第01讲 平方根（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦平方根核心知识点，系统梳理算术平方根与平方根的定义、符号表示及区别联系，明确正数有两个相反数平方根、0的平方根为0、负数无实数平方根的性质，结合小数点移动规律，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料通过典例与变式分层设计题型，涵盖求解、非负性应用、实际问题等，培养学生抽象能力与推理意识，如利用算术平方根非负性列方程，或估算正方形花坛边长。课中助力教师突破重难点，课后练习题帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

第01讲 平方根 考点1：平方根 考点2：平方根的性质 考点3：算术平方根小数点位数移动规律 重点： （1）平方根与算术平方根的定义及符号表示，明确二者区别。 （2）平方根性质：正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根为 0，负数无实数平方根；（3）算术平方根非负且被开方数非负。 （4）非负数平方根、算术平方根的求解及实数混合运算。 难点★： （1）混淆平方根与算术平方根，漏写±或错用符号。 （2）化简​时忽略绝对值，直接写a。 （3）利用算术平方根非负性（a​≥0,a≥0）结合平方、绝对值非负性列方程求值。 （4）确定含平方根代数式中字母的取值范围，易忽略被开方数非负条件。 知识点1 ：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2） 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3：平方根的性质 知识点4：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者左移动一位.例如：，，，. 【题型1 求一个数的平方根】 【典例1】4的平方根是 ． 【变式1】9的平方根是 ． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 【变式3】若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【题型2 已知一个数的平方根求这个数】 【典例2】某正数m的两个不相等的平方根分别是和，则m为 ． 【变式1】一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ． 【变式3】已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【题型3 利用平方根解方程】 【典例3】求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式1】解方程： (1)． (2)． 【变式2】一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【变式3】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 求一个数的算术平方根】 【典例3】的算术平方根是 ． 【变式1】的值是（   ） A．5 B． C． D． 【变式2】的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式3】的算术平方根是 ． 【题型5 利用算术平方根的非负性解题】 【典例5】若，则的平方根为 ． 【变式1】已知，则的值是 ． 【变式2】若实数，满足，则 ． 【变式3】若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．3 【题型6 估计算术平方根的取值范围】 【典例6】某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式1】下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【变式2】已知，，则 ． 【变式3】定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 与算术平方根有关的规律探索题】 【典例7】（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【变式1】一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 【变式2】[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【变式3】将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【题型8 算术平方根的实际应用】 【典例8】如图，用两个边长为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为______； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 【变式1】为打造班级文化墙，生活委员准备从一块面积为0.64平方米的正方形硬纸板上，裁剪出一块面积为0.6平方米的长方形硬纸板（裁剪线与正方形的边平行），用于展示班级标语． (1)正方形硬纸板的边长为_____米； (2)若要求裁下的长方形硬纸板的长、宽之比为，请问是否能裁出满足要求的长方形硬纸板？并说明理由． 【变式2】素材1：如图，某公司计划在3块并排的正方形地基上建造厂房，地基的总面积为． 素材2：又计划在厂房的一边建造一个面积为的长方形仓库，为节省材料，仓库一边与厂房共用一面墙，并且共用部分不超过厂房的某一边长，不考虑门窗，另外三边用塑钢材料围成，仓库的长与宽之比为．根据上面两个素材，回答下列问题： (1)求每块正方形地基的边长； (2)通过计算说明能否按照要求建造出长方形仓库，若能，求出该仓库的长与宽；若不能，请说明理由． 【变式3】如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽． (2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 1．4的算术平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 2．已知，则的值是（） A． B． C． D． 3．若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B．36 C．6 D． 4．下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．3是9的算术平方根 5．的值在两个连续整数之间，则这两个连续整数是（    ） A．7与8 B．6与7 C．5与6 D．4与5 6．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 7．已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．若为整数，且，则整数的值为 ． 9．如图，长方形内的两个相邻正方形面积分别为9和3，则两个正方形的边长分别为 和 ，图中阴影部分面积为 ． 10．已知：，那么 ． 11．求下列各式中的值：． 12．根据物理学原理可知，用电器的电阻（单位：）、功率（单位：）与它两端的电压（单位：）之间有如下关系：．在一次物理实验中，博学小组测得某个电路中一个小灯泡的电阻为，功率为，求该灯泡两端的电压． 13．已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 14．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平方根 考点1：平方根 考点2：平方根的性质 考点3：算术平方根小数点位数移动规律 重点： （1）平方根与算术平方根的定义及符号表示，明确二者区别。 （2）平方根性质：正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根为 0，负数无实数平方根；（3）算术平方根非负且被开方数非负。 （4）非负数平方根、算术平方根的求解及实数混合运算。 难点★： （1）混淆平方根与算术平方根，漏写±或错用符号。 （2）化简​时忽略绝对值，直接写a。 （3）利用算术平方根非负性（a​≥0,a≥0）结合平方、绝对值非负性列方程求值。 （4）确定含平方根代数式中字母的取值范围，易忽略被开方数非负条件。 知识点1 ：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2） 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3：平方根的性质 知识点4：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者左移动一位.例如：，，，. 【题型1 求一个数的平方根】 【典例1】4的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根概念理解，求一个数的平方根等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数． 【详解】解：设x是4的平方根， 则， 解得：． 故答案为：． 【变式1】9的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义； 根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可解决． 【详解】解：∵且， ∴9的平方根是，即， 故答案为：． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方根和算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，正数有两个平方根，的平方根是，负数没有实数平方根，逐一判断即可. 【详解】解：A、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； B、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； C、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； D、负数在实数范围内无平方根，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键． 由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根. 【详解】解：∵ ， ∴ . 当时，，的平方根为； 当时，，的平方根为. ∴的平方根是或. 故选：C． 【题型2 已知一个数的平方根求这个数】 【典例2】某正数m的两个不相等的平方根分别是和，则m为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，由此列出关于a的方程，求解a后，再求平方根的值，进而求出m． 【详解】解：由题意，得， 整理得， 解得， 则平方根为和， 故 故答案为：100． 【变式1】一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解即可． 【详解】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，根据题意得： ， 即， 解得， 故选：B． 【变式2】若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ． 【答案】36 【分析】根据平方根的性质，两个平方根互为相反数，列方程求解． 本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，两个平方根互为相反数，故 ． 化简得 ，解得 ． 代入得平方根为 和 ， 因此这个正数为 ． 故答案为：36． 【变式3】已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出的值，利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ． （2）解：， ． 的平方根为， 的平方根为． 【题型3 利用平方根解方程】 【典例3】求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 【变式1】解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）（2）根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由得， ∴， 解得，． （2）解：由得， ∴， 解得，． 【变式2】一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，理解平方根的定义是解题的关键． 先移项，然后利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴，即，． 故选C． 【变式3】求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）两边同时除以2，进而得出答案； （2）先移项，进而得出答案； （3）先移项，两边同时除以9，进而得出答案； （4）先移项，两边同时除以4，进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， 解得或． 【题型4 求一个数的算术平方根】 【典例3】的算术平方根是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：的算术平方根是． 故答案为：． 【变式1】的值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，直接计算的算术平方根，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴的值是5， 故选：A． 【变式2】的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的概念，算术平方根定义为非负数，因此需计算的非负平方根． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是． 故选：D． 【变式3】的算术平方根是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 【题型5 利用算术平方根的非负性解题】 【典例5】若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n的值，然后代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【变式1】已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，以及绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值．根据非负数的性质，绝对值、算术平方根和平方均为非负数，它们的和为零，则每个部分都为零，从而求出x，y，z的值，再代入所求式子计算，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 【变式2】若实数，满足，则 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再求出的值即可． 本题考查的是非负数的性质，代数式求值，属于基础题型，熟知非负数的性质：几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得，， ∴． 故答案为：． 【变式3】若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据绝对值、平方及算术平方根的非负性可得，求出的值再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【题型6 估计算术平方根的取值范围】 【典例6】某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的应用，估算算术平方根的取值范围．先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围． 【详解】解：设正方形边长为， 正方形花坛的面积为， ， ， ，，且， ， 正方形边长介于和之间， 故选：B． 【变式1】下表中是给定部分x的值，对应的值： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数比较大小的知识点，将数值1169与表格中行的数值进行比较，判断其所处范围，且准确找到与之间的倍数关系是解题的关键． 通过观察表格中的值，找到1169介于1156和1225之间，从而确定在34和35之间，进而得到在3.4和3.5之间． 【详解】∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴ 即， ∴在之间． 故答案为：A． 【变式2】已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数每向左（向右）移动两位，则开方的结果的向左（向右）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题结合新定义“根号整数”考查估计算术平方根，关键是根据定义转化为不等式，再结合自然数的范围确定的取值． 【详解】解：根据“根号整数”的定义，若， 则； 两边平方，得． ∵是自然数， ∴的取值为1、2、3，共3个． 故选：C． 【题型7 与算术平方根有关的规律探索题】 【典例7】（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【答案】（1）0.1  10   （2）右  1   （3）①22.4  ②25 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）由表格可知，，． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②由及（2）中的规律可知， 则 ∴ 即． 【变式1】一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式规律，观察代数式变化部分与序号的关系是解决问题的关键． 通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母的指数为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子： ； 第4个式子：； 综上所述，该组式子的规律为：， 故选：B． 【变式2】[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 【变式3】将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第n行第列：n为偶数时，n为奇数时，由此规律即可求解． 【详解】解：第2行第1列， 第3行第2列， 第4行第3列， 第5行第4列， …… 第n行第列： n为偶数时， n为奇数时， 当时，第101行第100列为． 故选：B． 【题型8 算术平方根的实际应用】 【典例8】如图，用两个边长为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为______； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：大正方形的面积为：，即可求解； （2）假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为，则， 解得：，推出，与大正方形的边长对比即可得出结论； 【详解】（1）解：由题意得：大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为； 故答案为：4． （2）解：假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为， 则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； ∵， ∴， ∴不能截得长宽之比为，且面积为的长方形纸片． 【变式1】为打造班级文化墙，生活委员准备从一块面积为0.64平方米的正方形硬纸板上，裁剪出一块面积为0.6平方米的长方形硬纸板（裁剪线与正方形的边平行），用于展示班级标语． (1)正方形硬纸板的边长为_____米； (2)若要求裁下的长方形硬纸板的长、宽之比为，请问是否能裁出满足要求的长方形硬纸板？并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用正方形面积公式求边长即可； （2）首先求出长方形硬纸板的长和宽，求出后与正方形的边长进行比较大小即可作出结论． 【详解】（1）解：正方形硬纸板的边长为（米）， 故答案为：； （2）解：不能裁出满足要求的长方形硬纸板． 理由如下： 长方形硬纸板的长、宽之比为， 设长方形硬纸板的长、宽分别为米，米， ， 解得（负值舍去）， ，， ， ， 不能裁出满足要求的长方形硬纸板． 【变式2】素材1：如图，某公司计划在3块并排的正方形地基上建造厂房，地基的总面积为． 素材2：又计划在厂房的一边建造一个面积为的长方形仓库，为节省材料，仓库一边与厂房共用一面墙，并且共用部分不超过厂房的某一边长，不考虑门窗，另外三边用塑钢材料围成，仓库的长与宽之比为．根据上面两个素材，回答下列问题： (1)求每块正方形地基的边长； (2)通过计算说明能否按照要求建造出长方形仓库，若能，求出该仓库的长与宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，该长方形仓库的长为，宽为，计算见解析 【分析】本题考查由算术平方根运算列方程解应用题，读懂题意，准确列出方程是解决问题的关键． （1）先求出每块正方形地基的面积，由算术平方根运算即可得到答案； （2）设该仓库的长为，宽为，由长方形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：每块正方形地基的面积为， 所以正方形地基的边长为． 答：每块正方形地基的边长为． （2）解：能按照要求建造出长方形仓库． 设该仓库的长为，宽为． 由题意，得， 解得或（不合题意，舍去）， 则该长方形仓库的长为，宽为． ∵， ∴，， ∴该长方形仓库的长为，宽为． 【变式3】如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为． (1)求该长方形的长与宽． (2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆． 【答案】(1)该长方形的长为，宽为 (2)4个 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，正确列出方程求出长方形的长和宽是解题的关键． （1）设该长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）根据可推出，再根据圆面积计算公式求出圆的半径，进而求出圆的直径，再用长方形的长除以圆的直径即可得到答案． 【详解】（1）解：设该长方形的长为，宽为， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， 答：该长方形的长为，宽为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵一个圆的面积为， ∴该圆的半径为， ∴该圆的直径为， ∵， ∴最多能裁剪出4个面积为的圆． 1．4的算术平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求解算术平方根，准确的计算是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，4的算术平方根是2， 故选A． 2．已知，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根定义，平方根为零则被开方数为零求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B．36 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，解题关键是掌握平方根的定义． 根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵a的平方根是， ∴ ∴a的值为36， 故选：B． 4．下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．3是9的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．平方根包括正负两个值（正数），算术平方根为非负值；负数没有平方根． 根据平方根和算术平方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．9的平方根是，原说法错误； B．是的其中一个平方根，原说法错误； C．负数没有平方根，原说法错误； D．3是9的算术平方根，原说法正确； 故选：D． 5．的值在两个连续整数之间，则这两个连续整数是（    ） A．7与8 B．6与7 C．5与6 D．4与5 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的取值范围．通过比较平方数确定的范围． 【详解】解：∵ ， ， 且， ∴， 因此这两个连续整数是7和8． 故选：A． 6．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ） A．9 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据平方根求原数． 利用正数的平方根互为相反数的性质，列方程求出a，再计算平方根和原数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 即， ∴， ∴一个平方根为， ∴这个正数为． 故选：A． 7．已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，每个非负数都为0是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零则每个部分均为零． 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， 由得， ∴， 代入得，即， ∴， ∴． 故选：D． 8．若为整数，且，则整数的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查无理数的大小估算，熟练记忆常用的完全平方数是解题关键． 通过比较完全平方数，估算的范围，从而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，长方形内的两个相邻正方形面积分别为9和3，则两个正方形的边长分别为 和 ，图中阴影部分面积为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，明确题意，求出大小正方形的边长是解题的关键． 根据题意可得小正方形边长为3，大正方形边长为。即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为9，小正方形的面积为3， ∴大正方形边长为 ，小正方形边长为 ， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：3，， 10．已知：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．求下列各式中的值：． 【答案】 或 【分析】本题考查的知识点是利用平方根的定义解方程，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 直接利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， ，． 12．根据物理学原理可知，用电器的电阻（单位：）、功率（单位：）与它两端的电压（单位：）之间有如下关系：．在一次物理实验中，博学小组测得某个电路中一个小灯泡的电阻为，功率为，求该灯泡两端的电压． 【答案】该灯泡两端的电压是 【分析】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用．根据，得到，代入数据故可求解． 【详解】解：根据题意得，， 代入，得， 整理，得， ， ， 答：该灯泡两端的电压是． 13．已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的性质与算术平方根的计算，解题的关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程，求解得的值； （2）将的值代入计算结果，再求其算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得 化简得： 解得： （2）将代入，得： 9的算术平方根是3． 14．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； 故答案为：． （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 学科网（北京）股份有限公司 $