第19章二次根式寒假作业-2025-2026学年人教版数学八年级下册

（寒假作业）第19章二次根式-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．若，则下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 3．若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 4．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 5．如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 8．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 9．一个等腰三角形的两边长分别为和，那么这个等腰三角形的周长为（    ） A．或 B． C．或 D． 二、填空题 10．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 11．将化为最简二次根式为 ． 12．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 13．若，则的取值范围为 ． 14．若为实数，且，则的值为 ． 15．若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 16．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 三、解答题 17．计算： (1)． (2)． 18．计算： (1)． (2)． 19．已知，化简：． 20．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 21．自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子中实数的取值范围”，她告诉刘敏：“你把题目抄错了，不是‘’，而是‘’，”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和都在根号内．”刘敏说得对吗？也就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？ 22．阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（寒假作业）第19章二次根式-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B C C C C C A A 1．C 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此结合的条件，逐一分析选项． 【详解】解：二次根式有意义的条件是被开方数，结合分析： A、：被开方数，当时，，根式无意义，不符合题意； B、：被开方数，当时，，根式无意义，不符合题意； C、：被开方数，∵，∴，根式一定有意义，符合题意； D、：被开方数，当时，，根式无意义，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确“被开方数非负”，并结合已知条件分析各选项的被开方数符号． 2．B 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握算术平方根的结果为非负数是解题的关键． 先计算根号内的结果，再根据二次根式的性质化简，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵先计算根号内的式子：， ∴原式． ∵算术平方根的结果是非负的， ∴． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面积公式建立等式，通过二次根式运算验证选项． 根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长． 【详解】解：长方形面积长宽，已知面积为，一条边长为，则相邻边长面积已知边长，即计算： ． 故选：C． 4．C 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 根据焦耳定律公式求解电流，需将已知量代入公式，通过代数运算求出电流的值． 【详解】解：已知焦耳定律公式，其中，，，将这些值代入公式求解电流： ． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键． 本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断各选项化简后是否与是同类二次根式，即被开方数是否相同即可. 【详解】解：A、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； B、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； C、∵ ，， ，不是二次根式，不能与合并，符合题意； D、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，掌握将二次根式化为最简形式并合并同类二次根式，结合二次根式有意义的条件求解方程是解题的关键． 本题通过简化方程，将各项转化为的倍数，然后求解． 【详解】解：∵， ，， ∴原方程化为， ∴， 两边平方得， ∴ 故选：C． 8．A 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 先进行化简，再进行估算即可． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴数轴上最接近的是A． 故选：A． 9．A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，二次根式的加减法，解题的关键是掌握对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 先将边长化简，等腰三角形可能有两种情况，分别以化简后的边长为腰或底，计算周长并验证三角形不等式． 【详解】解：∵ ，， 情况一：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为 ； 情况二：腰长为，底边为，，能构成三角形， 周长为． ∴ 周长为或， 故选：A． 10． 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简． 【详解】解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． 11． 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 12．错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 13． 【分析】根据二次根式的性质，可知，结合已知等式可转化为绝对值不等式求解． 【详解】解：由二次根式的性质，得： ． 已知， ∴． 根据绝对值的非负性，的条件是， ∴． 解不等式得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，解题关键是利用将等式转化为绝对值不等式，再根据绝对值的定义确定变量的取值范围． 14． 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，三角形的三边关系． 根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形的三边关系确定c的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即． 故答案为：． 16． 【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，正确化简二次根式是解题的关键． （1）（2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 19． 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将被开方数因式分解，然后再根据二次根式性质结合，进行化简求值即可． 【详解】解：原式 ． ， ，， 原式 ． 20．能， 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算． 将题目中的已知量代入到公式中计算即可． 【详解】解：，，， ， 故这块菜地的面积约为． 21．刘敏说得不对，结果不一样． 【分析】将两个式子分别计算比较最后结果是否相同即可； 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：按照解题， 则，且， 即，或，， 解得或． 按照解题， 则，， 解得． 故刘敏说得不对，结果不一样． 22．(1) (2) 【分析】（1）可采用分母有理化的方法，利用平方差公式，消去分母中的根号；也可以将分子变形为平方差的形式，再约分； （2）先对两个式子分别进行有理化变形，转化为分子为的分数形式，再通过比较分母的大小来判断分数的大小． 【详解】（1）解：方法一：分母有理化 ． 方法二：平方差变形 ． （2）解：，． ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化和实数的大小比较，解题关键是掌握分母有理化的两种常用方法（平方差公式变形、分子分母同乘有理化因式），以及利用倒数法比较两个根式差的大小． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $