1.1.2 数列的函数特性-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．已知an＝3n－2，n∈N＋，则数列{an}的图像是(　　) A．一条直线　　　 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 解析：D　[∵an＝3n－2，n∈N＋，∴数列{an}的图像是一群孤立的点．] 2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] 解析：C　[∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n－7＋2，则此数列中数值最小的项是(　　) A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 解析：C　[因为an＝n－7＋2＝2－，所以易知当n＝12时，an取得最小值，即此数列中数值最小的项是第12项．] 4．一给定函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a0∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an，则该函数的图像是(　　) 解析：A　[由an＋1＝f(an)，an＋1＞an，得f(an)＞an，即f(x)＞x，结合图像可知A正确．] 5．(多选)对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得ak＜ak－1，ak＜ak＋1，则称ak是数列{an}的“谷值，k是数列{an}的“谷值点”，在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 解析：AD　[因为an＝，所以a1＝2，a2＝，a3＝2，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，a8＝，当n≥7，n∈N，n＋－8＞0∴an＝＝n＋－8，此时数列单调递增，a2＜a1，a2＜a3，a7＜a6，a7＜a8，所以数列{an}的“谷值点”为2,7.故选：AD.] 6．已知数列{an}为递增数列，通项公式为an＝n＋，则λ的取值范围是　________　. 解析：因为数列{an}为递增数列，an＝n＋，所以an＋1－an＝－＝1－>0，即λ<n(n＋1)(n∈N＋)．所以λ<2. 答案：(－∞，2) 7．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，在下列说法中：①有最大项；②有最小项；③没有最大项；④没有最小项．正确的是　________　.(填序号) 解析：令t＝n－1，t∈(0,1]，t是关于n的减函数，则an＝t2－t＝2－.由复合函数的单调性知an既有最大项又有最小项，故①和②正确． 答案：①② 8．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20. (1)－60是该数列中的项吗？若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？共有多少项？ (2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n2－21n＋20＝－60，得n＝5或n＝16；所以该数列的第5项和第16项都为－60.由n2－21n＋20＜0，得1＜k＜20，所以该数列中有小于0项，共有18项． (2)因为an＝n2－21n＋20＝ 2－ ，可知对称轴为n＝ ＝10.5.又因为n∈N＋，所以当n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为－90. [能力提升练] 9．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，且数列{an}从第n项起单调递减，则n的最小值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．不存在 解析：A　[∵an＝，∴an＋1＝，∴an＋1－an＝－＝， 由数列{an}从第n项起单调递减，可得an＋1－an＜0， 即－n2－n＋130＜0，n∈N＋， 解得n＞或n＜(舍去)， ∵22＜＜23， ∴10.5＜＜11， ∴n≥11，∴a11＞a12＞a13＞...，即从第11项起，{an}单调递减， ∴n的最小值为11.故选：A.] 10．(多选) 已知数列{an}满足an＝nkn(n∈N＋，0＜k＜1)，下列命题正确的有(　　) A．当k＝时，数列{an}为递减数列 B．当k＝时，数列{an}一定有最大项 C．当0＜k＜时，数列{an}为递减数列 D．当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项 解析：BCD　[当k＝时，a1＝a2＝，知A错误；当k＝时，＝·，当n＜4，＞1，n＞4，＜1， 所以可判断{an}一定有最大项，B正确；当0＜k＜时，＝k＜≤1，所以数列{an}为递减数列，C正确； 当为正整数时，1＞k≥，当k＝时，a1＝a2＞a3＞a4＞…，当1＞k＞时，令＝m∈N＋，解得k＝，则＝，当n＝m时，an＋1＝an，结合B，数列{an}必有两项相等的最大项，故D正确；故选：BCD.] 11．若数列{an}为单调递增数列，且an＝2n－1＋，则a3的取值范围为　__________　. 解析：当n≥2时，an－an－1＝2n－1＋－(2n－3＋)＝2－， 因为数列{an}为单调递增数列，所以2－＞0对n≥2(n∈N)恒成立， 即λ＜2n＋1对n≥2(n∈N)恒成立，所以λ＜8， 所以a3＝5＋＜6，故a3的取值范围为(－∞，6)． 答案：(－∞，6) 12．已知数列{an}的通项公式为an＝1＋ ，其中a∈R. (1)若a＝－9，求数列{an}的最小项和最大项； (2)若不等式an≤a8对任意的n∈N＋恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)若a＝－9，则an＝1＋ . 于是，结合函数f(x)＝1＋ 的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，且a5>a6>a7>…>1. 故数列{an}的最小项为a4＝1＋ ＝0，最大项为a5＝1＋ ＝2. (2)对an＝1＋ 进行变形，可得an＝1＋ . 因为不等式an≤a8对任意的n∈N＋恒成立，所以结合函数f(x)＝1＋ 的单调性，可知应满足7<－ <8，解得－16<a<－14.故实数a的取值范围是(－16，－14)． [素养培优练] 13．(2022·北京卷)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：C　[设等差数列{an}的公差为d，且d≠0，记[x]为不超过x的最大整数． 若{an}为单调递增数列，则d＞0， 若a1≥0，则当n≥2时，an＞a1≥0；若a1<0，则an＝a1＋(n－1)d， 由an＝a1＋(n－1)d>0，可得n>1－，取N0＝＋1，则当n>N0时，an>0， 所以“{an}是递增数列”⇒“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”； 若存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0，取k∈N*且k>N0，ak＞0， 假设d＜0，令an＝ak＋(n－k)d＜0可得n＞k－，且k－＞k， 当n＞＋1时，an＜0，与题设矛盾，假设不成立，则d＞0，即数列{an}是递增数列． 所以“{an}是递增数列”⇐“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”． 所以，“{an}是递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的充分必要条件．] 14．在数列{an}中，已知an＝，且a2＝，a3＝. (1)求通项公式an； (2)求证：{an}是递增数列； (3)求证：1≤an＜. 解：(1)∵a2＝，a3＝， ∴解得，因此an＝. (2)证明： ∵an＋1－an＝－ ＝＞0， ∴an＋1＞an，故{an}是递增数列． (3)证明：∵an＝＝＝－，而n∈N＋，n≥1，∴an＜，an＝－≥－＝1， 故1≤an＜. 5 学科网（北京）股份有限公司 $