精品解析：广西钦州市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

广西钦州市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第七章，必修第二册第五章，选择性必修第一册第一章～第三章． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以，得到， 所以． 故选：B. 2. 已知空间向量与共线，则（ ） A. 0 B. 6 C. -4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线坐标表示列方程求解的值，即可得的值. 【详解】因为空间向量与共线，显然， 所以，解得，，所以. 故选:A. 3. 已知点，且直线MN与直线平行，则（ ） A. B. C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】求得直线MN的斜率，结合题意可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 又直线MN与直线平行，所以，解得. 故选：B. 4. 若双曲线的焦距为20，且过点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距为20，可求得，由过点，列方程组可求得，进而可得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的焦距为20，即，解得. 又双曲线过点，所以，解得，即， 所以渐近线方程为. 故选：C. 5. 已知椭圆，点，若直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ） A. B. 12 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的方程可得其左、右焦点的坐标，又已知直线过右焦点，根据椭圆的定义可得焦点三角形的周长. 【详解】因为椭圆的方程为， 所以，所以， 所以其左、右焦点的坐标分别为，即为左焦点. 由直线的方程可知，该直线过定点，即过右焦点， 记为点，如图. 所以的周长为, 由椭圆的定义可知， 所以的周长为. 故选：C. 6. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】, 故向量在向量上的投影向量为， 故选：D 7. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗．已知该碗高10cm，口径18cm，底径8cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求出参数值. 【详解】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm）， 则，，于是，解得， 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：A 8. 若，则函数有零点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据和，列举符合条件的取值，即可根据古典概型的概率公式求解. 【详解】由于，故所有的取值的方法共有：种 当，时：必有零点，所以有3种取法； 当时，函数为二次函数，若有零点则需：，即， 此时取值组成的数对分别为：共3种， 综上符合条件的概率为：， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线，下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过点 C. 直线与直线垂直 D. 直线在轴上的截距为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与坐标轴的交点，即可判断BD，根据斜率即可判断A,根据两直线的斜率关系，结合垂直的性质即可求解C. 【详解】对于直线， 直线过，所以BD说法正确， 直线的斜率为，倾斜角为，A说法错误. 直线的斜率为，由于，故两直线不垂直，C说法错误. 故选：AC 10. 已知双曲线，左、右焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 虚轴长为4 C. 直线与双曲线左、右两支的交点分别为，则 D. 若点在双曲线的右支上，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得双曲线的离心率与虚轴长判断AB；利用双曲线的对称性计算判断C，利用双曲线的性质和余弦定理求得，进而求得面积判断D. 【详解】由双曲线，得，所以， 所以双曲线的离心率为，虚轴长为，故A正确，B错误； 因为直线与双曲线左、右两支的交点分别为， 所以由双曲线关于轴对称，可得， 又在双曲线的右支上，所以， 所以，故C正确； 因为点在双曲线的右支上，所以，又， 由余弦定理可得， 所以，即，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知随机事件满足，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 故, 则， 故答案为： 12. 已知直线与圆交于A、B两点，当时，直线的一般式方程为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离即可求解斜率，进而化成一般式即可求解. 【详解】的圆心,半径， 则圆心到直线的距离为， 由于， 故，即，结合， 解得， 故直线方程为，即， 故答案为： 13. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为．若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以原点为圆心，为半径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，再结合双曲线定义，求得，结合△为直角三角形，利用勾股定理，即可求解. 【详解】设中点为，连接，作图如下所示： 在△中，因为分别为的中点，故，且； 由题可知，，且，故，且； 根据双曲线定义可知，，又， 故在△中，由勾股定理，即，结合，故， 整理得，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 14. 已知圆，直线． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）求过点的圆的切线方程． 【答案】（1）相离 （2）和. 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆相离. 【小问2详解】 若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 15. 甲、乙两人投篮命中的概率分别是和．假设两人是否投中，相互之间没有影响；每次是否投中，也没有影响． （1）若甲连续投篮2次，求甲至少投中1次的概率； （2）若甲、乙两人各投篮2次，求甲投中的次数比乙投中的次数恰好多1的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用甲至少投中次的对立事件，即可求出概率； （2）分析甲比乙恰好多次命中的两种可能情况：甲命中次且乙次，或甲命中次且乙次，各自用独立事件的概率乘法求出后相加. 【小问1详解】 甲连续投篮次，“至少投中次”的对立事件是“两次均未投中”， 甲投不中的概率为，连续两次未投中的概率为， 故至少投中次的概率为. 【小问2详解】 甲投中的次数比乙投中的次数恰好多包含两种互斥情况， 第一种：甲投中次，乙两次未投中， 甲投中次可能为第一次命中或第二次投中，故其概率为， 乙两次未投中的概率为， 此时甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率； 第二种：甲投中次，乙投中次， 甲连续投中次的概率为， 乙投中次的概率为， 此时甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率； 甲乙相互独立，故甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率为. 16. 已知椭圆过点且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于A，B两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆过点且离心率为列方程求解即可； （2）设出直线的方程及，联立方程根据根与系数的关系可得到的表达式，列方程即可直线方程中的参数. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，即， 所以，所以. 因为椭圆过点，所以， 将代入得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，所以椭圆的右焦点为， 设直线的方程为，，如图， 所以， 由消去得， 所以， 所以， 解得，所以直线的方程为，即. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，点在线段PD上且满足，点在线段PA上且满足． （1）证明：； （2）若存在，使直线BE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可. （2）建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列方程即可得解. 【小问1详解】 ∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， 平面，故 【小问2详解】 以为原点，以，所在直线分别为轴，轴， 以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，，∴， 于是，，，， 设，则，， 由可得， ∴，，，， 设平面的一个法向量为， 于是，所以， 令，得，，故可取， 因， ， 由于直线BE与平面PAC所成角的正弦值为， ∴，解得或（舍去）, 故 18. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （i）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数． 【答案】（1） （2） （i）当时，，切线斜率存在，设处的切线方程为， 由消去得. 因为切线与抛物线只有一个交点，且， 所以，即，① 因为在抛物线上，所以，即，代入①得 ，整理得，所以， 所以切线方程为，即， 将代入得，即； 当时，，即为原点，由图知切线方程为，满足. 综上，抛物线上点处的切线方程为. （ii）如图，连接，设， 由（i）知两条切线的方程分别为， 又两条切线的交点为，即的坐标均满足两条切线方程， 所以，所以的坐标均满足方程，即直线的方程为. 由消去得，所以， 由（i）知两条切线的斜率分别为， 所以，即直线的斜率之积为常数． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的方程可知其准线方程，利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离，列方程可求得.（2）（i）分讨论，时根据点斜式设出切线方程，联立切线方程与抛物线方程得到一个一元二次方程，令判别式等于0可得到一个关于切线斜率的方程，求出斜率从而可得切线方程，说明时的切线方程也满足所求切线方程即可；（ii）设，由切线方程可得到的方程，联立的方程与抛物线的方程，可得，进而可得直线的斜率之积. 【小问1详解】 由抛物线的方程可知其准线方程为， 如图，过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义得， 即，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西钦州市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第七章，必修第二册第五章，选择性必修第一册第一章～第三章． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. i D. 2. 已知空间向量与共线，则（ ） A. 0 B. 6 C. -4 D. 4 3. 已知点，且直线MN与直线平行，则（ ） A. B. C. 2 D. -2 4. 若双曲线的焦距为20，且过点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆，点，若直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ） A. B. 12 C. D. 8 6. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗．已知该碗高10cm，口径18cm，底径8cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则函数有零点的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线，下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过点 C. 直线与直线垂直 D. 直线在轴上的截距为 10. 已知双曲线，左、右焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 虚轴长为4 C. 直线与双曲线左、右两支的交点分别为，则 D. 若点在双曲线的右支上，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知随机事件满足，则____________． 12. 已知直线与圆交于A、B两点，当时，直线的一般式方程为__________________． 13. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为．若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以原点为圆心，为半径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为_________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 14. 已知圆，直线． （1）判断直线与圆的位置关系； （2）求过点的圆的切线方程． 15. 甲、乙两人投篮命中的概率分别是和．假设两人是否投中，相互之间没有影响；每次是否投中，也没有影响． （1）若甲连续投篮2次，求甲至少投中1次的概率； （2）若甲、乙两人各投篮2次，求甲投中的次数比乙投中的次数恰好多1的概率． 16. 已知椭圆过点且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于A，B两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，点在线段PD上且满足，点在线段PA上且满足． （1）证明：； （2）若存在，使直线BE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值． 18. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （i）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $