1.2.1 第2课时 等差数列的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

第2课时　等差数列的性质 课程标准 素养解读 1.掌握等差中项的概念及其应用． 2．掌握等差数列的项与序号的性质． 3．理解等差数列的项的对称性． 4．能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题. 1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的核心素养． 2．通过学习等差中项的概念提升数学运算的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 请同学们思考以下问题： 若等差数列{an}为1,3,5,7，…，2n－1，则数列{an＋2}，{2an}是等差数列吗？ 提示： {an＋c}，{can}也是等差数列，这是等差数列的一个性质，你还知道等差数列的其他性质吗？ [知识梳理] [知识点一]　等差数列的单调性与图像　 从函数角度研究等差数列的性质与图像 由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些　等间隔的点　，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的　斜率　，即自变量每增加1，函数值增加d. 当　d＞0　时，{an}为　递增数列　，如图(甲)所示． 当　d＜0　时，{an}为　递减数列　，如图(乙)所示． 当　d＝0　时，{an}为　常数列　，如图(丙)所示． 甲　　　　　乙　　　　　　丙 1.(1)等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列，还是递减数列？ (2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？ [提示]　(1)因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列． (2)等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率． [知识点二]　等差中项　 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么　A　叫作　a与b　的等差中项． 如果A是a与b的等差中项，那么A－a＝b－A.所以A＝. 2.若数列{an}中，an是an－1和an＋1的等差中项，那么数列{an}是等差数列吗？为什么？ [提示]　是．因为an是an－1和an＋1的等差中项，所以an－1，an，an＋1成等差数列，故an－an－1＝an＋1－an，由等差数列的定义知数列{an}是等差数列． [知识点三]　等差数列的性质　 若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的．(　　) (2)等差数列{an}中，a3＋a4＝a2＋a5.(　　) (3)任何两个数都有等差中项．(　　) (4)已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)(√) 2．已知等差数列{an}的公差为d，若{an}为递增数列，则(　　) A．d＞0　　　　　　 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜0 解析：A　[数列{an}是递增数列，则an＋1－an＝d＞0.故选：A.] 3. ＋1和 －1的等差中项为　________　. 解析： ＝ . 答案： 4．等差数列{an}中，a3＝1，则a2＋a3＋a4＝　________　. 解析：a2＋a3＋a4＝(a2＋a4)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝3. 答案：3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 等差数列的单调性与图像 [例1]　已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图像上的两点． (1)求这个数列的通项公式； (2)画出这个数列的图像； (3)判断这个数列的单调性． [解]　(1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图像上的两点，所以a1＝1，a3＝5. 由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1. (2)图像是直线y＝2x－1上一些等间隔的点，如图所示． (3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列． 理解等差数列的通项与一次函数的关系，强化数学的本质，渗透数形结合思想、转化与化归思想及函数与方程思想，解完本例后，要让学生领悟反思这些思想方法，充分挖掘本例的训练价值． [变式训练] 1．已知数列{an}为等差数列，则下面不一定成立的是(　　) A．若a2＞a1，则a3＞a1 B．若a2＞a1，则a3＞a2 C．若a3＞a1，则a2＞a1 D．若a2＞a1，则a1＋a2＞a1 解析：D　[利用等差数列的单调性可得，若a2＞a1，所以公差d＞0，所以等差数列{an}是递增数列，所以a3－a1＝2d＞0，a3－a2＝d＞0成立，∴A，B正确；若a2＞a1，则a1＋a2＞a1不一定成立，例如a1＜0时不一定成立，∴D不一定成立； 若a3＞a1，则a3－a1＝2d＞0，所以a2－a1＝d＞0成立，∴C正确．故选：D.] 等差中项 [例2]　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． [解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7. 三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如果要证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋). [变式训练] 2．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为　________　，　________　，　________　. 解析：因为8，a,2，b，c是等差数列，所以解得 答案：5　－1　－4 (2))已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列． 证明：因为，，成等差数列，所以＝＋， 即2ac＝b(a＋c)．因为＋＝ ＝＝＝＝， 所以，，成等差数列． 等差数列性质的应用 [例3]　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． [解]　方法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5. 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋； 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－3若an＝13－2n(n∈N＋)． 方法二　设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.① 由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，② 联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N＋；或an＝11－2(n－1)＝13－2n，n∈N＋. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－3若an＝13－2n(n∈N＋)． [母体变式] 在本例中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as? [解]　设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d， an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d， ∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d， ∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as. 等差数列的性质 1．若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2．由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) [变式训练] 3．已知等差数列{an}的公差为d. (1)若a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求d. 解：方法一　(1)化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12. (2)化成a1和d的方程组如下： 解得或∴d＝3或d＝－3. 方法二　(1)由等差数列的性质知a2＋a24＝a3＋a23， 又a2＋a3＋a23＋a24＝48，∴a3＋a23＝24＝2a13.∴a13＝12. (2)由等差数列的性质知，a2＋a5＝a3＋a4，又a2＋a3＋a4＋a5＝34， ∴a2＋a5＝17.又∵a2a5＝52， ∴或∴d＝ ＝3或d＝ ＝－3. [当堂达标] 1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是(　　) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 解析：D　[(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.] 2．设{an}是等差数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[因{an}是等差数列，若a1＜a2＜a3，可得d＝a2－a1＝a3－a2＞0， 所以数列{an}是递增数列，即充分性成立； 若数列{an}是递增数列，则必有a1＜a2＜a3，即必要性成立， 所以“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件．故选：C.] 3．若3，a，b，c,15成等差数列，则a＋b＋c＝　________　. 解析：由等差数列的对称性知，b是3,15的等差中项且a＋c＝3＋15，∴a＋b＋c＝3＋15＋＝27. 答案：27 4．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231. (1)求该数列中a2的值； (2)求该数列的通项公式an. 解：(1)由等差数列的性质可知，a1＋a3＝2a2，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝21，解得a2＝7. (2)依题意得解得或 所以公差d＝ ＝－4或d＝ ＝4. 所以an＝11＋(n－1)×(－4)＝－4n＋15或an＝3＋(n－1)×4＝4n－1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝18，则a5＝(　　) A．7　　　　　　　 B．11 C．9 D．18 解析：C　[设等差数列的性质可知：a2＋a8＝2a5＝18，所以a5＝9.故选：C.] 2．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 解析：B　[由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.] 3．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　) A. B．± C．－ D．－ 解析：D　[由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.] 4．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：B　[因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.] 5．(多选)下面关于公差d>0的等差数列{an}的结论中，正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列 是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 解析：AD　[设等差数列的首项为a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)．∴数列{an}递增，A正确．nan＝dn2＋(a1－d)n，当n< 时，不递增，B错误.＝d＋，当a1－d>0时，不递增，C错误；[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，D正确．] 6．在等差数列{an}中，a1＋a9＝4，那么a2＋a3＋…＋a8等于　________　. 解析：因为数列{an}为等差数列，且a1＋a9＝4，根据等差数列的性质，可得a1＋a9＝2a5＝4，解答a5＝2，又由a2＋a3＋…＋a8＝7a5＝7×2＝14. 答案：14 7．已知等差数列{an}满足am－1＋am＋1－a－1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1＝　________　. 解析：因为数列{an}为等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am.所以am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1.所以a1＋a2m－1＝2am＝2. 答案：2 8．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a23的值． 解：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a8＋a13＝12，则3a8＝12，则a8＝4，又由a3a8a13＝28，则有a3a13＝(4－5d)(4＋5d)＝7，解可得：d＝±，当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝，当d＝－时，an＝a8＋(n－8)d＝. (2)由(1)的结论，当d＝时，an＝，此时a23＝＝13，当d＝－时，an＝，则a23＝＝－5，则a23＝13或－5. [能力提升练] 9．(多选)在等差数列{an}中，每相邻两项之间都插入k(k∈N＋)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 解析：ABD　[由题意得，插入k(k∈N＋)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4… 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1)，因为b9是数列{an}的项，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N＋，k∈N＋， 当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1， 故k的值可能为1,3,7，故选：ABD.] 10．数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，a1＝5，则使得数列 为等差数列的实数m的值为　________　. 解析：a1＝5，a2＝3×5＋32－1＝23，a3＝3×23＋33－1＝95， 依题意得 ， ， 成等差数列， ∴2· ＝ ＋ .∴m＝－ . 答案：－ 11．已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图像关于x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则a1＋a100等于　________　. 解析：由题意知函数y＝f(x－2)的图像关于x＝1对称，则函数f(x)的图像关于x＝－1对称，且在(－1，＋∞)上单调，因为f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，因为数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1＋a100＝a50＋a51＝－2. 答案：－2 12．在正项无穷等差数列{an}中，已知a5a7＝12.a2＋a10＝7. (1)求通项公式an. (2)设bn＝an＋t，且对一切n∈N＋，恒有b2n＝2bn，求t的值．对一切k，n∈N＋是否恒有bkn＝kbn？请说明理由． 解：(1)∵a2＋a10＝a5＋a7＝7，又∵a5a7＝12， ∴或当时，an＝－n＋，不恒为正，舍去． ∴∴an＝n＋. (2)bn＝an＋t＝n＋t＋，b2n＝n＋t＋， ∴n＋t＋＝n＋2t＋1. ∴t＝－，∴bn＝n.∵bkn＝kn＝kbn， ∴恒有bkn＝kbn. [素养培优练] 13．(多选)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋...＋a101＝0，则下列各式一定成立的有(　　) A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＝0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 解析：BD　[设等差数列{an}的公差为d，易知d＞0， ∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋...＋a101＝0， 且a1＋a101＝a2＋a100＝...＝a50＋a52＝2a51， ∴a1＋a2＋a3＋...＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋...＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0， ∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B，D正确，A错误． 又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，∴a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)， ＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d＞0，故C错误．故选：BD.] 14．(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　) A．0.75　　　　　　 B．0.8 C．0.85 D．0.9 解析：D　[设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，且＝0.725，所以＝0.725，故k3＝0.9.] 学科网（北京）股份有限公司 $