2026年02月02日深圳市盐田高级中学高三数学期末模拟试卷（4）

2026年02月02日盐田高级中学高三数学期末模拟试卷（4） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题 1．高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为( ) A.112.5 B.115 C.142.5 D.145 2．若随机变量，且，则的最大值为( ) A.9 B. C.24 D.27 3．已知x，y为实数，则“x与y都是无理数”是“是无理数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为( ) A. B.1 C. D.2 5．将5名志愿者分配到两项公益活动，每名志愿者只分配到一项公益活动，每项公益活动至少分配2名志愿者，则不同的分配方案共有( ) A.10种 B.25种 C.20种 D.40种 6．已知是奇函数，则实数a的值为( ) A. B. C.0 D.1 7．若且，则( ) A. B. C. D.1 8．设函数，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义： 事件A：“选奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体） 事件B：“选编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体） 事件C：“选1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标） 现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有( ) A. B. C. D. 10．已知公差为d的等差数列的前n项和为，且满足，令，数列的前n项和为，则下列说法正确的有( ) A. B.使得成立的n的最小值为4050 C. D. 11．已知等腰，，取，中点B，C，将沿翻折至，使得，为正三角形，若底面，，，则下列说法正确的是( ) A.四棱锥存在外接球 B. C. D.四棱锥的体积为 三、填空题 12．已知函数，若，则x的取值范围是________. 13．若函数在区间上有最大值无最小值，则实数a的取值范围是________. 14．椭圆的一个光学性质是从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上.已知椭圆C的两个焦点为,,从发出的光线经上点P反射后经过.C与l有公共点,当椭圆C的短轴最短时C的标准方程为________. 四、解答题 15．记为数列的前n项和，已知，，. (1)证明数列是等比数列；(2)求数列的前n项和. 16．如图，四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，，点E，N分别在线段与上（不含端点），且，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若平面，求的最小值. 17．已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若，，M，N为椭圆E上两点（均在x轴上方），且.①已知直线的斜率为，求的斜率；②求四边形面积的最大值. 18．已知函数.（1）当时,求曲线过点的切线方程; （2）若有2个极值点,,且.（ⅰ）求a的取值范围;（ⅱ）求证:. 19．由个小正方形构成的长方形网格有m行和n列，每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止.(1)第一行中的n个小球颜色互不相同，其余行都由这n个小球以不同的顺序组成，如果要使任意两行的顺序都不相同，求m的最大值； (2)长方形网格中只放白球或黑球，每个小正方形内放白球的概率为p，放黑球的概率为q，.（ⅰ）若，，，记在每列都有黑球的条件下，含白球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望； （ⅱ）设事件“不是每一列都有黑球”，求，并证明：. 2026年02月02日盐田高级中学高三数学期末模拟试卷（3） 参考答案 1．答案：B2．答案：A3．答案：D4．答案：B5．答案：C6．答案：C故选：C. 7．答案：B8．答案：A9．答案：ABD10．答案：ACD11．答案：ABD 12．答案：13．答案： 解析：，令，则，对称轴为，所以， 由且，可得或，由题可知，， 当，，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，有最小值， 当时，，此时有最大值，有最小值， 当，，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，无最小值， 当时，，此时有最大值，有最小值， 综上所述，，故答案为：. 14．答案： 解析：设点关于直线对称点为, 则,解得,即, 根据椭圆的光学性质,从发出的光线经直线l上点P反射后经过,则, 所以, 又因为,当且仅当P在与直线l的交点时取等号, 又因为, 对于椭圆上的任意一点M满足,则; 又因直线l与椭圆C有公共点,则将代入椭圆, 化简得, 则,化简得, 因,所以,解得（负值舍去）, 所以要使椭圆C的短轴最短即,此时满足, 故椭圆C的标准方程为.故答案为:. 15．答案：(1)证明见详解(2) 解析：（1）因为，① 所以当时，，② ①-②得：， 即，所以， 所以，即， 当时，由①得，则， 所以数列是以公比为2，首项为2的等比数列. （2）由（1）数列是以公比为2，首项为2的等比数列， 所以，所以， 由，则， 所以，所以， 所以数列的前n项和为： ，③ ，④ ③减④得：， 即，所以. 16．答案：(1)证明见解析(2)(3) 解析：（1）以A为原点，分别以、、所在的直线为x、y、z轴， 建立空间直角坐标系，已知平面，， ，，， 则各点的坐标：，，，，， ，得F点坐标：，所以， 平面的法向量：取，， 平面为平面，法向量为， ，所以， 又因为平面，因此平面； （2）平面的法向量为：， 设平面的法向量为：， 则， 令，则，，即，设两平面的夹角为， 则， （3）由，，， 得，，， 又因为平面，故，， ， 则，（根据不等式可得） 当且仅当时，等号成立，故的最小值为， 17．答案：(1)(2)①；②2 解析：（1）由题意可知，解得， 所以椭圆E的标准方程. （2） ①延长交椭圆E于点，延长交椭圆E于点， 由对称性可知，，所以四边形为平行四边形， 因为A，B关于原点对称，所以N，关于原点对称， 设，，则， 所以， 又M，N为椭圆E上两点，可得，， 所以，化简得，故， 又因为，所以，故； ②由①可知，在平行四边形中，， 从而， 因为构成四边形，所以的斜率必不为0， 设的方程为，，， 由得， ，，， 因为 ， 点O到直线的距离为， 所以， 令，则， 所以当，即时，有最大值为， 所以四边形面积的最大值为. 18．答案：（1）或. （2）（ⅰ）; （ⅱ）证明见解析 解析：（1）当时,,, 设切点为, 函数在处的切线方程为, 将点代入切线方程得, ,解得或1, 曲线在点处的切线为,在点处的切线为; （2）（ⅰ）, 有2个极值点,方程有2根,, 令,, 在上,,单调递增,在上,,单调递减, 当时,,当时,, ,当时,,a的取值范围是; （ⅱ）,,令,, 则,,且,, 令,则, ,; 要证,即证,即证时,, 令,则, 当时,,单调递增,, 时,,不等式得证. 19．答案：(1)(2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）证明见解析. 解析：（1）将n个颜色互不相同的小球全排列，共有种排法， 故m的最大值为. （2）（ⅰ）的所有可能取值为0，1，2， 记“含白球的行数为k”为事件，记“每列都有黑球”为事件B， 则， ， 故的分布列为 0 1 2 P 数学期望为. （ⅱ）因为每一列都至少有一个黑球的概率为， 则不是每一列都有黑球的概率为， 记“每行都至少有一个白球”为事件D，所以， 因为，所以，即， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $