精品解析：云南省昆明市第三中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

昆明市第三中学高2028届高一年级上学期期末考试 数学试题卷 命题人：李刘祥 苏孟琪 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出集合，再根据交集运算求解出结果. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到答案. 【详解】命题“”的否定是. 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A． 考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定． 4. 已知某放射性同位素的含量与时间的关系式为，其中为初始含量.则当该放射性同位素的含量为时，的值约为（ ） 附：. A. 33 B. 45 C. 67 D. 78 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，两边取对数，得到，即可求解. 【详解】由题意知，该放射性同位素的含量为时，可得，即， 两边取对数得，解得. 故选：C. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 由， 故，故，由于，故， 故选；B 6. 已知，，则（ ） A. B. C. 5 D. -5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用两角和与差的正弦公式，联立方程组求得的值，结合，即可求解. 【详解】根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得： ，， 联立方程组，可得， 又由. 故选：D. 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，可证得是奇函数，且在上单调递增. 可化为，进而可解得结果. 【详解】令，（）， 则， 所以是奇函数； 又都是上增函数， 所以在上单调递增. 所以可化为， 进而有， 所以， 解得或. 故选：B. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，因为点在上，则，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系． 已知，，，得，， ，，， ，， ，， 因为点在上，则， 又，且、不共线， 可得，且，解得． ， ． 故选：D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错或不选的得0分. 9. 设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（ ） A. ab的最大值为 B. a2＋4b2的最小值为 C. 的最小值为8 D. 2a＋4b的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用均值不等式对选项进行逐一求解，可判断出正误，得出答案. 【详解】，得，当且，时取等号，故正确； ，当且仅当，时取等号，故正确； ，当且仅当时取等号，故错误； ，当且仅当，时取等号，故正确， 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值. 10. 定义域为的函数满足，，且时，，则（ ） A. B. 在单调递增 C. D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶性的定义判断；对于B，设且，则由题意可得，利用单调性的定义判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得判断，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可判断. 【详解】对于A，由题意，令，可得，于是， 令，则，即，所以为奇函数，故A正确； 对于B，设且，则， 则，所以， 即，所以在单调递增，故 B正确； 对于C，由，得，所以， 又为奇函数，则，故C错误； 对于D，由题意得， 则等价于，则有，即，故D正确． 故选：ABD. 11. 如图，点A，B，C是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 若将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】令求得根据求得，根据求得的解析式，再逐项验证BCD选项. 【详解】令得，或，， 由图可知：，，， 所以，， 所以，所以，故A选项正确， 所以，由且处在减区间，得， 所以，， 所以，， 所以， ，故B错误. 当时，， 因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确； 将函数的图象沿轴向右平移个单位得， 为偶函数得，， 所以，，则的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】结合诱导公式，二倍角公式计算即可. 【详解】， 故答案为：. 13. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数定义域，正切函数图象性质求解即可. 【详解】由题意，即， 由正切函数图像性质可得， 则定义域为， 故答案为：. 14. 已知函数，其中，若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设 ，画出函数图像得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案. 【详解】设 ，如图所示，画出函数图像，有三个不同的实数解，需满足 即 设， 当，满足： 解得： 当，解得，此时 ，满足 综上所述： 故答案为 【点睛】本题考查了函数的零点问题，漏解是容易发生的错误，根据图像得到根的大小关系是解题的关键. 四、计算题：共77分. 15. 已知，，向量与的夹角为． （1）求：； （2）若，求实数的值． 【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据平面向量数量积的定义和模长公式，计算即可；（2）根据两向量垂直，数量积为，列出方程可求出的值. 试题解析：（1）， 又， ∴ （2）∵，∴ ， 即 ， 即，得 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 【答案】（1），； （2）和； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期公式求解，利用解出的值为中心对称点的横坐标，纵坐标为，从而得到的中心对称点； （2）根据正弦函数的递增区间，利用整体法直接求解即可； （3）根据，求出的范围，结合正弦函数的图像求出的最大值和最小值，从而得到的值域. 【小问1详解】 ，，的最小正周期为； ，解得， 则的中心对称点为； 【小问2详解】 ，， 当时，即时，是单调递增函数； 当时，即时，是单调递增函数； 故的单调递增区间为和； 【小问3详解】 ，， 当时，即时，取最小值为， 则取最小值为； 当时，即时，取最大值为， 则取最大值为； 故，即当时，的值域为. 17. 函数（且）是定义在上的奇函数． （1）求的值，判断的单调性，并证明； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）由题意，得，解得， 当时，， 则， 所以函数为奇函数，符合题意，故， 函数为上的增函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，即，又， 所以，即， 所以函数为上的增函数； （2） 【解析】 【分析】（1）利用求出，再利用单调性定义证明函数为上增函数即可； （2）转化为在上恒成立，令，则，求出的最大值可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得在上单调递增， 所以当时，， 所以对任意恒成立，等价于 在上恒成立， 当时，令，则， 易知在上单调递增， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 18. 某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座“三线桥”连接三块陆地，如图1所示，点A、B是固定的，点C在右边河岸上.把右边河岸近似地看成直线l，如图2所示，经测量直线AB与直线l平行，A、B两点距离及点A、B到直线l的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观，某同学给出了以下设计方案，MA、MB、MC三条线在点M处相交，，，设. （1）若时，求MC的长； （2）①若变化时，求桥面长（的值）的最小值； ②你能给出更优的方案，使桥面长更小吗？如果能，给出你的设计方案，并说明理由. 【答案】（1）米 （2）①时，取得最小值为米； ②当点是中垂线上，且时，桥面长更小， 证明：记，则，， 记， 因为，而， 当且仅当时等号成立，此时由最小值. 【解析】 【分析】（1）首先求直角三角形中斜边的高，即可求解的值； （2）①首先利用三角函数表示，再根据三角函数关系式，利用换元法，即可求解；②当点是中垂线上，且结合图形，设时，利用角的三角函数表示，再利用三角恒等变换，结合基本不等式，计算最小值. 【小问1详解】 中，，，， 则，，点到的距离为， 所以米； 【小问2详解】 ①中，，， 设点到的距离为， 则，则， 则， 所以， 设，， ，， 所以， 所以， 当时，即时，取得最小值为米. ②略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角函数表示长度，再结合三角运算和性质，求解最值. 19. 已知 （1）证明：为定值； （2）函数在上只有一个零点，求的取值范围； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由． 【答案】（1） 因为，所以， 所以，即为定值； （2）或； （3） 方法一：依题意可得， 因为在上均单调递增，所以在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 因此，可得． 方法二：依题意， 因为在上均单调递增，所以在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且，即， 所以, 因为，， 所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算直接证明即可； （2），，方法一：进而将问题转化为的零点个数问题，再结合二次函数零点分布分类讨论求解即可；方法二：分离参数，转化为函数图象交点个数问题，再研究性质，数形结合求解； （3）方法一：由题知，且为增函数，进而根据，得有唯一的正零点，,，,再作差法比较得，最后根据比较大小即可，方法二：同方法一得有唯一的正零点，,，进而比较与的大小即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，设，由得， 设，则在有且只有一个零点， ①时，不满足题意. ②解得， ③解得无解， ④时，即，此时，满足题意， ⑤时，， 检验，当时，，满足题意． 当时，，不满足题意． 综上所述：的取值范围为或. 方法二：，设， 设，令. 由对勾函数性质知，在单调递减，上单调递增 函数在单调递增，上单调递减. 当时，， 故的图象如图所示， 由图象可知的取值范围为或． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2028届高一年级上学期期末考试 数学试题卷 命题人：李刘祥 苏孟琪 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知某放射性同位素的含量与时间的关系式为，其中为初始含量.则当该放射性同位素的含量为时，的值约为（ ） 附：. A. 33 B. 45 C. 67 D. 78 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 12 6. 已知，，则（ ） A. B. C. 5 D. -5 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错或不选的得0分. 9. 设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（ ） A. ab的最大值为 B. a2＋4b2的最小值为 C. 的最小值为8 D. 2a＋4b的最小值为 10. 定义域为的函数满足，，且时，，则（ ） A. B. 在单调递增 C. D. 不等式的解集为 11. 如图，点A，B，C是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 若将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____ 13. 函数的定义域为_____. 14. 已知函数，其中，若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______． 四、计算题：共77分. 15. 已知，，向量与的夹角为． （1）求：； （2）若，求实数的值． 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间； （3）当时，求的值域. 17. 函数（且）是定义在上的奇函数． （1）求的值，判断的单调性，并证明； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座“三线桥”连接三块陆地，如图1所示，点A、B是固定的，点C在右边河岸上.把右边河岸近似地看成直线l，如图2所示，经测量直线AB与直线l平行，A、B两点距离及点A、B到直线l的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观，某同学给出了以下设计方案，MA、MB、MC三条线在点M处相交，，，设. （1）若时，求MC的长； （2）①若变化时，求桥面长（的值）的最小值； ②你能给出更优的方案，使桥面长更小吗？如果能，给出你的设计方案，并说明理由. 19. 已知 （1）证明：为定值； （2）函数在上只有一个零点，求的取值范围； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $