2.2.1-2.2.2 导数的概念 导数的几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

[基础达标练] 1．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝1.05t，并求得p′(10)＝0.08(元/年)，则p′(10)的实际意义是(　　) A．第10个年头物价以0.08元/年的速度上涨． B．第10个年头物价以0.08元/年的速度下降． C．第10个年头物价以0.05元/年的速度上涨． D．第10个年头物价平均通货膨胀率为5%. 解析：A　[因为p′(10)＝0.08(元/年)，由导数的实际意义可知在第10个年头，物价以0.08元/年的速度上涨．] 2．若 ＝1(m为常数)，则f′(x0)等于(　　) A．－m　　　　　　　 B．1 C．m D. 解析：D　[由题意，根据导数的概念可得，＝m· ＝mf′(x0)＝1，所以f′(x0)＝.] 3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 解析：A　[设切点为(x0，y0)，∵＝＝(2x0＋Δx) 当Δx趋于0时，趋于2x0. 由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2， ∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选：A.] 4．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－2 解析：D　[∵ ＝ ＝－1， ∴ ＝－2，即f′(1)＝－2. 由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2.] 5．(多选)下列命题正确的是(　　) A．若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处无切线 B．函数y＝f(x)的切线与函数的图像可以有两个公共点 C．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时，＝1 D．若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图像在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0 解析：BD　[若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；函数y＝f(x)的切线与函数的图像可以有两个公共点，例如函数f(x)＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图像还有一个公共点(－2，－2)点，故选项B正确；因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2，又 ＝－ ＝－f′(1)＝－1≠1，故选项C错误； 因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，所以f′(1)＝12－2＝－1，又f(1)＝2，所以切点坐标为(1,2)，斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－(x－1)，化简得x＋y－3＝0，故选项D正确．] 6．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 li ＝　________　. 解析：由导数的概念和几何意义知 li ＝f′(1)＝kAB＝ ＝－2. 答案：－2 7．函数y＝在x＝x0(x0≠0)处的导数为　________　，在点　________　处的导数为. 解析：Δy＝－，＝＝，当Δx趋于0时，趋于，令＝，得x0＝1，此时y0＝＝1，即函数y＝在点(1,1)处的导数为. 答案：　(1,1) 8．服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.6，试解释它们的实际意义． 解：f′(10)＝1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min)．也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg /mL. f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min)．也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg /mL. [能力提升练] 9．函数f(x)的图像如图所示，则下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析：B　[如图所示，f′(2)是函数f(x)的图像在x＝2(即点A)处切线的斜率k1，f′(3)是函数f(x)的图像在x＝3(即点B)处切线的斜率k2，＝f(3)－f(2)＝kAB是割线AB的斜率． 由图像知，0＜k2＜kAB＜k1，即0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)．] 10．已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设 ＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．a<f′(2)<f′(4) B．f′(2)<a<f′(4) C．f′(4)<f′(2)<a D．f′(2)<f′(4)<a 解析：B　[由题图可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以(2，f(2))，(4，f(4))两点连线的斜率 的大小在点(2，f(2))处的切线斜率f′(2)与在点(4，f(4))处的切线斜率f′(4)之间，所以f′(2)<a<f′(4)．] 11．若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝　________　. 解析：设切点为P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，所以＝4x0＋2Δx.当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0，所以4x0＝4，所以x0＝1，y0＝3，将(1,3)代入直线4x－y＋m＝0，得m＝－1. 答案：－1 12．利用导数的定义，求f(x)＝在x＝1处的导数f ′(1)． 解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝－， ∴＝ ＝ ＝. 当Δx趋于0时，趋于，f ′(1)＝. [素养培优练] 13．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为　________　. 解析：设切点为P(x0，y0)， 则　＝ ＝ ＝ 2ax0＋aΔx 当Δx无限趋近于零时， 无限趋近于2ax0， ∵直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切， ∴2ax0＝1. 又y0＝ax，x0－y0－1＝0， 联立以上三式，得解得a＝ . 答案： 14．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线 12x＋y＝6平行，求a的值． 解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1) ＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3， ∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2. 当Δx无限趋近于零时， 无限趋近于3x＋2ax0－9， 即f′(x0)＝3x＋2ax0－9， ∴f′(x0)＝32－9－. 当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－. ∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行， ∴该切线斜率为－12，∴－9－＝－12， 解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3. 1 学科网（北京）股份有限公司 $