1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂教师用书word（北师大版）

§2　等差数列 2．1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 课程标准 素养解读 1.理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的判定方法． 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项. 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [情境引入] 我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容(如单调性，奇偶性等)后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等常用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列， 建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用． [知识梳理] [知识点一]　等差数列的概念　 等差数列概念 1．文字语言：对于一个数列，如果从第　2　项起，每一项与它的　前一项　的差都是　同一个　常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个　常数　为等差数列的　公差　，通常用字母　d　表示． 2．符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)． 1.(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数列吗？ (2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个数列一定是等差数列吗？ [提示]　(1)不是，该数每一项与其前一项的差都是n，不是常数，所以不是等差数列． (2)不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9，就不是等差数列． [知识点二]　等差数列的通项公式　 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋(n－1)d　. 2.等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？ [提示]　不一定，当公差为0时，等差数列的通项公式不是n的一次函数，而是常数函数． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．(　　) (2)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(　　) (3)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(　　) (4)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.(　　) 答案　(1) √　(2) ×　(3)×　(4)× 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n　　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析：C　[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.] 3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，则公差d＝(　　) A．4 B．3 C．－4 D．－3 解析：B　[a3－a1＝8－2＝2d，故d＝3.] 4．已知在等差数列{an}中，d＝－，a7＝8，则a1＝　________　. 解析：由a7＝a1＋6d＝8且d＝－， 代入解得a1＝8－6d＝8＋2＝10. 答案：10 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 等差数列的概念 [例1]　判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. [解]　(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数， ∴数列{an}不是等差数列． 定义法判定等差数列 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． [变式训练] 1．判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，… 解：　由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列． 等差数列的通项公式及其应用 [例2]　(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an； (2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值． [思路点拨]　设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解． [解]　(1)∵a4＝7，a10＝25， 则得 ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， ∴通项公式为an＝3n－5(n∈N＋)． (2)法一：(方程组法)由 得解得a1＝，d＝－， ∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－. 法二：(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d， 即－＝＋4d，解得d＝－， ∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－. 1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷． [变式训练] 2．在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：(1)设{an}的公差为d.因为解得 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项． (2)设{an}的公差为d，则解得 ∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3. 判定与证明等差数列 [例3]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求{an}的通项公式． [思路点拨]　①要判断数列是否为等差数列，需要先求－的表达式， ②求出数列的通项公式． [解]　(1)数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋， ∴－＝，即是首项为＝，公差为d＝的等差数列． (2)由上述可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝. [母体变式] 1．(变条件，变结论)将本例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n＞1)，记bn＝”． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：bn＋1－bn＝－ ＝－＝－＝＝. 又b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n. ∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2. 2．(变条件)将本例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N＋)”试判断数列{an}是否是等差数列． [解]　当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠， 故数列{an}不是等差数列． 等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an}为等差数列； (2)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)⇔{an}为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法． [变式训练] 3．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N＋)确定． (1)求证：是等差数列； (2)当x1＝时，求x2 023. 解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N＋)， ∴＝＝＋，∴－＝(n≥2且n∈N＋)， ∴是公差为的等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝， ∴＝＝，∴x2 023＝. 等差数列的实际应用 [例4]　某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费多少元？ [解]　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元． 所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11， 此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元． [母体变式] 1．(变条件)在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km处的目的地(不足1 km，按1 km计费)，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费多少元？ [解]　由题意知，当出租车行至18.5 km处时，按行至19 km计费，n＝16，此时需支付车费a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．即需要支付车费29.2元． 2．(变结论)在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往n km(n∈N＋)处的目的地，求其需支付的车费an. [解]　当n∈{1,2,3}时，an＝10， 当n∈N＋，且n≥4时，an＝11.2＋(n－4)×1.2＝1.2n＋6.4. 所以an＝ [方法总结]　应用等差数列解决实际问题的步骤 (1)审题，读懂题意，把握已知条件与求解问题． (2)将实际问题抽象为等差数列模型． (3)利用等差数列解决问题． (4)验证答案是否符合实际问题的意义． [变式训练] 4．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的范围． 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{ an }． 由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2)． 所以数列{ an }是一个公差为－d的等差数列． 因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11.　 即解得19<d≤20.9， 所以d的取值范围为19<d≤20.9. [当堂达标] 1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1,4,7,10　　　 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2 解析：ABD　[根据等差数列的定义，可得：A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列．] 2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 解析：B　[∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n. ∴a7＝2>0，a8＝－1<0. 故数列中第一个负数项是第8项．] 3．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　) A．15 B．22 C．7 D．29 解析：A　[设数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得 解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.] 4．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由． 解：因为an＝an－1＋2(n≥3)，所以an－an－1＝2(常数)．又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{an}不是等差数列.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．(多选题)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1,4,7,10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2 解析：ABD　[根据等差数列的定义，可得：A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列．] 2．在等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝(　　) A．50　　　　　　 B．51 C．52 D．53 解析：D　[依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝. 所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令an＝35，解得n＝53.] 3．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若为等差数列，则a19＝(　　) A．0 B. C. D．2 解析：A　[因为，a3＝2，a7＝1，故＝，＝，所以＝＋×16＝＋＝1，故a19＝0，故选A.] 4．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第二个月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 解析：B　[设该网店从第一个月起每个月的利润构成等差数列{an}，则a2＝2 500，a5＝4 000.由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500.由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7.] 5．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn2＋b的形式(k，b为常数) D．数列{2n＋1}(n∈N＋)是等差数列 解析：BD　[对于A，根据等差数列的定义可知，数列6,4,2,0的公差为－2，A错误；对于B，由等差数列的定义可知，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确； 对于C，由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d知，n的次幂不能为2次幂，故C错误；对于D，因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以数列{2n＋1}(n∈N＋)是等差数列，所以D正确．] 6．已知f(n＋1)＝f(n)－ (n∈N＋)，且f(2)＝2，则f(2 023)＝　________　. 解析：由f(n＋1)＝f(n)－ ，得f(n＋1)－f(n)＝－ (n∈N＋)，∴{f(n)}是一个以－ 为公差的等差数列． ∵f(2)＝2，∴f(2 023)＝f(2)＋(2 023－2)d＝2＋2 021× ＝－ . 答案：－ 7．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为　________　. 解析：由题意，数列{an}满足2an＋1－2an＝1，即an＋1－an＝，又由a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52. 答案：52 8．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这种数码产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)． ∴每年的利润构成首项为200、公差为－20的等差数列{an}． ∴an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损． 由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销这种数码产品将亏损． [能力提升练] 9．(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2(k为常数)一定成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 解析：BCD　[对于A，取a＝1，b＝2，c＝3，显然a，b，c成等差数列，而a2＝1，b2＝4，c2＝9，此时a2，b2，c2不成等差数列，A是假命题；对于B，令a＝b＝c，显然a，b，c成等差数列，则2a＝2b＝2c，此时2a,2b,2c是公差为0的等差数列，B是真命题； 对于C，因a，b，c成等差数列，则b－a＝c－b＝d(d为常数)， 于是得(kb＋2)－(ka＋2)＝k(b－a)＝kd，(kc＋2)－(kb＋2)＝k(c－b)＝kd，而k为常数， 因此，(kb＋2)－(ka＋2)＝(kc＋2)－(kb＋2)＝kd(kd为常数)， 所以ka＋2，kb＋2，kc＋2(k为常数)成等差数列，C是真命题； 对于D，令a＝b＝c≠0，显然a，b，c成等差数列，则＝＝，此时，，是公差为0的等差数列，D是真命题．] 10．(多选)设d为正项等差数列{an}的公差，若d＞0，a3＝2，则(　　) A．a2·a4＜4 B．a＋a4≥ C.＋＞1 D．a1·a5＞a2·a4 解析：ABC　[由题知，只需⇒0＜d＜1，a2·a4＝(2－d)·(2＋d)＝4－d2＜4，A正确；a＋a4＝(2－d)2＋(2＋d)＝d2－3d＋6≥，B正确；＋＝＋＝＞1，C正确；a1·a5－a2·a4＝(2－2d)·(2＋2d)－(2－d)·(2＋d)＝－3d2＜0，所以a1·a5＜a2·a4，D错误．] 11．已知f(n＋1)＝f(n)－(n∈N＋)，f(2)＝2，则f(2 017)＝　________　. 解析：由f(n＋1)＝f(n)－，得f(n＋1)－f(n)＝－(n∈N＋)． ∴{f(n)}是一个以－为公差的等差数列． ∵f(2)＝2， ∴f(2 017)＝f(2)＋(2 017－2)d＝2＋2 015×＝－. 答案：－ 12．设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝. (1)求证：数列为等差数列； (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由． 解：(1)证明：根据题意a1＝及递推关系知an≠0.因为an＝.取倒数得＝＋4，即－＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列． (2)由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，an＝. 又a1a2＝×＝＝，解得n＝11. 所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项． [素养培优练] 13．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度．《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为(　　) A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5 解析：C　[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为a1，公差为d，则a1＋a4＋a7＝31.5，a3＋a6＋a9＝25.5，两式相减得－6d＝6，解得d＝－1，所以a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故选：C.] 14．单分数(分子为1，分母为正整数的分数)的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如＝＋，＝＋＋＋＋，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记＝＋＋＋，其中x，y，z是以101为首项的等差数列，则y＋z的值为　________　. 解析：依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变大，又＝＋＋＋中含，故可分解如下＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋，又x，y，z是以101为首项的等差数列，故x＝101，y＝202，z＝303.故y＋z＝202＋303＝505. 答案：505 学科网（北京）股份有限公司 $