第20章勾股定理寒假作业-2025-2026学年人教版数学八年级下册

（寒假作业）第20章勾股定理-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 2．若的三边长，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 3．如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使．以O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 4．如图，在中，，．若点B在坐标原点上，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．北偏西方向上 D．北偏西方向上 6．下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 7．如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．4.5 D．5 8．如图，为了测出湖两岸，之间的距离，观测者在处设桩，使恰好为一个直角三角形（）．通过测量得到的长为，的长为，那么，之间的距离为（   ） A． B． C． D． 9．如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 10．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里德在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，现将的斜边为边的正方形向上翻转，得到正方形，，，恰好在一条线上，与交于点，已知，的面积分别为，，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）． 12．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 13．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ． 14．如图，分别以的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为，，．若，，则 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 16．如图①，“快乐勾股树”是以含的直角三角形的三边向外作正方形得到的图形，图①中阴影三角形是“快乐三角形”．快乐三角形，快乐三角形，快乐三角形，…，重复数次操作后，按照图②方式摆放，已知图②中，，则快乐三角形的面积是 ． 三、解答题 17．如图，在中，已知，．建立适当的平面直角坐标系，把的各个顶点的坐标写出来，并求出的面积． 18．如图，在中，，，垂足为．已知，，求的长． 19．如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 20．某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．下图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，且． (1)试说明：． (2)求阴影部分的面积． 21．综合与实践 【问题背景】 如图1，，，，点D是上的动点（点D与点A不重合），连接，作，，，连接． 【问题解决】 （1）①与之间的数量关系是 ； ②求证：； 【操作探究】 （2）作点C关于直线的对称点F，连接，，．问是否垂直于？并说明理由． 【深入拓展】 （3）在（2）的条件下，若，，直接写出的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（寒假作业）第20章勾股定理-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B B A A B B B 1．D 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 2．D 【分析】根据平方和为零的性质，每一项必须为零，从而得出边的关系和角的关系． 本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理，正确根据题目已知条件找到、、之间的关系即可判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质． 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， ∴ 即 ， 且 即 ， ∴ △ABC 是等腰三角形（）且直角三角形（）， 故为等腰直角三角形． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查勾股定理与无理数，无理数的估算，利用勾股定理求出的长，从而得到点P所表示的数，再根据无理数的估算即可求得答案 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴P点所表示的数就是， ∵， ∴， 即点P所表示的数介于3和4之间， 故选C 4．B 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握计算点坐标的方法是解题的关键； 根据即可知道点坐标，再根据勾股定理即可求得长，则可得到点的坐标 ． 【详解】解：∵ ∴ 在中， 则点的坐标为． 故选：B ． 5．B 【分析】先用勾股定理判断三角形的形状，再结合方位角与直角三角形性质确定C相对于B的方位角； 本题考查了方位角，熟练掌握方位角相关内容是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短和三角形的三边关系，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键． 根据勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短分析甲图，根据三角形的三边关系分析乙图，从而做出判断． 【详解】解：图甲中，∵， ∴三角形是直角三角形 再根据垂线段最短，可知， ∴图甲可验证； 图乙中，根据三角形的两边之和大于第三边可得 ∴ ∴ 无法验证； 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系． 先求出BC′，再由图形折叠特性知，，在中，运用勾股定理求解． 【详解】解：∵点是AB边的中点，， ∴， 由图形折叠特性知，， 在中，， ∴， 解得，， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形中，利用勾股定理求未知直角边的长度是解题的关键． 确定为直角三角形，其中是斜边、是直角边，利用勾股定理的变形公式计算的长度． 【详解】解：， 是直角三角形， 由勾股定理得： 已知， 代入得： 故选：B． 9．B 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点．通过延长线构造全等三角形，将转化为，结合勾股定理求线段长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 10．B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，不妨设，那么，，接着证明，得到，那么，然后利用，表示出，接着利用勾股定理表示出，最后利用 ，其面积差为1，列出方程，解出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： 不妨设，那么， ∵， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ，， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ，，的面积分别为，，， ， ∴（舍去负值）， ∴， 故选：B． 11．合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理在长方形判定中的应用，掌握若四边形的一组邻边与对角线满足勾股定理，则该角为直角，可判定为长方形是解题的关键． 通过计算长、宽和对角线的平方，验证是否满足勾股定理． 【详解】解：长为，宽为，对角线为， 计算，， 满足勾股定理，桌面合格． 故答案为：合格． 12． 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 13．24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据题意可知，m，m，m，根据勾股定理的逆定理可得到，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，m，m，m， ∵ ∴ ∴小洛所在班级植树围成的区域的面积为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先根据圆的面积公式求出以、为直径的半圆面积、与、的关系，再利用勾股定理得到，进而求出以为直径的半圆面积. 【详解】解：由图可知： 则， ∴， 在中，， 则 ∴ 故答案为： ． 15． 【分析】本题考查对称求最值，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作关于的对称点，连接交于，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：作关于的对称点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 则为等腰直角三角形， ∵关于的对称点为， ∴也为等腰直角三角形， ∴，， 点在轴上， 且， 连接交于，连接，则此时的值最小， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了图形类规律探究，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质． 作，交的延长线于点H，则，由勾股定理求出，从而，再求出，利用三角形面积公式求出，然后得出即可求解． 【详解】作，交的延长线于点H，则， ∵由题意可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可求：，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平面直角坐标系的建立及三角形面积公式，掌握利用等腰三角形的对称性建立坐标系，结合勾股定理求高，再用面积公式计算是解题的关键． 先求出的长度，再用勾股定理算出的高度，从而得到各顶点坐标，最后代入三角形面积公式计算面积． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 则． 在中，由勾股定理得， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ． 18． 【分析】先在中用勾股定理求出的长度，再结合等腰三角形的性质，设为未知数，用该未知数表示，最后在中通过勾股定理列方程求解的长． 【详解】解：， ． 在中，． 设，则． 在中，， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查了勾股定理与等腰三角形的性质，掌握结合等腰三角形的边的等量关系，设未知数并利用勾股定理列方程求解边长是解题的关键． 19．(1)不正确的，10米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、求出的长是解题的关键． （1）设米，则米，在中，利用勾股定理列方程，求出x，结合即可得出结论； （2）由题意得米，则米，在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确；理由如下： 由题意可知：，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 小明的猜想不正确，立柱的正确长度为10米； （2）解：由题意可知：， ， 中，由勾股定理得：， 即， 米， 焊接的钢索的长为米． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由勾股定理逆定理，得到是直角三角形即可证明； （2）过作于点，三线合一求出的长，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：（1）在中，，，， ，， ， 是直角三角形，． （2）解：如图，过点作于点， ． ， ． 在中，， ， ． ， ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 21．（1）①；②见解析；（2），理由见解析；（3）或 【分析】（1）①证明出，，从而得出，即可得出，从而得证；②由①可得，为等腰直角三角形，从而可得，，求出，再由勾股定理即可得证； （2）连接交于点，连接，由（1）可得，，，且，，，，从而可得，求出，由轴对称的性质可得垂直平分，从而得出，，证明四边形为正方形，得出，进而得出，再由等边对等角得出，，求出，即可得出结果 （3）当点在的下方时，过点作于点，连接交于点，连接，由（2）可得：四边形为正方形，，由勾股定理可得，从而可得，再求出，，即可得出；当点在的上方时，同理计算即可得出结果． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明由①可得：，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； 如图，连接交于点，连接， ， 由（1）可得，，，且，，，， ∴， ∴， ∵点F与点C关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，当点在的下方时，过点作于点，连接交于点，连接， ， 由（2）可得：四边形为正方形，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在的上方时，同理可得：， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $