精品解析：广西钦州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

钦州市2024年秋季学期高二年级期末教学质量监测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第7章，必修第二册第5章，选择性必修第一册第1章至第3章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先由复数的运算求得，则答案可得. 【详解】因为，所以， 其在复平面内所对应的点位于第四象限. 故选：D. 2. 已知直线经过点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 故选：C 3. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则该题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解. 【详解】因为该题未被攻克的概率为，所以该题被攻克的概率为. 故选：B 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的标准方程即可得到焦点坐标. 【详解】由得，，故抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 5. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点到渐近线的距离公式即可求解. 【详解】设双曲线的焦距为，焦点为因为双曲线的渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为. 因为，所以，，所以双曲线的离心率为. 故选：C. 6. 掷两枚质地均匀正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念可判断A、B，根据独立事件的概率可判断C，由包含的基本事件可判断D. 【详解】因为事件可以同时发生，所以与不是互斥事件，不是对立事件. 因为事件包含的基本事件不一样，所以事件不相等. 因为，，所以. 故选：C 7. 已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（ ） A 7 B. 9 C. 25 D. 49 【答案】D 【解析】 【分析】由复数模的几何意义可知的几何意义为在复平面内所对应的点,到点的距离为2，再结合圆的知识可解. 【详解】设， 因为的几何意义为在复平面内所对应的点,到点的距离为2， 所以所对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以. 故选：D. 8. 在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可. 【详解】在中，，则，即， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，于是， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 于是，得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为31i B. C. 为纯虚数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，即可结合选项逐一求解. 【详解】因为，所以的虚部为，故A错误，B正确； 因为为纯虚数，所以C正确；因为虚数不能比较大小，所以D错误. 故选：BC 10. 已知圆，点是直线上的点，则（ ） A. 圆上有两个点到直线的距离为2 B. 圆上只有一个点到直线的距离为2 C. 从点向圆引切线，切线长的最小值为 D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离和半径关系可判断A，B；由切线长计算公式可判断C，D； 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以A不正确，B正确. 从点向圆引一条切线，设切点为，连接， 则，则， 当时， 取得最小值，此时取得最小值， 即，故C正确，D不正确. 故选：BC 11. 在长方体中，，，为的中点，动点在长方体内（含表面），且满足，记动点的轨迹为，则（ ） A. 的面积为 B. 的面积为 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中点以及线线平行可得的轨迹为四边形，即可利用梯形面积求解AB，建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解C，利用线面平行，结合体积公式即可求解D. 【详解】取的中点，连接则， 所以四点共面.因为， 所以四点共面，故点的轨迹为四边形，所以的面积即为梯形的面积. 因为，，，所以，故A正确，B错误. 对于C，如图，建立空间直角坐标系，则，， ，，，. 因为，所以，所以. 因为，所以， 得，所以存在点，使得，故C正确. 对于D，当时，，因为平面，故点到平面的距离为定值2，又三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以D正确. 故选:ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的弦长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆的性质，结合点到直线距离公式、勾股定理求解即可. 【详解】由， 可得：，即圆心，， 圆心到直线l的距离为：， 所以弦长为 故答案为：2 13. 已知事件与互斥，且，，则______. 【答案】0.5## 【解析】 【分析】运用互斥事件概率加法公式计算即可. 【详解】因为与互斥，所以. 故答案：0.5. 14. 在正四面体中，，则______（用，，表示）．若，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，化简得到 ，再根据向量的模的计算，结合向量数量积的定义与向量数量积的运算律即可求出答案. 【详解】 ， ， ， 且正四面体为正四面体， 所以，且之间的夹角都是， 则， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校举办了一场趣味知识竞赛，将100名参赛学生的成绩（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中m的值，并估计这100名参赛学生的成绩的中位数； （2）若从竞赛成绩在[80，90），[90，100]内的两组学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中任意抽取2人代表学校参加竞赛，求抽取的2人中至少有1人的成绩在[90，100]内的概率. 【答案】（1），68 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图长方形面积和为1确定m，进而求出中位数即可；（2）根据古典概型求解基本事件总数与所求事件总数即可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得. 设所求中位数的估计值为，则， 解得，即这100名参赛学生的成绩的中位数约为68. 【小问2详解】 由题意知，成绩在内的共有12人，在内的共有4人， 所以用分层抽样的方法抽取的8人中，成绩在内的有6人， 分别记为1，2，3，4，5，6，成绩在内的有2人，分别记为A，B. 从8人中抽取2人包含12，13，14，15，16，1A，1B，23，24，25，26，2A，2B， 34，35，36，3A，3B，45，46，4A，4B，56，5A，5B，6A，6B，AB，共28个基本事件， 而抽取的2人中至少有1人的成绩在内含有13个基本事件， 所以抽取的2人中至少有1人的成绩在内的概率为. 16. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，带入A、B点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线l的方程. 【小问1详解】 设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 17. 如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面垂直，在直角梯形中，，，. （1）判断与是否垂直，并说明理由； （2）求直线CN与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）不垂直，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，线的方向向量坐标和面的法向量坐标，结合向量垂直判定和向量夹角余弦值公式计算即可. 【小问1详解】 解：由题意知两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为x，y， 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设， 则. 因为， 所以，故直线与不垂直. 【小问2详解】 设平面的法向量为，因为， 所以令，得. 设直线CN与平面所成的角为，因为， 所以， 所以，故直线CN与平面所成角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，. （1）证朋：平面平面 （2）若平面与平面的夹角为，求的长度. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面； （2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，由平面PBC与平面的夹角为可得a值，则长度可求. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解：取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，所以平面. 以为坐标原点，的方向分别为x，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，平面PBC的法向量为， 因为， 所以令，得. 平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以， 所以，故. 19. 已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知，可得，，则，，即可求得椭圆的标准方程，再求出，可求得离心率； （2）设直线的方程为，，，联立直线方程与椭圆方程，由利用韦达定理得，得，化简可得，可得为定值. 【小问1详解】 因为直线经过椭圆的右顶点和上顶点， 当时，，当时，，则，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为． 因为，所以椭圆的离心率为． 【小问2详解】 由（1）知直线的斜率为， 设直线的方程为，，， 联立方程组，消去得，则． 因，，所以， 因为， 且，所以， 所以，即为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 钦州市2024年秋季学期高二年级期末教学质量监测 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第7章，必修第二册第5章，选择性必修第一册第1章至第3章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知直线经过点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则该题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 7. 已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（ ） A. 7 B. 9 C. 25 D. 49 8. 在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为31i B. C. 为纯虚数 D. 10. 已知圆，点是直线上点，则（ ） A. 圆上有两个点到直线的距离为2 B. 圆上只有一个点到直线的距离为2 C. 从点向圆引切线，切线长的最小值为 D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 11. 在长方体中，，，为的中点，动点在长方体内（含表面），且满足，记动点的轨迹为，则（ ） A. 面积为 B. 的面积为 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的弦长为______． 13. 已知事件与互斥，且，，则______. 14. 在正四面体中，，则______（用，，表示）．若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校举办了一场趣味知识竞赛，将100名参赛学生的成绩（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中m的值，并估计这100名参赛学生的成绩的中位数； （2）若从竞赛成绩在[80，90），[90，100]内两组学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中任意抽取2人代表学校参加竞赛，求抽取的2人中至少有1人的成绩在[90，100]内的概率. 16. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 17. 如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面垂直，在直角梯形中，，，. （1）判断与是否垂直，并说明理由； （2）求直线CN与平面所成角余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面直角梯形，，，平面平面，，，. （1）证朋：平面平面. （2）若平面与平面的夹角为，求的长度. 19. 已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$