1.3.1 第2课时 等比数列的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

第2课时　等比数列的性质 课程标准 素养解读 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来． 2．理解等比数列的性质及应用． 3．掌握等比数列与等差数列的综合应用. 1.在运用等比数列性质解题过程中提升数学运算的核心素养． 2. 通过等比数列与等差数列的综合应用提升逻辑推理和数学运算的学科素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [知识梳理] [知识点一]　等比数列的增减性　 对于等比数列{an}，通项公式an＝a1qn－1＝ ·qn.根据指数函数的增减性，可分析当q＞0时等比数列{an}的增减性如下表. a1 a1＞0 a1＜0 q的范围 0＜q＜1 q＝1 q＞1 0＜q＜1 q＝1 q＞1 数列{an} 的增减性 　递减　 　数列　 常 数列 　递增　 　数列　 　递增　 　数列　 常数列 　递减　 　数列　 1.若等比数列{an}中，a1＝，q＝，则数列{an}的单调性如何？ [提示]　递减数列． 2．等比数列{an}中，若公比q＜0，则数列{an}的单调性如何？ [提示]　数列{an}不具有单调性，是摆动数列． [知识点二]　等比中项　 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么G2＝　ab　，即G＝± .我们称G为a，b的等比中项． 3.(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？ (2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？ [提示]　(1)不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项. (2)不唯一，如2和8的等比中项是4或－4. [知识点三]　等比数列的性质　 1．通项公式的推广 an＝am·qn－m(m，n∈N＋)． 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am·an＝a. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 3．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}， 也为等比数列． 4．等比、等差数列的两个性质 ①已知b>0，且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列{ban}是等比数列． ②如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是等差数列． 4.等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列； (3)是等比数列； (4){a2n}是等比数列． [提示]　由定义可判断出(1)(3)(4)正确． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(　　) (2)当q＞1时，{an}为递增数列．(　　) (3)当q＝1时，{an}为常数列．(　　) (4)若G是a，b的等比中项，则G2＝ab.反之也成立．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4) × 2．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D．(－∞，0) 解析：C　[∵a2a6＝a＝a3a5，且a2a6＋a＝π，∴2a3a5＝π，∴a3a5＝.] 3．等比数列{an}中，若a1＝2，且{an}是递增数列，则数列{an}的公比q的取值范围是(　　) A．(0, ＋∞) B．(0,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，0) 解析：C　[因为a1＝2＞0，要使{an}是递增数列，则需公比q＞1.] 4．7＋3 与7－3 的等比中项是　________　. 解析：由题意知7＋3 与7－3 的等比中项为± ＝± ＝±2. 答案：2或－2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　等比数列的单调性 [例1]　(1)在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数列{an}递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　当a1<a2<a3时，设公比为q，由a1<a1q<a1q2得若a1>0，则1<q<q2，即q>1，此时，显然数列{an}是递增数列，若a1<0，则1>q>q2，即0<q<1，此时，数列{an}也是递增数列，反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1<a2<a3.故“a1<a2<a3”是“等比数列{an}递增”的充要条件．故选：C. [答案]　C (2)关于递增等比数列{an}，下列说法正确　的是(　　) A．a1＞0　　　　　　 B．q＞1 C.＜1 D．当a1＞0时，q＞1 [解析]　由题意，设数列{an}的公比为q，因为an＝a1qn－1，得an＋1－an＝a1qn－1(q－1)＞0，当a1＞0时，q＞1，此时0＜＜1，当a1＜0时，0＜q＜1，＞1，故不正确的是ABC. [答案]　D 等比数列单调性的判定方法：或⇔{an}递增；或⇔{an}递减；q＝1⇔{an}为常数列；q＜0⇔{an}为摆动数列． [变式训练] 1．在等比数列{an}中，a1＝，当n≥11时，an＞1恒成立，则公比q的取值范围是　________　. [解析]　在等比数列{an}中，a1＝，所以a11＝ q10＞1，q10＞32，q＞， 当n≥11时，an＋1－an＝an(q－1)＞0，数列递增，所以当n≥11时，an＞1恒成立．故答案为：q＞. [答案]　q＞ 等比中项及其应用 [例2]　(1)设x,2x＋2,3x＋3成等比数列，则x＝　________　. (2)设a，b，c是实数，若a，b，c成等比数列，且 ， ， 成等差数列，则 ＋ 的值为　________　. 解析：(1)由题意得(2x＋2)2＝x(3x＋3)， 即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4. 当x＝－1时，2x＋2＝0，不符合题意，舍去，所以x＝－4. (2)由a，b，c成等比数列，，，成等差数列， 得即＝2 ，故(a－c)2＝0，即a＝c.所以＋＝1＋1＝2. 答案：(1)－4　(2)2 应用等比中项解题的两个注意点 (1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零． (2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会简化运算过程. [变式训练] 2．(1)已知1既是a2与b2的等比中项，又是 与 的等差中项，则 的值是(　　) A．1或 B．1或－ C．1或 D．1或－ (2)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝　________　. 解析：(1)由题意得a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，所以或因此的值为1或－ . (2)由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5， 所以a1＝4，a2＝6.所以q＝＝ ＝ .所以an＝4× n－1 . 答案：(1)D　(2)4× n－1 等比、等差数列的简单综合 [例3]　数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列． [解]　设前三项的公比为q ，后三项的公差为d，则数列的各项依次为， ,80,80＋d, 80＋2d，于是得解方程组，得或 所以这个数列是20,40,80,96,112，或180,120,80,16，－48. 等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设为，，aq，aq3. [变式训练] 3．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解：方法一：设这四个数依次为a－d，a，a＋d，， 于是得解方程组，得或 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二：设这四个数依次为－a，，a，aq, 于是得 解方程组，得或 所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 等比数列的性质及应用 [例4]　 (1)在等比数列{an}中，an>0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝　________　. [解析]　a3a5＝a＝4，又an>0，所以a4＝2，a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝a·a·a·a4＝a＝27＝128. [答案]　128 (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝　________　. [解析]　在等比数列{an}中，由a4a7＝－512，得a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝－128，a8＝4.因为公比q为整数，所以q＝＝－ ＝－2， 故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1. [答案]　－(－2)n－1 [母题变式] 1．将本例(2)中等比数列满足的条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10. [解]　因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4. 当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－ ，a1＋a10＝＋a7q3＝－7； 当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7.综上a1＋a10＝－7. 2．将本例(2)中的条件不变，求log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|. [解]　因为a4a7＝－512，所以a2a9＝a3a8＝－512， 故log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|＝log4(|a2a9|·|a3a8|)＝log45122＝log229＝9. 等比数列的运算常用两条思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他． (2)利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m、n、k、l、s∈N＋)⇔am·an＝ak·al＝a. [变式训练] 4．(1)等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为(　　) A．32　　　　　　 B．64 C．128 D．256 解析：B　[由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且＝2＝q6，故a36＝a18·q18＝8×23＝64.] (2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　) A．4 B．6 C．7 D．5 解析：D　[∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10，又{an}各项均为正数，∴a4a5a6＝5.] [当堂达标] 1．(多选)已知数列{an}是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是(　　) A．{|an|} B．{an－an＋1} C. D．{kan} 解析：AC　[当数列{an}为1,1,1,1，…时，数列{an－an＋1}不是等比数列；当k＝0时，数列{kan}不是等比数列，而{|an|}和一定是等比数列．] 2．等比数列{an}的公比q＝－ ，a1＝ ，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：D　[因为a1＝＞0，公比q＝－ <0，所以数列{an}是摆动数列．] 3．数列{an}为等比数列，它的前三项为m－1，m＋1,2m＋2，则m＝　________　. 解析：由题意知(m＋1)2＝(m－1)(2m＋2)，解得m＝3. 答案：3 4．已知数列{an}为等比数列． (1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an； (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q. 解：　(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36. 又∵a1＋a3＝21－a2＝15， ∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根． 解之得x1＝3，x2＝12， 当a1＝3时，q＝＝2，an＝3×2n－1； 当a1＝12时，q＝，an＝12×n－1. (2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72， ∴q4＝4，∴q＝±. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知等比数列{an}中，a2＝－4，a5＝，则公比q＝(　　) A．－2　　　　　　　 B．－ C. D．2 解析：B　[∵a5＝a2q3，即＝－4q3，解得q＝－.故选B.] 2．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　) A．8　　 B．9　　　C．10　　　D．11 解析：C　[由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴1＋m＝5＋6，∴m＝10.] 3．在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7·b8＝3，则log3b1＋log3b2＋…＋log3b14等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：C　[log3b1＋log3b2＋…＋log3b14＝log3(b1b2…b14)＝log3(b7b8)7＝7log33＝7.] 4．(多选)设{an}是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确命题的有(　　) A.是公比为的等比数列 B．{a2n}是公比为4的等比数列 C．{2an}是公比为4的等比数列 D．{anan＋1}是公比为2的等比数列 解析：AB　[由于数列{an}是公比为2的等比数列，则对任意的n∈N＋，an≠0，且公比为q＝＝2.对于A，＝＝＝，即数列是公比为的等比数列，正确；对于B，＝q2＝4，即数列{a2n}是公比为4的等比数列，正确；对于C，＝q＝2，即数列{2an}是公比为2的等比数列，错误；对于D，＝＝q2＝4，即数列{anan＋1}是公比为4的等比数列，错误．故选：AB.] 5．在等比数列{an}中，“a1＞a2＞a3”是“数列{an}递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[当a1＞a2＞a3时，设公比为q，由a1＞a1q＞a1q2得 若a1>0，则1＞q＞q2，即0＜q＜1，此时，显然数列{an}是递减数列， 若a1<0，则1＜q＜q2，即q＞1，此时，数列{an}也是递减数列， 反之，当数列{an}是递减数列时，显然a1＞a2＞a3. 故“a1＞a2＞a3”是“等比数列{an}递减”的充要条件．故选：C.] 6．在各项均为正数的等比数列{an}中，a6＝3，则a4＋a8＝(　　) A．有最小值6　　　　 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3 解析：A　[设等比数列{an}的公比为q(q＞0)．因为a6＝3，所以a4＝＝，a8＝a6q2＝3q2.所以a4＋a8＝＋3q2≥2＝6.当且仅当q＝1时上式等号成立．] 7．设x，y，z是实数，9x,12y,15z成等比数列，且 ， ， 成等差数列，则 ＋ 的值是　________　. 解析：由题意可得所以y＝. 所以2 ＝135xz.化简得15x2＋15z2＝34xz，两边同时除以15xz可得＋＝ . 答案： 8．已知{an}为等比数列． (1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25， ∵an＞0，∴a3＋a5＞0.∴a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95. ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. [能力提升练] 9．等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则使a1a2…an最大的n为(　　) A. B．3 C．3或4 D．4 解析：C　[由题意，设等比数列{an}的公比为q，则a2＋a4＝(a1＋a3)q，∴q＝， 代入a1＋a3＝10，可得a1＋＝10，∴a1＝8，故an＝a1qn－1＝8×n－1＝24－n， 则a1a2…an＝23×22×…×24－n＝23＋2＋…＋(4－n)＝2＝2， 由于y＝2t为增函数，t＝为开口向下的二次函数，对称轴为n＝3.5， 又n∈N＋，故当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值．故选：C.] 10．(多选)已知等比数列{an}的公比为q(q≠－1)，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N＋)，则以下结论中错误的是(　　) A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为q2m D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm 解析：ABD　[bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm－1)，由q≠－1易知bn≠0，＝＝qm，故数列{bn}为等比数列，公比为qm，A，B均错误；cn＝a·q1＋2＋…＋(m－1)，＝＝m ＝(qm)m＝qm2，故数列{cn}为等比数列，公比为qm2，D错误．] 11．已知数列{an}中，a1＝2，an＋m＝an·am(n，m∈N＋)，若ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＝480，则k＝　________　 . A．3 B．4 C．5 D．6 解析：B　[因为数列{an}中，a1＝2，an＋m＝an·am(n，m∈N＋)，所以取m＝1，则an＋1＝an·a1＝2an，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n，又ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＝480，即2k＋1＋2k＋2＋2k＋3＋2k＋4＝480，即30×2k＝480，解得k＝4.] 12．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数． 解：(1)设数列{an}的公差为d，所以，，即可解得b1＝a1＝，所以原命题得证． (2)由(1)知，b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k－1＝2m，即m＝2k－2∈[1,500]，解得2≤k≤10，所以满足等式的解k＝2,3,4，…，10，故集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9. [素养培优练] 13．已知数列{an}，{bn}均为等比数列，则下列结论中一定正确的有(　　) A．数列{anbn}是等比数列 B．数列{an＋bn}是等比数列 C．数列是等差数列 D．数列{lg(ab)}是等差数列 解析：ACD　[设数列{an}的公比为q1，数列{bn}的公比为q2，所以an＝a1q，bn＝b1q. 对于A，anbn＝a1b1qq＝a1b1(q1q2)n－1，从而数列{anbn}的公比为q1q2，故A正确．对于B，an＋bn＝a1q＋b1q，q1与q2不一定相等，所以数列{an＋bn}不是等比数列，故B错误．对于C，lg＝lg＝lg＋(n－1)lg，从而数列的公差为lg.故C正确． 对于D，lg(ab)＝2lg|anbn|＝2 lg|a1b1|＋2(n－1)lg|q1q2|，从而数列{lg(ab)}的公差为2 lg|q1q2|，D正确．] 14．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an(n∈N＋)．设bn＝，(n∈N＋)，且数列是递增数列，则实数λ的取值范围是　________　. 解析：由an＋1＝an(n∈N＋)可得，数列{an}是首项和公比均为的等比数列，所以an＝，则bn＝＝(n－2λ)2n，又因为{bn}是递增数列，所以bn＋1－bn＝(n＋1－2λ)2n＋1－(2－2λ)2n＝(n＋2－2λ)2n＞0恒成立， 即n＋2－2λ＞0恒成立，所以2λ＜(n＋2)min＝3，所以λ＜. 答案：λ＜ 学科网（北京）股份有限公司 $