8.2 特殊的平行四边形（第2课时 矩形的判定）（教学设计）数学新教材苏科版八年级下册

8.2 特殊的平行四边形 第2课时 教学设计 1.教学内容 本节选自苏科版八年级下册第八章《四边形》8.2“特殊的平行四边形”第2课时，核心知识点包括“矩形的判定定理”与“平行线间的距离”。主要围绕矩形的判定方法进行教学，结合平行四边形的性质及对角线的特征，引导学生准确把握矩形与一般平行四边形的区别与联系，并掌握两条平行线之间的距离恒等的基本概念。 2.内容解析 本节先回顾矩形定义和性质（四角直角、对角线相等），再突出两条判定定理：①凡有三个角为直角的四边形必是矩形；②对角线相等的平行四边形必是矩形。同时引入两条平行线之间的距离处处相等的概念，帮助学生在几何直观与严格推理间建立联系。通过探究实例与演练，逐步强化判定矩形方法，为后续综合几何证明与应用打下坚实基础。 1.教学目标 • 探索并证明矩形的判定定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力。 • 理解两条平行线之间的距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。 2.目标解析 • 通过讨论“三个角直角”与“对角线相等”两种矩形判定定理，学生能在平行四边形基础上加深对矩形性质的理解，提升逻辑推理与几何证明能力。 • 借助直观示意图和操作活动，让学生理解平行线间距离恒等的原理，并能在几何问题中进行准确度量和应用。 3.重点难点 • 教学重点：掌握矩形判定定理及其几何推理方法；灵活判断何时可使用对角线相等与三个角直角的条件。 • 教学难点：在综合题型中辨别不同判定思路，正确调用矩形性质和判定定理，并结合平行线距离概念实现严谨推理。 学生已具备平行四边形定义、性质和角平分线、对角线等基础知识，对四边形内角和、全等三角形等内容有初步认识。初步几何推理能力已形成，但在区分不同四边形性质、判断使用何种几何工具（如全等、平行性、垂直性）方面仍较欠缺。教学中需针对对角线相等由哪些全等条件得出、如何用“三个角是直角”这一特征去判断等问题进行示范与引导。通过逐步培养学生综合分析与推理能力，突破以往在复杂图形中识别矩形与运用矩形性质的难点。 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 教师提问：同学们，日常生活中我们常见到四边形的门、窗户等，如果知道其中一个角是直角，你能判断它是否一定是矩形吗？矩形的定义是什么？矩形具有哪些性质？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形．矩形的四个角都是直角，对角线相等． 反过来，一个四边形满足哪些条件就一定是矩形呢? 【设计意图】通过生活情境中的门窗等，让学生体会到“一个角是直角的平行四边形就是矩形”这一知识点的重要性，唤醒已有认知，明确本节课需要研究的问题，引发继续探究的兴趣。 探究点1：矩形的判定定理1 1.探索交流 （1）如果四边形四个角都是直角，这个四边形是矩形吗？ 解：如图，在四边形ABCD中， ∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴ ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∴ AD∥BC，AB∥DC． ∴ 四边形ABCD是平行四边形， ∵ ∠A＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形． （2）如果四边形有三个角是直角，这个四边形是矩形吗？ 解：如果四边形有三个角是直角，根据其内角和是360°，可知它的第四个角也是直角。 （3）如果四边形有两个角是直角，这个四边形是矩形吗？ 2.知识归纳 矩形的判定定理1： 三个角是直角的四边形是矩形． 符号语言： 如图，在四边形ABCD中， ∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形． 【设计意图】通过层层设疑和讨论，引导学生利用“四边形的内角和”这一已有知识，突破“只有三个直角也能判定是矩形”的认识难点，培养学生的推理能力。 探究点2：矩形的判定定理2 1.想一想 对角线相等的平行四边形一定是矩形吗？ 观察下图可以发现，在对角线相等时，平行四边形看上去像是矩形． 教师提问：如何证明呢？ 2.探索交流 已知：如图，在▱ABCD中，AC＝DB．求证：▱ABCD是矩形． 证法1：∵ AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB， ∴ △ABC≌△DCB， ∴ ∠ABC＝∠DCB． 又 ∵ AB∥CD， ∴ ∠ABC＋∠DCB＝180°， ∴ ∠ABC＝90°． ∴ ▱ABCD是矩形． 证法2：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD． ∵ AC＝DB， ∴ OA＝OB＝OC， ∴ ∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB． 又∵ ∠OAB＋∠OBA＋∠OBC＋∠OCB＝180°， ∴ ∠OBA＋∠OBC＝90°．即 ∠ABC＝90°. ∴ ▱ABCD是矩形． 3.知识归纳 矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 符号语言： 如图，在▱ABCD中， ∵ AC＝BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 4.探索交流 对角线相等的四边形是矩形吗？ 解：对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 5.讨论归纳 判断一个四边形是矩形有哪些方法？ 6.典例分析 例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，DE，DF分别是△BDC，△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 证明：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴CD＝AB＝DA＝DB． ∵DF平分∠ADC， ∴DF⊥AC， 即∠DFC＝90°． 同理可得∠DEC＝90°． ∴四边形DECF是矩形（矩形的判定定理1）． 例2 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：连接OE． ∵ O是AC，BD的中点， ∴ AO＝CO， BO＝DO， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 在Rt△AEC中，∵ O是AC的中点，∴ EO＝AC． 在Rt△BED中，∵ O是BD的中点，∴ EO＝BD． ∴ AC＝BD． ∴ ▱ABCD是矩形（矩形的判定定理2）． 【设计意图】引导学生从平行四边形的既有性质出发，通过对角线相等的补充条件，帮助学生认识到这是矩形的又一重要判定方法，进一步加强逻辑推理和综合分析能力。 探究点3：两条平行线之间的距离 1.讨论交流 如图，∥ ，A，D是上的任意两点，AB⊥ ，DC⊥ ，垂足分别为B，C．线段AB，DC相等吗？为什么？ 解：∵ AB⊥，DC⊥， ∴ AB∥DC． 又 ∵ ∥， ∴ 四边形ABCD为平行四边形． ∴ AB＝DC． 2.概念引入 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等． 符号语言： ∵ 直线∥，A，D是直线上任意两点， AB⊥，DC⊥ ，垂足分别为B、C． ∴ AB＝DC． 【设计意图】通过直观作图、操作和计算，让学生真正体会“平行线之间的距离处处相等”的含义，并能在后续学习中运用该结论解决与平行四边形、三角形面积相关的综合题目，进一步培养学生的空间想象和核心素养。 1．如图，▱ABCD的四个内角平分线分别相交于E、F、G、H，四边形EFGH是怎样的特殊四边形吗？证明你的结论． 证明：四边形 EFGH是矩形．证明如下: ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC， ∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°. 又∵ AE平分∠BAD，BE 平分∠ABC， ∴ ∠BAE＋∠ABE＝90°. ∴ ∠AEB＝90°. ∴ ∠HEF＝90°. 同理 ∠EFG＝∠FGH＝90°. ∴ 四边形EFGH是矩形（矩形的判定定理1）． 2. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E，F，G，H分别在OA，OB，OC，OD上，且AE＝BF＝CG＝DH． 求证：四边形EFGH是矩形． 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ OA＝OB＝OC＝OD． ∵ AE＝BF＝CG＝DH， ∴ OE＝OF＝OG＝OH． ∴ 四边形EFGH是平行四边形． ∵ OE＋OG＝OF＋OH，即EG＝FH． ∴ 四边形EFGH是矩形（矩形的判定定理2）． 3.如图，AB与直线l平行．当点C在l上移动时，△ABC的面积是否为定值？为什么？ 解：△ABC的面积为定值． 理由如下： 设AB与直线l之间的距离为h，易知h为定值． ∵△ABC的面积＝AB×h，AB和h均为定值， ∴△ABC的面积为定值． 变式 如图，AD∥BC，AC与BD相交于O点，面积相等的两个三角形是______________________________________________． 解： 【设计意图】设置多样化的题型（综合题、变式题）帮助学生牢固掌握并熟练运用矩形判定的两条定理。通过分层次练习，既能强化定义、定理的记忆，也能引导学生学会主动思考、灵活运用几何知识解决实际问题。 主板书 8.2 特殊的平行四边形 第2课时 探究点1 矩形的判定定理1 探究点 2 矩形的判定定理2 探究点3 两条平行线之间的距离 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题8.2第1-3题。 2. 探究性作业：习题8.2第4题。 学科网（北京）股份有限公司 $