6.1菱形的性质与判定练习题2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

6.1菱形的性质与判定练习题 一、单选题 1．已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积为（    ） A．48 B．28 C．24 D．20 2．如图，已知菱形的面积为分别为的中点，若的长为4，对角线的长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．48 3．如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(   ) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 6．如图，一块三角板放在一张菱形纸片上，斜边与菱形的一边平行，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足一个条件，是（） A．四边形是平行四边形 B．四边形是菱形 C．对角线 D． 8．两张全等的矩形纸片、按如图方式交叉叠放在一起．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（    ） A． B． C． D．9 9．如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形ABCD的对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上任意一点（不与点A，C重合），PE//BC交AB于点E，PF//CD交AD于点F，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．11 C．10 D．24 11．已知菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为 ． 14．如图，在中，交于点，则四边形是 ． 15．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为 ． 16．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择 （限填序号）． 三、解答题 17．已知：如图，四边形ABCD是菱形，，，E、F分别为垂足，求证：. 18．如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F两点，垂足是点O． (1)求证：； (2)问题：四边形是什么特殊的四边形？请给出证明． 19．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，．    (1)求证：； (2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，，求BD的长及四边形ABCD的周长． 20．已知四边形为平行四边形，点，分别是直线，上的点，且与点，，，不重合．    (1)请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：____________，使得点，与的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由； (2)如图2，已知，，若四边形为平行四边形，且，则的长度为______ 21．如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，对角线，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为24，，求四边形的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8， ∴这个菱形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选． 2．C 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，连接，三角形的中位线定理求出的长，利用菱形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点，的长为4， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴； 故选C． 3．C 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，掌握菱形的性质，折叠的性质是关键． 根据菱形的性质得到，根据折叠得到，则，由三角形的外角的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵是对角线， ∴， ∴， ∵将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：A． 5．C 【分析】根据菱形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确， 不能得出，故C选项不正确， 故选：C. 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 6．C 【分析】由菱形的可得∠ADB=∠BDC=30°，即可求解． 【详解】解：如图， ∵EF∥CD， ∴∠GEF=∠ADC=60°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADB=∠BDC=30°， ∵∠G=90°， ∴∠1=60°， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 7．D 【分析】利用三角形中位线定理可以证得四边形是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答． 【详解】解∶分别是的中点， 且， 同理可得∶且且， 且， 四边形是平行四边形， 即， 是菱形． 故选∶D． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半得到四边形的对边平行且相等从而判定出平行四边形是解题的关键，也是本题的突破口． 8．C 【分析】先证四边形是平行四边形，再证，得，则四边形是菱形，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程得出的长，即可解决问题． 【详解】解：设交于点G，交于点H，如图所示： ∵矩形，矩形是全等的矩形， ∴， ，，， ∴四边形是平行四边形， 在和中， ∴， ， ∴平行四边形是菱形， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴ ， ∴菱形的面积为， 即图中重叠（阴影）部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出的长． 9．D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意； 故选：D 10．A 【分析】先证四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则△POF的面积等于△AOE的面积．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半． 【详解】解：设AP与EF相交于O点． ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC//AD，AB//CD． ∵PE//BC，PF//CD， ∴PE//AF，PF//AE． ∴四边形AEPF是平行四边形． ∴S△POF＝S△AOE． ∴阴影部分的面积就是△ABC的面积， ∴△ABC的面积＝菱形的面积＝×（×6×8）＝12， 则阴影部分的面积是12． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解决本题的关键是得出阴影部分的面积就是△ABC的面积． 11．B 【分析】由菱形的性质，得到AC⊥BD，，，然后利用勾股定理求出AB=5，即可求出周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，； 在直角△ABO中，由勾股定理，得 , ∴菱形的周长为：； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的性质进行解题． 12．C 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 13． 【分析】本题考查了折叠以及菱形的性质，根据折叠以及菱形的性质发现特殊角是解题的关键． 根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵为菱形， ∴， 由折叠的性质可知，， 又∵， ∴， 在中，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判断、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，再结合勾股定理的逆定理证明，结合“对角线相互垂直的平行四边形为菱形”证明四边形是菱形即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴四边形是菱形． 故答案为：菱形． 15．24 【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形面积求法是解题关键． 直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 故答案为：24． 16．①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【详解】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 17．见解析 【分析】由菱形的性质及两个垂直条件，可证得，则可得BE=DF，从而易得EC=FC． 【详解】证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=BC=CD=DA，， 因为，， 所以， 在和中， ， 所以（AAS）， 所以BE=DF， 因为BC=CD， 所以EC=FC. 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，关键是证． 18．(1)见详解 (2)四边形是菱形，证明见详解 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，运用是的垂直平分线，得，，即可证明． （2）先证四边形是平行四边形，再证，即可由菱形的判定定理得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）得 ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 19．(1)见解析 (2)，四边形ABCD的周长为 【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证； （2）根据三角形中位线的性质可得，进而可得的长，中，勾股定理求得，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边，， 四边形是菱形， ； （2）解：点E，F分别为AD，AO的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，，， ， 菱形形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 20．(1)，见解析 (2)6． 【分析】（1）根据平行四边形的判定补充条件，再画图并证明即可； （2）分两种情况讨论：当M在A的左边时，证明四边形为菱形即可；当点M在点A右侧时，此时点重合，则重合，此时与已知条件不相符． 【详解】（1）解：如图，补充条件：，四边形为平行四边形；    证明如下： ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， 又点M在直线上，且， 如图，当点M在点A左侧时，四边形为平行四边形，    ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∴； 当点M在点A右侧时，此时点重合，则重合，与已知条件不符，所以此种情况不存在， 综上，的长为6． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记基本几何图形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 21．(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查菱形的证明与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练菱形的判定定理是解题的关键． （1）利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半结合平行四边形的性质即可证明； （2）设，，利用勾股定理求出，由题意得，推出，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵对角线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：设，， ∵的周长为24，， ∴， ∴，即， ∵， ∴在中，根据勾股定理得，即． ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为24． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $