2025-2026学年人教版数学八年级下册寒假巩固作业15预习检测卷（勾股定理）

八年级下册寒假巩固作业15预习检测卷（勾股定理） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．8，12，15 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不能构成直角三角形．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可． 【详解】解：A、，能作为直角三角形的三边，故不符合题意； B、，能作为直角三角形的三边，故不合题意； C、，能作为直角三角形的三边，故不合题意； D、，不能作为直角三角形的三边，故符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，推出即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B， ∴， ∴点B表示的实数是， 故选：D． 3．（本题3分）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键． 根据勾股定理逆定理分别计算并判断． 【详解】解：A、∵， ∴能组成直角三角形，符合题意； B、∵， ∴不能组成直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴不能组成直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴不能组成直角三角形，不符合题意， 故选：A． 4．（本题3分）在中，所对的边分别为，下列选项中能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据求出最大角，勾股定理逆定理，等腰三角形依次判断四个选项即可． 【详解】A、∵， ∴最大角 ∴不是直角三角形， 故选项不符合题意． B、∵， ∴ ∴不是直角三角形， 故选项不符合题意． C、∵， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 故选项符合题意． D、∵， ∴是等腰三角形，不一定是直角三角形， 故选项不符合题意． 故选C． 5．（本题3分）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解． 【详解】解：在中，，，， ，则， ． 由折叠的性质得， ． 故选：C． 6．（本题3分）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 7．（本题3分）用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式． 【详解】解：∵，即， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，根据题意列出相应的等式是解答本题的关键． 8．（本题3分）如图是一块等腰三角形形状的铁皮，为底边，尺寸如图所示（单位：），根据所给的条件，可知该铁皮的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用勾股定理求出高是解题的关键． 过点作于点，由等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理求解，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 9．（本题3分）如图是一个人字梯及其侧面示意图，其中梯子撑开后最高点A距地面的高度为120厘米，两侧梯子的长度为130厘米，则此时梯子底端B、C的距离为（   ） A．50厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用等腰三角形三线合一的性质得出，再通过勾股定理求出的长度，进而得到的长度． 【详解】解：∵ 厘米，， ∴ ． 在中，厘米，厘米， ∴ （厘米）． ∴ 厘米． 故选：C． 10．（本题3分）如图，在中，，斜边，分别以的三边长为边任上方作正方形，分别表示对应阴影部分的面积，则（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，根据题意过作于，连接，进而结合全等三角形的判定与性质得出进行分析计算即可. 【详解】解：在中，，斜边， ， ， 过作于，连接，    在和中， ， ， 同理，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 、、三点共线， ，， ， 图中， ， 在和中， ， ， 同理，， ． 故选：B． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．    【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的应用：先分析，得地毯的长度等于两个直角边之和，故根据勾股定理求出另一直角边为，即可作答． 【详解】解：根据勾股定理，另一直角边（米）， ∴（米）， 则需要7米的地毯 故答案为：7 12．（本题3分）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点A相距1.5千米，请问新修道路是不是村庄C到河边最近的路？ （填是或不是）；走新修路比走原路少走 千米？ 【答案】 是 0.5/ 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用， 首先根据勾股定理的逆定理得到，进而得到新修道路是村庄C到河边最近的路；然后勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】∵千米，千米，千米 ∴ ∴ ∴新修道路是村庄C到河边最近的路； ∵千米 ∴ ∴千米 ∴走新修路比走原路少走0.5千米． 故答案为：是；0.5． 13．（本题3分）若是的三边，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点，将图形展开、利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将容器的侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：将圆柱的侧面展开， 为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，即 ， 延长，过作于点D， ∵cm， ∴， 在中，由勾股定理可得， 所以该圆柱底面周长为． 故答案为：． 15．（本题3分）如图，在中，，，，将沿折叠，点C的对应点E落在上，再将沿折叠，使得点A的对应点恰好与点E重合，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．先由折叠的性质得到，，根据，求出，进而求出，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16．（本题9分）在中，，若，．求a，b的长． 【答案】6，8 【分析】根据，设，根据勾股定理可得，结合题意求得的值即可求解． 【详解】解：设，根据勾股定理可得． 又，即， 所以， 因此． 即a，b的长分别为6，8． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 17．（本题9分）如图，某钓鱼者和鱼线的水平距离的长是，露在水面上的鱼线长是，钓者想看看鱼钓上的情况，就把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，此时钓鱼者和鱼线的水平距离是多少？鱼线移动的水平距离是多少? 【答案】钓鱼者和鱼线的水平距离是，鱼线移动的水平距离是 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先在中利用勾股定理求出，即为，再在中利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 答：钓鱼者和鱼线的水平距离是，鱼线移动的水平距离是． 18．（本题9分）已知线段，以点 A 为圆心， 的长为半径画弧，再以点 B 为圆心，  的长为半径画弧，两弧在AB 上方交于点C，请问： 是直角三角形吗？试说明理由． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据题意求出三角形的各边长，即可得出，由此即可得出结论． 【详解】结论： 是直角三角形 证明：如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ 是直角三角形． 19．（本题9分）如图，在中，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．由可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解： ， ， ，， ． 20．（本题9分）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，证明是直角三角形是解题的关键。 （1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 21．（本题9分）（1）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的值； （2）已知a，b，c为的边长，b，c满足，且a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】（1）16；（2）见解析 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，求出的值，进而求出的值； （2）根据非负性求出的值，绝对值的意义，求出的值，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）是的算术平方根，的立方根为， ， ， ． （2）， ， ， ， 或3， 当时，，则是直角三角形，周长为12， 当时，，则是等腰三角形，周长为10． 【点睛】本题考查算术平方根，立方根，非负性，勾股定理逆定理，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 22．（本题10分）如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1) (2)会造成噪声污染，污染的时间为 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）在上取不同的两点E、F，连接，使得，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于D，如图所示， 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图所示，在上取不同的两点E、F，连接，使得． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 23．（本题11分）综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】将两个这样的直角按照图②所示摆放，使和在一条直线上，连接 (1)请用a，b，c分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理 (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】(1)， ；证明见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． 根据可证； 计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； 运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：设边上的高为h，则, ， , ， 即边上的高是， 故答案为：； （3）解：在中，由勾股定理得： ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下册寒假巩固作业15预习检测卷（勾股定理） （时间：100分钟，总分120分） 一、单选题（共30分） 1．（3分）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．7，24，25 D．8，12，15 2．（3分）如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）在中，所对的边分别为，下列选项中能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（3分）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 7．（3分）用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．（3分）如图是一块等腰三角形形状的铁皮，为底边，尺寸如图所示（单位：），根据所给的条件，可知该铁皮的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（3分）如图是一个人字梯及其侧面示意图，其中梯子撑开后最高点A距地面的高度为120厘米，两侧梯子的长度为130厘米，则此时梯子底端B、C的距离为（   ） A．50厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米 10．（3分）如图，在中，，斜边，分别以的三边长为边任上方作正方形，分别表示对应阴影部分的面积，则（    ）    A．2 B． C．4 D． 二、填空题（共15分） 11．（3分）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．    12．（3分）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点A相距1.5千米，请问新修道路是不是村庄C到河边最近的路？ （填是或不是）；走新修路比走原路少走 千米？ 13．（3分）若是的三边，且，则的面积为 ． 14．（3分）如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 cm． 15．（3分）如图，在中，，，，将沿折叠，点C的对应点E落在上，再将沿折叠，使得点A的对应点恰好与点E重合，则的长为 ． 三、解答题（共75分） 16．（9分）在中，，若，．求a，b的长． 17．（9分）如图，某钓鱼者和鱼线的水平距离的长是，露在水面上的鱼线长是，钓者想看看鱼钓上的情况，就把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，此时钓鱼者和鱼线的水平距离是多少？鱼线移动的水平距离是多少? 18．（9分）已知线段，以点 A 为圆心， 的长为半径画弧，再以点 B 为圆心，  的长为半径画弧，两弧在AB 上方交于点C，请问： 是直角三角形吗？试说明理由． 19．（9分）如图，在中，，若，，，求的长． 20．（9分）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 21．（9分）（1）已知4是的算术平方根，的立方根为，求的值； （2）已知a，b，c为的边长，b，c满足，且a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 22．（10分）如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 23．（11分）综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】将两个这样的直角按照图②所示摆放，使和在一条直线上，连接 (1)请用a，b，c分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理 (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $