6.2.1排列 第一课 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理 6.2.1　排列 学习目标 课程标准 学习目标 1.通过实例,理解排列的概念. 2.通过学习,培养学生直观想象的核心素养 理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列 刘雨萌 数学文化 排列组合问题,最早见于我国《易经》一书.《易经》是我国古代思想智慧的积累与结晶,它具有一套独特的、创新的图示符号,用“— —”“——”两种“爻”的符号代表阴阳,“— —”称为阴爻、“——”称为阳爻.阴阳两爻在三个位置的不同排列组成了八卦. 所谓“四象”就是每次取两个爻的排列,“八卦”是每次取三个爻的排列.在汉代数学家徐岳的《数术记遗》(公元2世纪)中,也曾记载有与占卜有关的“八卦算”,即把卦按不同的方法在八个方位中排列起来.它与“八个人围一张圆桌而坐,问有多少种不同的坐法”这一典型的排列问题类似.11世纪,邵雍还进一步研究了六十四卦的排列问题. 刘雨萌 新知探究 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 分析： “选出2名参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动” 2、如何完成： 1、“要完成的一件事”： “分步” 第1步：确定参加上午活动的同学，从3人中任选1名，有3种选法. 第2步：确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法. 上午 下午 相应的排法 乙 丙 甲 丙 甲 乙 甲 乙 丙 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 刘雨萌 刘雨萌 问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 新知探究 分析： 1、“要完成的一件事”： “组成一个三位数” 2、如何完成： “分步” 第1步：确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法； 第2步：确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法； 第3步：确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法. N=4×3×2=24. 百位： 十位： 个位： 刘雨萌 思考？ 上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？ 问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数. 刘雨萌 知识点　排列 (1)排列的概念:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照 　　　　　　　排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.  (2)两个排列相同的充要条件: 两个排列的　　　　完全相同,且元素的　　　　　　也相同.  一定的顺序 元素 排列顺序 [探索] 判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么? 解:关键是在安排取出的元素时是有序还是无序.有序的是排列,否则不是. 知识小结 刘雨萌 例1 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)1,2,3与3,2,1为同一排列. (　　) (2)在一个排列中,同一个元素不能重复出现. (　　) (3)从1,2,3,4中任选两个数字,就组成一个排列. (　　) (4)从5名同学中任选2名同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题. (　　) √ [解析]元素相同,但排列顺序不同,故不是同一排列. √ [解析]任选两个数字,可以组成两个排列.比如选取1,2两个数字, 可以组成1,2这个排列,也可以组成2,1这个排列. 典例分析 刘雨萌 [探索] 从甲、乙、丙三位同学中选出两人担任正、副班长,有多少种不同的选法?与顺序有关吗? 解:按照分步乘法计数原理,有3×2=6(种)不同的选法. 因为任职有正、副之分,所以与顺序有关. 例2 写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列,一共可以组成多少个 排列? 解:由题意作出树状图如下: 故所有的排列为abc,abd,acb,acd, adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab, cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.一共可以组成24个排列. 典例分析 刘雨萌 变式 (1)A,B,C三名同学照相留念,成“一”字形排队,所有排列的方法有 (　　) A.3种 B.4种 C.6种 D.12种 [解析]所有的排法有:A—B—C, A—C—B,B—A—C,B—C—A, C—A—B,C—B—A,共6种. (2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有　　　　种机票.  12 [解析]列出每一个起点和终点情况,如图所示. 故符合题意的机票种类有: 北京→广州、北京→南京、 北京→天津、广州→南京、 广州→天津、广州→北京、南京→天津、南京→北京、南京→广州、天津→北京、天津→广州、天津→南京,共12种. 刘雨萌 拓展 写出A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在两端的所有可能站法. 解:作出树状图如图所示: 故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD, BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC, DACB,DBAC,DCAB,共12种. 刘雨萌 变式.6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为 (　　) A.36 B.120 C.720 D.240 C [解析] 6名同学排成两排,先排第一排,共有6×5×4=120(种)排法; 再排第二排,共有3×2×1=6(种)排法. 由分步乘法计数原理可知,共有120×6=720(种)不同的排法.故选C. 刘雨萌 例3 已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工,再由高级技师完成精加工,其中粗加工要完成A,B,C,D四道工序且不分顺序,精加工要完成E,F,G三道工序且E为F的前一道工序,则完成该工艺不同的方法 有 (　　) A.144种 B.96种 C.48种 D.112种 [解析] 由题意可知,粗加工工序的排法种数为4×3×2×1=24. 将E,F进行捆绑,且E为F的前一道工序,精加工工序的排法种数为2. 由分步乘法计数原理可知,完成该工艺不同的方法种数为2×24=48.故选C. C 刘雨萌 教材16页 例1：某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛? 分析 每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列． 详解 典例分析 刘雨萌 总结 排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关. 在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑对所取出的元素任意交换其中两个，若结果变化，则是排列问题,否则不是排列问题. 教材16页例2：(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? 分析 第(2)问中，3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置(给3名同学)的一个排列. 详解 典例分析 刘雨萌 例2：(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法? 分析 第(2)问中，3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列． 详解 总结 解决此类相似问题时，首先要分清楚是不是排列问题，其次使用分步乘法计数原理求排列总数时，要做到步骤完整，步与步之间相互独立，然后把完成每一步的方法数相乘即可得到总数. 1.知识清单： (1)排列的定义：顺序性. (2)“树形图”法列举排列. (3)排列的简单应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：排列的定义不明确. 课堂小结——你学到了那些新知识呢？ 刘雨萌 题型一 “排列”判断 例题1 判断下列问题是否为排列问题. (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信. 重要题型专项练 刘雨萌 【详解】(1)虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题. (5)中每个人的职务不同，存在顺序问题，属于排列问题. (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题. 综上，(2)(5)(6)属于排列问题,(1)(3)(4)不属于排列问题. 排列问题的判断方法： (1)元素的无重复性 (2)元素的有序性 判断关键是看选出的元素有没有顺序要求. 重要题型专项练 刘雨萌 题型二 排列解决“排数”问题 例题2 用1，2，3，4，5，6六个数字，可以排成多少个没有重复数字的三位数？ 【详解】由题意，可以看作是从6个元素中，取三个元素，按照一定顺序排列的排列问题. 先从6个数字中，选择一个数字，作为个位，共有6种选法； 再从剩下5个数字中，选择一个数字，作为十位，共有5种选法； 最后从剩下的4个数字中，选择一个数字，作为百位，共有4中选法， 由分步乘法计数原理可得，则共有6×5×4=120(种)不同排法； 重要题型专项练 刘雨萌 总结 排列解决“排数”问题 (1)先根据排列的定义，判断所解决的问题是否为排列问题 (2)将排列问题，进行分步进行 (3)结合分步计数原理即可得解 重要题型专项练 刘雨萌 随堂演练 刘雨萌 解 随堂演练 刘雨萌 解 随堂演练 刘雨萌 解 随堂演练 刘雨萌 解 随堂演练 刘雨萌 解 随堂演练 刘雨萌 课后作业 作业1：完成教材：第16页 练习1；第17页 练习2,3；. 作业2：配套辅导资料对应的《排列》.  刘雨萌 练习(第16页) 1．写出： (1)用0～4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数； (2)从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列． (1) 10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43． (2) ab，ba，ac，ca，ad，da，bc，cb，bd，db，cd，dc． 课后作业答案 刘雨萌 练习(第17页) 2．一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序? 课后作业答案 刘雨萌 练习(第17页) 3．学校乒乓球团体比赛采用5场3胜制（5场单打），每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1，2位出场的运动员在后2场比赛中还各出场1次． (1) 从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况? (2) 甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况． 课后作业答案 刘雨萌 课后作业答案 刘雨萌 本节内容结束 如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为： 从3个不同的元素 中任意取出2个，并按一定的顺序排成 一列，共有多少种不同的排列方法？ 所有不同的排列是 ， 不同的排列方法种数为 . 1．判断下列问题是否为排列问题 （1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ （2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程 ？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程 ? （3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程 表示焦点 在x轴上的椭圆，则必有a>b,a,b的大小关系一定；在双曲线 中，不管a>b还是a<b，方程 均表示焦点在x轴上的双曲线， 且是不同的双曲线，故是排列问题. (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题. 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题， 与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题. 从4个字母中取出2个字母的排列有 ； 从4个字母中取出3个字母的排列有 ， ； 2．(1)写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列； (2)写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列． 所有各场比赛的双方有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁， 共6种； 所有冠、亚军的可能情况有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁， 丙丁，乙甲，丙甲，丁甲，丙乙，丁乙，丁丙，共12种． 3．甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. (1)列出所有各场比赛的双方； (2)列出所有冠、亚军的可能情况. 因为平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上， 所以其中任意3个点为顶点构成的三角形有： 共4个. 已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上， 写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形. 显然一个信封中放入1封信，因此8封不同的信随意放入8个写好地址 的信封，相当于8个不同元素放在8个位置上，每个位置放1个， 第1步：先摆第1个位置，共有8种摆法； 第2步：剩下的7封信，再摆第2个位置，共有7种摆法； .... 第8步：剩下的1封信，摆在第8个位置. 根据分步乘法计数原理，所求不同的放法种数是： （种）. 5．将不同的8封信随意放入8个写好地址的信封，共有多少种不同的放法？ $