1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

§3　等比数列 3．1　等比数列 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 课程标准 素养解读 1.理解等比数列的定义． 2．掌握等比数列的通项公式及其应用． 3．熟练掌握等比数列的判定方法. 在学习等比数列的定义和通项公式的过程中，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列： 9,92,93，…，910　　　　　① 100,1002,1003，…，10010 ② 5,52,53，…，510 ③ 2．《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 ，，，，，… ④ 3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64，… ⑤ 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ [知识梳理] [知识点一]　等比数列的概念　 如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前　一项的　比值　都是　同一个　常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的　公比　，通常用字母q表示(q≠0)． 1.能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示]　不能 [知识点二]　等比数列的通项公式　 1．等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝　a1qn－1　(a1≠0，q≠0)． 2．用函数的观点看等比数列的通项 等比数列{an}的图像是函数y＝ ·qx的图像上的一群　孤立的点　. 2.若数列{an}的通项公式为an＝2n，那么{an}是等比数列吗？ [提示]　因为＝＝2，所以数列{an}是等比数列． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选)下列说法中，错误的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列 解析：AB　[根据等比数列的定义可知，A，B错误，C，D正确．] 3．已知数列{an}为等比数列，若a1＝3，a5＝12，则公比q＝(　　) A. B．± C. D．± 解析：D　[由{an}为等比数列得a5＝a1q4＝12，∴3×q4＝12.∴q＝± .] 4．等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的通项公式为　________　. 解析：数列{an}的通项公式为an＝2×5n－1. 答案：an＝2×5n－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 等比数列的概念 [例1]　判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,32,33，…，3n－1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…. [解]　(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵＝ ＝3(n≥2，n∈N＋)，∴该数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0,0,0，…，是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 判定等比数列，要抓住三个要点 (1)从第2项起． (2)要判定每一项，不能有例外． (3)每一项与它的前一项的比值是同一个常数，且不能为0. [变式训练] 1．(多选)下列各组数中，成等比数列的是(　　) A．1，－2,4，－8　　　 B．－ ,2，－2 ,4 C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4 解析：ABD　[A，B显然是等比数列；因为x可能为0，所以C不是等比数列；a不能为0，D符合等比数列的定义，故D是等比数列．] 等比数列的通项公式及应用 [例2]　在等比数列{an}中． (1)已知a1＝4，q＝－2，求a5； (2)已知a2＝10，a5＝80，求an. [解]　(1)由等比数列的通项公式得，a5＝4×(－2)5－1＝64. (2)设等比数列的公比为q，那么解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [变式训练] 2．在等比数列{an}中， (1)已知a2＝4，a5＝－ ，求an； (2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝ ，求n. 解：(1)方法一　设等比数列的公比为q，则 解得 ∴an＝a1qn－1＝(－8)×n－1＝n－4. 方法二　设等比数列的公比为q，则 ＝q3， 即q3＝－ ，q＝－ .∴an＝a5qn－5＝×n－5＝n－4. (2)方法一　设等比数列的公比为q，则 解得 从而a1＝ ＝128.所以an＝128×n－1， 由a1qn－1＝，即()n－1＝8，得n＝9. 方法二　设等比数列{an}的公比为q. ∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝ ＝ . ∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18. ∴a4＝16，an＝a4qn－4＝16×n－4. 由16×n－4＝ ，得n－4＝5，∴n＝9. 等比数列的判断与证明 [例3]　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． [思路点拨]　①如何由求和公式得通项公式？ ②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？ [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [母题变式] 1．(变条件)将本例中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列． [证明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝an.又∵S1＝2－a1， ∴a1＝1≠0.又由an＋1＝an知an≠0， ∴＝，∴{an}是等比数列． 2．(变条件，变结论)将本例中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． [解]　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. 所以＝2(n∈N＋)， 所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1. 判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． [变式训练] 3. 在数列{an}中，若an＞0，且an＋1＝2an＋3(n∈N＋)． 证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明：∵an＞0，∴an＋3＞0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴＝ ＝＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列． 等比数列的实际应用 [例4]　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值； (2)当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少元？ [解]　(1)从第一年起，每年这辆车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)， a3＝10(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1qn－1＝10×0.9n－1.所以第n年这辆车的价值为an＝10×0.9n－1万元． (2)当他用满3年时，这辆车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元)． 当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到7.29万元． 等比数列应用题的两种常见类型 (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型． (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决． [变式训练] 4．嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是(Lg 2≈0.3，lg 3.8≈0.6)(　　) A．40 B．41 C．42 D．43 解析：C　[设对折n次时，纸的厚度为an，每次对折厚度变为原来的2倍， 由题意知{an}是以a1＝0.1×2为首项，公比为2的等比数列， 所以an＝0.1×2×2n－1＝0.1×2n，令an＝0.1×2n≥38×104×106， 即2n≥3.8×1012，所以lg 2n≥lg 3.8＋12，即n lg 2≥0.6＋12， 解得n≥＝42，所以至少对折的次数n是42，故选：C.] [当堂达标] 1．若等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，则这个数列的项数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：B　[因为 × n－1 ＝ ，所以 n－1 ＝ ＝ 3 ，所以n＝4.] 2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　) A．a≠1　　　　　 B．a≠0且a≠1 C．a≠0 D．a≠0或a≠1 解析：B　[由a1≠0，q≠0，得，1－a≠0，所以a≠0且a≠1.] 3．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　________　平方厘米． 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝a＝22×29＝211＝2 048. 答案：2 048 4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 解：依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝3－n.而＝＝－1＝2. 又b1＝3－1＝， ∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．以下数列中，是等比数列的有(　　) ①数列1,2,6,18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N＋. A．1个　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：A　[①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a＝0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列．故选：A.] 2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：D　[因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.] 3．光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，…，F 64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍．若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的(　　) A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 解析：C　[由题可得单位时间内的进光量形成公比为的等比数列{an}，则 F 4对应单位时间内的进光量为a5，F 1.4对应单位时间内的进光量为a2，从 F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的＝8倍．故选：C.] 4．设等比数列的前三项依次为 ， ， ，则它的第四项是(　　) A．1 B. C. D. 解析：A　[∵a1＝ ，a2＝ ，∴q＝ .∴a4＝a1q3＝ × ＝1.] 5．(多选)下列选项中，不是　{an}成等比数列的充要条件是(　　) A．an＋1＝an·q(q为常数) B．an＝a1qn－1(q为常数) C．a＝an·an＋2≠0 D．an＋1＝ 解析：ABD　[对于A，an＋1＝an·q，当q＝0，an＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B，an＝a1qn－1，当q＝0，a1＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C，根据等比数列定义＝可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D.an＋1＝，当an＝0，an＋1＝0，an＋2＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误．] 6．若数列{an}为等差数列，数列2an为　__________　数列；若数列{an}为等比数列，且an>0，则数列{lg an}为　________　数列． 解析：①若数列{an}为等差数列，设公差为d，则＝2an＋1＋an＝2d. ∴数列{2an}是首项是2a1，公比是2d的等比数列． ②若数列{an}为等比数列，设公比为q，则lg an＋1－lg an＝lg ＝lg q. ∴{lg an}为首项是lg a1、公差是lg q的等差数列． 答案：等比　等差 7．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　________　. 解析：设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石． ∴＋28＋28q＝98.∴q＝2或q＝ .又0<q<1，∴q＝ . 答案： 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0， 又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2， ∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列． ∴通项公式an＝－1×2n－1＝－2n－1. [能力提升练] 9．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于(　　) A．607.5 B．608 C．607 D．159 解析：C　[∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1＝5×3n－1，∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.] 10．(多选)已知数列{an}，下列选项不正确的是(　　) A．若a＝4n，n∈N＋，则{an}为等比数列 B．若anan＋2＝a，n∈N＋，则{an}为等比数列 C．若aman＝2m＋n，m，n∈N＋，则{an}为等比数列 D．若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N＋，则{an}为等比数列 解析：ABD　[对于A选项，由a＝4n知|an|＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B，D选项，满足条件的数列中可以存在零项，同样，数列{an}不一定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得＝2(n∈N＋)，故数列{an}是等比数列．故选ABD.] 11．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝　　________　. 解析：由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”，则－＝0，可得＝，所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”，则＝，所以＝2，即正项数列{bn}是公比为2的等比数列，因为b1＋b2＋b3＝1，因此b6＋b7＋b8＝25(b1＋b2＋b3)＝32. 答案：32 12．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝. (1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式； (2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 解：(1)证明　∵2an＝3an＋1，∴＝. 又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1＜0， ∴数列{an}是以为公比的等比数列． ∴an＝a1·qn－1＝a1·n－1，∴a2＝a1·2－1＝a1，a5＝a1·5－1＝a1，又∵a2·a5＝a1·a1＝，∴a＝.又∵a1＜0，∴a1＝－. ∴an＝×n－1＝－n－2(n∈N＋)． (2)令an＝－n－2＝－，则n－2＝4，n＝6∈N＋， ∴－是这个等比数列中的项，且是第6项． [素养培优练] 13．(多选)在数列{an}中，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是(　　) A．k不可能为0 B．“等差比数列”中的项不可能为0 C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列” 解析：BCD　[∵当k＝0时，根据“等差比数列”的定义，有＝0，即有an＋2－an＋1＝0，这与分母不为0矛盾，∴k≠0，故选项A正确；∵当an＝n－1时，＝＝1为常数，∴数列{an}为“等差比数列”，且a1＝0，故选项B错误；又当数列{an}为非零常数列时，数列{an}既是等差数列又是等比数列，但an＋1－an＝0，此时数列{an}不是“等差比数列”，故选项C、D错误，故选BCD.] 14．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里． (1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系； (2)判断是否为等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(lg 2＝0.301 0) 解：(1)由题意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋， 所以an＝an－1＋. (2)由(1)得an＝an－1＋，∴an－＝， 所以是等比数列． (3)由(2)有an－＝，又a1＝，所以a1－＝－， ∴an－＝－n－1，即an＝－n－1＋； an＝－n－1＋＞，即n－1＜，两边取常用对数得： (n－1)lg＜lg，所以(n－1)＞＝＝＝＝＝≈4.1，∴n＞5.1.∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%. 学科网（北京）股份有限公司 $