精品解析：陕西西安市西大附中浐灞中学2025-2026学年第一学期高一期末考试数学试卷

2025-2026学年第一学期高一期末考试数学试卷 命题人：郑海峰 审题人：朱小妮 注意：本试卷共4页，19题，满分120分，时间120分钟 一、单选题（每小题4分，共8小题，总计32分） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集及交集定义即可得解. 【详解】，， 又，. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同时除以可得. 【详解】. 故选：A. 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用零点存在性定理求解即可. 【详解】，， ，由零点存在性定理， 得函数的零点所在的区间为. 故选：D. 4. 下列四组函数，表示同一个函数的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果. 【详解】对于A选项 ：对于，定义域为全体实数； 对于，分母不能为，所以定义域为，  由于定义域不同，因此这两个函数不是同一个函数； 对于B选项 ：对于，对应法则是直接取自变量值； 对于，根据根式性质，即， 当时，与的函数值不同，对应法则不同，因此这两个函数不是同一个函数；  对于C选项： 对于，定义域为；对于，真数，即；  由于定义域不同，因此这两个函数不是同一个函数； 对于D选项：对于，定义域为全体实数；对于， 分母恒大于，所以定义域也为全体实数，  对化简，根据指数运算法则，则，与的表达式完全相同，  因此这两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一个函数.  故选：D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正切函数的定义域进行求解． 【详解】由题知，解得. 故选：C. 6. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小即得. 详解】依题意，， 所以. 故选：D 7. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简表达式，再根据任意角三角函数的定义求值． 【详解】因为， 又点在角的终边上，则， 所以的值为. 故选 ：A. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合已知条件，对不等式进行分类讨论并求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，在上单调递增. 所以当时，，， 当时，， 当时，，， 当时，，， 综上，不等式的解集是 故选：A 二、多选题（每小题6分，共3小题，总计18分） 9. 有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（ ） A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，结合平移变换和伸缩变换的原则，即可求解. 【详解】由函数图象上的横坐标缩短为原来的倍，得到， 再将函数向左平移个单位，，得到， 所以A不正确，B正确. 由函数向左平移个单位，得到， 再将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，得到，所以C正确，D不正确. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 关于直线对称 C. 的一个对称中心为 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式，对称轴与对称中心的结论，以及正弦函数的单调区间逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，则的最小正周期为，故A正确； 对于B，因，故关于直线不对称，即B错误； 对于C，因，故的一个对称中心为，即C正确； 对于D，当时，，而函数在上没有单调性，故D错误. 故选：AC 11. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列选择中正确的有（ ） A. 函数的周期是4； B. 直线是函数的一条对称轴； C. 在上单调递增； D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数为偶函数可得关于直线对称，结合奇函数可得到是周期为4的函数，接着利用对称性和周期性对每个选项进行逐个判断 【详解】对于A，因为函数为偶函数，所以即的图象关于直线对称， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 所以是周期为4的函数，故A正确； 因为关于直线对称，且为奇函数， 所以关于直线对称，又是周期为4的函数， 所以关于直线对称， 因为，所以直线是函数的一条对称轴，故B正确； 由是定义在上的奇函数，当时，， 可得当时，， 令，则，所以， 此时单调递减， 因为， 所以在上的单调性相当于在上的单调性，故此时递减，故C错误； ，所以，故D正确 故选：ABD 三、填空题（每小题4分，共3小题，总计12分） 12. 已知扇形的弧长，面积为，则扇形所对的圆心角的弧度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式求得，再结合圆心角即可求解. 【详解】由题可得扇形的半径， 所以圆心角. 故答案为：. 13. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算公式即可求解. 【详解】原式. 故答案为：. 14. 关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 四、解答题（共5小题，总计58分) 15. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明． 【答案】（1） （2）为奇函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，求解即得. （2）根据函数奇偶性的判断方法，求得与之间的关系，求解即可. 【小问1详解】 由题意得：且， 解得，所以函数定义域为. 【小问2详解】 为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数. 16. （1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可； （2）用整体代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值，并指出取得最值时的值. 【答案】（1）单调递增区间为，； （2）时，有，时，有. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式先化简函数式，再利用三角函数的性质求单调区间即可； （2）结合（1）的结论，利用整体代换思想及三角函数的图象与性质计算最值即可. 【小问1详解】 ， 令，， 得，， 所以的单调递增区间为，； 【小问2详解】 因为，所以， 所以当，即时， 有， 当时，即时， 有. 18. 已知，． （1）求和的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求出的值，利用二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的余弦公式可求得的值； （2）求出，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【小问1详解】 因为，，则， 由二倍角公式可得， ， 因此，. 【小问2详解】 因为，，则， 所以，， 所以， . 19. 已知函数． （1）求证：； （2）用单调性定义证明函数是减函数； （3）若，解关于的不等式． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）应用指数运算律计算化简证明即可； （2）应用单调性定义证明即可； （3）应用（1）及（2），结合单调性得出一元二次不等式，再分三种情况分别计算求解. 【小问1详解】 ∵，∴． 【小问2详解】 函数的定义域为，对任意的，且， ∵函数在上单调递增，∴，即， ∴，即，∴函数在上单调递减． 【小问3详解】 ∵，∴， ∴．不等式，即， 又由（2）知函数在上单调递减，∴，∴， 当时，解，得或； 当时，，解得； 当时，方程的两个实数根为， 若，即时，不等式的解集为空集； 若，即时，不等式的解集为； 若，即时，不等式的解集为． 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为空集； 当时，所求不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高一期末考试数学试卷 命题人：郑海峰 审题人：朱小妮 注意：本试卷共4页，19题，满分120分，时间120分钟 一、单选题（每小题4分，共8小题，总计32分） 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A B. 1 C. 3 D. 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组函数，表示同一个函数的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3小题，总计18分） 9. 有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（ ） A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于直线对称 C. 的一个对称中心为 D. 在上单调递减 11. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列选择中正确的有（ ） A. 函数的周期是4； B. 直线是函数的一条对称轴； C. 在上单调递增； D. 三、填空题（每小题4分，共3小题，总计12分） 12. 已知扇形的弧长，面积为，则扇形所对的圆心角的弧度数是________． 13. __________. 14 关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 四、解答题（共5小题，总计58分) 15. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明． 16. （1）已知，求最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值，并指出取得最值时的值. 18 已知，． （1）求和的值； （2）若，且，求的值． 19. 已知函数． （1）求证：； （2）用单调性定义证明函数是减函数； （3）若，解关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $