1.4 数列在日常经济生活中的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．某工厂2021年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2028年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为(　　) A．2－1　　　　　　　 B．2－1 C. 3－1 D．3－1 解析：B　[设2021年年底总产值为a，年平均增长率为x，则a(1＋x)7＝4a，得x＝2－1.] 2．现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是(　　) A．8×1.0253万元 B．8×1.0254万元 C．8×1.0255万元 D．8×1.0256万元 解析：C　[定期自动转存属于复利问题，5年末的本利和是8×(1＋2.50%)5＝8×1.0255万元．] 3．某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一月，共付12次，若按月利率0.5%，每月复利一次，则a，b满足(　　) A．b＝ B．b＝ C．b＝ D. <b< 解析：D　[∵b·(1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)＝a(1＋0.005)12，∴12b<a(1＋0.005)12.∴b< .又显然12b>a即b> .] 4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1 200尺，则需要几天时间才能打穿(结果取整数)(　　) A．12 B．11 C．10 D．9 解析：B　[大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成等比数列{an}，{bn}，a1＝b1＝1，数列 的公比为q1＝2，数列{bn}的公比为q2＝ ，设需要n天能打穿墙，则(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝ ＋＝2n＋1－ ，n＝10时，2n＋1－ ＝1 025－ ≈1 025<1 200，n＝11时，2n＋1－ ＝2 049－ ≈2 049>1 200，因此需要11天才能打穿．] 5．已知甲、乙两车间的月产值在2022年1月份相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2022年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2022年4月份月产值的大小，则(　　) A．甲大于乙 B．甲等于乙 C．甲小于乙 D．大小不确定 解析：A　[设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在2022年1月份同为m， 则由题意得m＋6a＝m·(1＋x)6，① 4月份甲的产值为m＋3a,4月份乙的产值为m·(1＋x)3，由①知，(1＋x)6＝1＋ ，即4月份乙的产值为m ＝ . 因为(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2>0， 所以m＋3a> ，即4月份甲的产值大于乙的产值．] 6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2021年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为　________　吨，2026年的垃圾量为　________　吨． 解析：2021年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2021年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2026年是从2021年起再过5年，所以2026年的垃圾量是a(1＋b)5吨． 答案：a(1＋b)　a(1＋b)5 7．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金　________　万元． 解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列{an}，则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2，a2＝ a1－1，依次类推，an＋1＝ an－1，∴an＋1＋2＝ (an＋2)．∴{an＋2}是一个等比数列，公比为 ，首项为a1＋2.∴an＋2＝(a1＋2)· n－1 . ∴an＝(a1＋2)·－2.∴第6名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)× 6－2＝0.∴a1＝126，即全部资金为126万元． 答案：126 8．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2022年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2022年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2022年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数) 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a·0.9n－1. (2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)． ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80， 即a≤，∴a≤12.3.故2022年最多出口12.3吨． [能力提升练] 9．(多选题)计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象．当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态．该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是(　　) A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 解析：ABC　[设第n＋1分钟之内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2，由an＋1＝2(Sn＋1)可得an＝2(Sn－1＋1)，两式相减得：an＋1－an＝2an， 所以an＋1＝3an，所以每分钟内新感染的病毒构成以a1＝2为首项，3为公比的等比数列， 所以an＝2×3n－1，在第3分钟内，该计算机新感染了a3＝2×33－1＝18个文件，故选项A正确；经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋＝35＝243个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋＝310＞×105， 所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；故选：ABC] 10．用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，买这件家电实际付款　________　元． 解析：购买时付了150元，欠款1 000元．每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{an}，则a1＝50＋1 000×0.01＝60，a2＝50＋(1 000－50)×0.01＝60－0.5，a3＝50＋(1 000－50×2)×0.01＝60－0.5×2，类推，得an＝60－0.5(n－1)(1≤n≤20)． 所以付款数{an}组成等差数列，公差d＝－0.5，全部贷款付清后，付款总数为 150＋S20＝150＋20a1＋ × ＝150＋20×60－ ＝1 255. 答案：1 255 11．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平．某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元．则引进该生产线后总盈利的最大值为　________　. 解析：设引进设备n年后总盈利为f(n)万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为an万元， 则由题意，知{an}为等差数列，其中首项a1＝24，公差d＝8，前n年成本之和为万元， 故f(n)＝100n－[24n＋4n(n－1)＋196]＝－4n2＋80n－196＝－4(n－10)2＋204，n∈N＋， 所以当n＝10时，f(n)max＝204，即总盈利的最大值为204万元． 答案：204 12．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天支付4元，第二天支付8元，第三天支付12元，以此类推；第三种，第一天支付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加一倍)．他选择哪种方案领取报酬更合算？ 解：设该学生能工作n天，每天领的工资为an元，所有的工资为Sn元，则第一种方案：an(1)＝38，Sn(1)＝38n； 第二种方案：an(2)＝4n，Sn(2)＝4(1＋2＋…＋n)＝2n2＋2n； 第三种方案：an(3)＝0.4×2n－1，Sn(3)＝ ＝0.4(2n－1)． 令Sn(1)≥Sn(2)，即38n≥2n2＋2n，解得0≤n≤18. 令Sn(1)≥Sn(3)，即38n≥0.4(2n－1)． 利用计算器求得小于或等于9天时，第一种方案领取报酬高， 所以当n<10时，选择第一种方案领取报酬． 因为当n≥10时，Sn(1)≤Sn(3)，Sn(2)≤Sn(3)， 所以当n≥10时，选择第三种方案领取报酬． [素养培优练] 13．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加 . (1)求n年内旅游业的总收入； (2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元． 解：(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，则a1＝400，an＋1＝ an＝ an，所以 ＝ ， 所以数列{an}是公比为 的等比数列， 所以Sn＝ ＝ ＝1 600 ，即n年内旅游业总收入为1 600 万元． (2)由(1)知Sn＝1 600 ， 令Sn>8 000，即1 600 >8 000， 所以 n >6，所以lg n >lg 6， 所以n> ≈8.029 6.所以大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元． 14．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．记从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}． (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式； (2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨)．(参考数据1.054≈1.215,1.055≈1.276,1.056≈1.340) 解：(1)由题意，从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}， ∴{an}是以20(1＋5%)为首项，1＋5%为公比的等比数列；{bn}是以6＋1.5＝7.5为首项，1.5为公差的等差数列，∴an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1.5n. (2)设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn， ∴Sn＝(a1－b1)＋…＋(an－bn)＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn) ＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－[7.5＋9＋…＋(6＋1.5 n)] ＝－(7.5＋6＋1.5n)＝420×1.05n－n2－n－420， 当n＝5时，Sn≈63.5. ∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨． 1 学科网（北京）股份有限公司 $