事件的相互独立性、条件概率与全概率课件-2026届高三数学一轮复习

事件的相互独立性、 条件概率与全概率 知识清单 1.事件的相互独立性 P(AB)＝P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件 事件A与事件B相互独立 对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立 性质 若事件A与事件B相互独立，则A与与B，与也都相互独立 知识清单 2.条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)公式：①利用古典概型：P(B|A)＝________； ②概率的乘法公式：P(AB)＝____________． 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，有P(B)＝______________．我们称这个公式为全概率公式． P(A) P(B|A) 知识清单 【常用结论】 1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 2．计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数． 热点命题——1.相互独立事件的概率 考向1　事件独立性的判断 例1 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 B 热点命题——1.相互独立事件的概率 方法归纳： 1.判断两个事件是否相互独立的方法 (1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率． (2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． (3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与,与,与,也相互独立． 热点命题——1.相互独立事件的概率 考向2　相互独立事件的概率 例2 (多选)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)． A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 (1－α)(1－β)2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 热点命题——1.相互独立事件的概率 解析：由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β.对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，发1收1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，故A正确； 对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正确； 对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为β(1－β)2＋(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，故C不正确； 对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率P1＝α(1－α)2＋(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率P2＝1－α，当0<α<0.5时，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，故D正确．故选ABD. 热点命题——1.相互独立事件的概率 方法归纳： 1.判断两个事件是否相互独立的方法 (1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率． (2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． (3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与,与,与,也相互独立． 2.利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键． 热点命题——1.相互独立事件的概率 1　(1)如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为奇数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是(　　) A．事件B与C互斥 B．P(A∪B)＝ C．P(ABC)＝P(A) P(B) P(C) D．A，B，C两两相互独立 C 热点命题——1.相互独立事件的概率 (2)某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为________． 热点命题——2.条件概率 例3 (1)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 解析：同时爱好两项的概率为0.5＋0.6－0.7＝0.4，记“该同学爱好滑雪”为事件A，记“该同学爱好滑冰”为事件B，则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝＝0.8. A 热点命题——2.条件概率 (2)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为______；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为______． 解析：设甲、乙选到A为事件M，乙选到B为事件N，则甲选到A的概率为P(M)＝乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(N|M)＝. 热点命题——2.条件概率 方法归纳： 求条件概率的常用方法 热点命题——2.条件概率 2　(1)从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次随机抽取1张扑克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的条件下，第二次抽到K牌的概率为(　　) A．　　 B． C．　　 D． (2)在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个．现从中不放回地依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为(　　) A．　　 B． C．　 　 D． D B 热点命题——3.全概率公式的应用 例4 (1)秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.96%，但统计分析结果显示患病率为1%，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为(　　) A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 热点命题——3.全概率公式的应用 解析：设事件A为“患有此病”，B为“化验结果呈阳性”， 由题意，P(A)＝1%，P(B)＝1.96%，P＝1%， 则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为P(B|A)． 由全概率公式，P(B)＝P(A)PP， 代入数值可得P，解得 ＝＝0.97. 热点命题——3.全概率公式的应用 例4 (1)秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.96%，但统计分析结果显示患病率为1%，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为(　　) A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 热点命题——3.全概率公式的应用 (2)钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%，30%和20%，而掉在上述三处被找到的概率分别是0.8，0.3和0.1，则找到钥匙的概率为________． 解析：记事件A1为“钥匙掉在宿舍里”，A2为“钥匙掉在教室里”，A3为“钥匙掉在宿舍里”，事件B为“找到钥匙”， 由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.5×0.8＋0.3×0.3＋0.2×0.1＝0.51. 热点命题——3.全概率公式的应用 方法归纳： 利用全概率公式解题的思路 (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1,2,…,n)． (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)． (3)代入全概率公式计算． 热点命题——3.全概率公式的应用 3　(1)两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品不是次品的概率为(　　) A．0.956 B．0.966 C．0.044 D．0.036 (2)在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是________；如果此人患流感，此人选自A地区的概率是________． A 0.048 5　 综合应用——3.概率与独立性检验的综合 4 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.　   不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 综合应用——3.概率与独立性检验的综合 解析：证明：(1)由题意得 χ2＝＝24>6.635， ∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． 综合应用——3.概率与独立性检验的综合 (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. (ⅰ)证明：R＝·； (ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值． 综合应用——3.概率与独立性检验的综合 解析：(ⅰ)证明：∵＝·＝···＝·， ·＝···＝·＝·， ∴R＝·. 综合应用——3.概率与独立性检验的综合 (ⅱ)由表格中的数据，得 P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝， ∴P(|B)＝1－P(A|B)＝， P(|)＝1－P(A|)＝， ∴R＝·＝＝6. $