小相同，方向相反，故正确： 故选：A I典例3-2】(23-24高一下山东德州月考)下列说法错误的是() A.CD=DC B.ei,e2是单位向量，则|e引=e2引 C.若AB>|CD,则AB>CD D.两个相同的向量的模相等 【答案】C【难度】0.85【知识点】零向量与单位向量、向量的模、平面向量的概念与表示、相等向量 【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案。 【详解】对于A,CD=DC,故A正确： 对于B,e,e2是单位向量，则e=e2引=1，故B正确： 对于C,若AB>CD,则AB,CD不能比较大小，故C错误： 对于D,两个相同的向量的模相等，故D正确 故选：C 【典例3-3】（多选）24-25高一下·福建福州期中)下列说法错误的是() A.加速度是向量 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量的方向是任意的 D.向量就是有向线段 【答案】BD【难度】0.94【知识点】零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的有关定义依次判断即可 【详解】对于A,由向量的定义知，加速度是向量，故A正确： 对于B,两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误： 对于C,由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确： 对于D,向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误. 故选：BD 《典例34】(2023高一·全国专题练习)下列五个命题： ①向量P1P2与0A共线，则P1,P2,O,A必在同一条直线上： ②如果非零向量a与b平行，则a与b方向相同或相反： ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是P1P2=OA: ④若=b,则a、b的长度相等且方向相同或相反： ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有个。 【答案】1【难度】0.94 【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量、向量的模、探求命题为真的充要条件 【分析】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④：利用零向量与任何向量共线可判断⑤ 【详解】对于①，向量P1P2与0A共线，则直线P1P2与直线0A可能平行，故①错： 第9页共25页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 对于②，根据共线向量的定义可知，②正确： 对于③，若P1P2=OA,则四点P1,P2,O,A可能共线，故③错： 对于④，若向=，只能说明，的长度相等但确定不了方向，故④错： 对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错， ∴.正确的命题有1个 故答案为：1. 【变式31】(22-23高一下河北石家庄·月考)下列说法错误的是()· A.向量CD与向量DC长度相等 B.起点相同的单位向量，终点必相同 C.向量的模可以比较大小 D.任一非零向量都可以平行移动 【答案】B【难度】0.85【知识点】零向量与单位向量、向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项 【详解】CD和DC长度相等，方向相反，故A正确： 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误： 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确： 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确。 故选：B 《变式32】(24-25高一下甘肃定西·月考)如果a,b是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是() ①a=b;②a=±b;③2=2；④d=l. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B【难度】0.85【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案 【详解】因为a,b是两个单位向量，所以回==1， 但两向量的方向不能确定，所以===，故①②错误，③④正确， 故选：B. 凰变式33】(22-23高一下江苏连云港·月考)下列说法错误的是() A.CD=DC] B.e1、e2是单位向量， 则 C.两个相同的向量的模相等 D.单位向量均相等 【答案】D【难度】0.85【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据相等向量、单位向量的定义判断即可， 【详解】对于A:因为CD=-DC,又互为相反向量的两个向量的模相等，所以CD=DC,故A正确： 对于：因为e1、e2是单位向量，所以eP =1,故B正确： 对于C:两个相同的向量的模相等，故C正确； 对于D:单位向量的模相等均为1，由于无法确定方向是否相同，故单位向量不一定相等，故D错误. 第10页共25页