1.3.2 第2课时 数列求和-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝(　　) A．9　　　　　　　　 B．8 C．17 D．16 解析：A　[S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.] 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，Sn＝10，则n等于(　　) A．90 B．119 C．120 D．121 解析：C　[an＝＝－，∴Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10，∴n＋1＝121，故n＝120.] 3．设有穷数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝，称Tn为数列a1，a2，…，an的“凯森和”．已知数列1,2,4，a的“凯森和”为6，则a＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：A　[由已知可得＝＝6， ∴a＝6，故选：A.] 4．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且an＋1＋2an＋an－1＝0(n≥2)，则{an}的前2 022项(　　) A．8 088 B．4 044 C．－4 044 D．0 解析：B　[由递推关系式可得a1＋a2＝－(a2＋a3)，a2＋a3＝－(a3＋a4)，所以a3＋a4＝a1＋a2＝4，同理可得a5＋a6＝a7＋a8＝…＝a2 019＋a2 020＝a2 021＋a2 022＝4，所以S2 022＝4×1 011＝4 044.故选：B.] 5．在数列{an}中，an＝ ，其前n项和为 ，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(　　) A．－10 B．－9 C．10 D．9 解析：B　[数列{an}的前n项和为 ＋ ＋…＋＝1－ ＋ － ＋…＋－＝1－＝＝ ，所以n＝9.于是直线(n＋1)x＋y＋n＝0为10x＋y＋9＝0.所以其在y轴上的截距为－9.] 6．数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N＋)，则数列 的前10项的和为　________　. 解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝ ，所以＝＝2(－)．所以的前10项和＋＋＋…＋＝ 2 ＝ . 答案： 7．数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝ 　________　. 解析：an＋2＋(－1)nan＝3n－1，当n为奇数时，an＋2＝an＋3n－1；当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1.设数列{an}的前n项和为Sn，S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4)＋…＋(a14＋a16)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41)＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540，∴a1＝7. 答案：7 8．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101. [能力提升练] 9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，对任意的n∈N＋都有nan＝(n＋2)an＋1，则S2 021＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　 [数列{an}满足a1＝，对任意的n∈N＋都有nan＝(n＋2)an＋1，则有n(n＋1)an＝(n＋1)(n＋2)an＋1，可得数列{n(n＋1)an}为常数列，有n(n＋1)an＝2a1，得n(n＋1)an＝1，得an＝，又由an＝＝－，所以S2 021＝＋＋＝1－＝.故选：C.] 10．有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为　________　. 解析：由题意知所求数列的通项为 ＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为 －n＝2n＋1－n－2. 答案：2n＋1－n－2 11．已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝，数列{bn}满足bn＝2n－1anan＋1，{bn}的前n项和为Sn，则S10＝　________　. 解析：数列{an}满足an＋1＝，整理得：－1＝2， 所以数列{－1}是以－1＝1为首项，2为公比的等比数列；所以an＝， 故数列{bn}满足bn＝2n－1anan＋1＝2n－1··＝－， 所以S10＝＋ ＋…＋＝－＝. 答案： 12．在数列{an}中，a1＝－ ,2an＝an－1－n－1(n≥2，n∈N＋)，设bn＝an＋n. (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{nbn}的前n项和Tn； (3)若cn＝n－an，Pn为数列 的前n项和，求不超过P2 023的最大的整数． 解：(1)证明：对2an＝an－1－n－1两边加2n得 2(an＋n)＝an－1＋n－1， 所以an＋n＝ [an－1＋(n－1)]，即bn＝ bn－1. 因为b1＝a1＋1＝－ ＋1＝ ，所以数列{bn}是首项、公比均为 的等比数列，所以bn＝ n . (2)nbn＝n·n＝ . Tn＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋，① Tn＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋，② ①－②得 Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝1－ － ，所以Tn＝2－ . (3)由(1)得an＝n －n，所以cn＝n. ＝＝1＋＝1＋－， P2 023＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝2 024－ . 所以不超过P2 023的最大的整数是2 023. [素养培优练] 13．已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝，设{bn}的前n项和为Sn，求最小的正整数n，使得Sn>. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 依题意有解得 从而{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)因为bn＝＝－， 所以Sn＝＋＋…＋＝1－. 令1－>，解得n>1 010，故取n＝1 011. 14．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和． 证明：Tn＜. 解：(1)因为{an}是首项为1的等比数列且a1,3a2,9a3成等差数列， 所以6a2＝a1＋9a3，两边同时除以a1得9q2－6q＋1＝0，解得q＝， 所以an＝n－1，bn＝＝. (2)法一：由(1)可得Sn＝＝(1－)， Tn＝＋＋…＋＋，① Tn＝＋＋…＋＋，② ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝－， 所以Tn＝－， 所以Tn－＝－－＝－＜0， 所以Tn＜. 法二：因为bn－＝＝－，所以Tn－＝＝＝ －＜0. 所以Tn＜. 1 学科网（北京）股份有限公司 $