2.1.1-2.1.2 平均变化率 瞬时变化率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

[基础达标练] 1．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为(　　) A．3Δt＋6　　　　　 B．－3Δt＋6 C．3Δt－6 D．－3Δt－6 解析：D　[＝＝－6－3Δt.] 2．函数y＝f(x)＝3x在x从1变到3时的平均变化率等于(　　) A．12 B．24 C．2 D．－12 解析：A　[Δy＝f(3)－f(1)＝33－31＝24，则＝＝12.故选：A.] 3．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．4 解析：B　[由已知得＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.] 4．函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率估计是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：B　[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则＝＝3，∴当Δx趋于0时，趋于3.故选B.] 5．(多选)甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．现有下列四种说法正确的有(　　) A．前四年该产品产量增长速度越来越快 B．前四年该产品产量增长速度越来越慢 C．第四年后该产品停止生产 D．第四年后该产品年产量保持不变． 解析：BD　[设产量与时间的关系为y＝f(x)，由题图可知f(3)－f(2)＜f(2)－f(1)，则前三年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确，由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确，故说法正确的有BD.] 6．路灯距离地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为　________　 m/s. 解析：如图，设S为路灯，人的高度AB，则AB＝1.6 m,84 m/min＝ m/s，t s时人的影子长AC＝h，由直角三角形相似得＝，h＝t m．则人影长度的变化速率为＝＝. 答案： 7．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为　________　. 解析：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2， ∴＝4a＋aΔt，当Δt趋于0时，趋于4a，即4a＝8，解得a＝2. 答案：2 8．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率，并说明哪一阶段体重的平均变化较快． 解：从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为 ＝ ＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为 ＝ ＝0.4(千克/月)．因为1>0.4，所以该婴儿在从出生到第3个月这段时间内体重的平均变化较快． [能力提升练] 9．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝ 中，平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① 解析：B　[当Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－ ＝－ .∴k3＞k2＞k1＞k4.∴平均变化率最大的是③.故选B.] 10．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是　________　. 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，，结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]． 答案：[x3，x4] 11．函数f(x)＝x2与g(x)＝ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的是　________　. 解析：在(1，＋∞)上取(a，a＋1)，＝＝2a＋1，＝＝ln，因为a≥1，所以2a＋1≥3，ln≤ln＝ln 2＜1，所以＞，所以函数g(x)＝ln x在区间(1，＋∞)上的增长速度慢于函数f(x)＝x2的增长速度，故增长较快的为f(x)＝x2. 答案：f(x)＝x2 12．求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为 ，哪一点附近的平均变化率最大？ 解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝ ＝2＋Δx，在x＝2附近的平均变化率为k2＝ ＝4＋Δx，在x＝3附近的平均变化率为k3＝ ＝6＋Δx.若Δx＝ ，则k1＝2＋ ＝ ，k2＝4＋ ＝ ，k3＝6＋ ＝ .由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大． [素养培优练] 13．(多选)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c＝f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度c随时间t变化的关系如图所示． 给出下列四个结论正确的是(　　) A. 在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C. 在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D. 在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同 解析：ACD　[A.在t1时刻，为两图像的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B.甲、乙两人在t2时刻的切线的斜率不相等，即两人的瞬时变化率不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；C.根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故C正确；D.在[t1，t2]时间段，甲的平均变化率是，在[t2，t3]时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故D正确．] 14．已知a＞1，函数f(x)＝ln x，则下面结论中正确的有　__________　.(填上所有正确结论的序号) ①函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是大于1； ②函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率总是小于1； ③函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而增大； ④函数f(x)在区间[a，a＋1]上的平均变化率随着a的增大而减小． 解析：＝＝ln(a＋1)－ln a＝ln ＝ln ，因为a＞1，所以ln＜ln(1＋1)＝ln 2＜1，所以①错误，②正确．又当a＞1时，1＋随着a的增大而减小，ln 随着1＋的减小而减小， 所以随着a的增大而减小，所以③错误，④正确． 答案：②④ 1 学科网（北京）股份有限公司 $