2.6.1 第1课时 函数的单调性与导数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“函数的单调性与导数”核心知识点，通过乒乓球高度与时间的情境引入，联系瞬时速度正负与高度变化趋势，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接导数定义与单调性应用。 其亮点在于结合情境与图像分析培养直观想象，通过判断f(x)=2x-sinx单调性、求f(x)=3x²-2lnx单调区间等实例强化逻辑推理和数学运算。规律总结步骤清晰，助力学生系统掌握方法，提升数学思维，也为教师提供完整教学资源，提高教学效率。

§6 用导数研究函数的性质 6.1 函数的单调性 第1课时 函数的单调性与导数 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第二章 导数及其应用 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课程标准 素养解读 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性． 3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 1.在学习函数单调性与导数的关系中提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2．在研究多项式函数的单调性与单调区间的基础上达成逻辑推理、数学运算的核心素养 [情境引入] 竖直向下抛一乒乓球，乒乓球的高度h是时间t的函数，横轴表示时间t，纵轴表示乒乓球的高度h，观察乒乓球竖直向上的瞬时速度(只考虑其正负)和球的高度变化趋势(上升/下降)，你能得到什么规律？ 提示：下降瞬时速度为负，上升瞬时速度为正。 [知识梳理] [知识点]　 导数的符号与函数的单调性之间具有如下性质　 (1)若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增； (2)若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)＜0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减； (3)若在某个区间内， f′(x)≥0且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增； (4)若在某个区间内， f′(x)≤0且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减．　　 如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？ [提示]　f(x)是常数函数． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减．(　　) (2)若函数f(x)是定义在R上的增函数，那么一定有f′(x)>0.(　　) (3)在某个区间内，f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(　　) (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝f(x)的图像如图所示，则(　　) A．f′(3)>0　　　　 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 解析：B　[由题中图像可知，函数f(x)在(2,5)上单调递减，故在(2,5)上有f′(x)<0.故f′(3)<0.] 3．函数f(x)＝2x－ln x的单调递减区间为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D．(－∞，2) 解析：A　[f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝2－eq \f(1,x)<0，解得x<eq \f(1,2)，所以函数f(x)＝2x－ln x的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).] 4．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上单调递　________　. 解析：增　[∵f(x)＝1＋x－sin x，∴f′(x)＝1－cos x．∵x∈(0,2π)， ∴cos x∈[－1,1)．∴f′(x)＝1－cos x>0.∴函数f(x)在(0,2π)上单调递增．] 导数与函数图像的关系 [例1]　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　) 解析：D　[由函数的图像知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．] 1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可． 2．通过图像研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负． [变式训练] 1．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　) 解析：D　[A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．] [答案]　A 判断或证明函数的单调性 [例2]　(1)函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数　　　　　 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 [解析]　∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数． (2)求证：f(x)＝ex＋eq \f(1,ex)在(0，＋∞)上是增函数． [证明]　∵f(x)＝ex＋eq \f(1,ex)，∴f′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)，当x∈(0，＋∞)时，由指数函数的性质知e－x＞0，e2x＞1，∴f′(x)＞0，因此函数f(x)＝ex＋eq \f(1,ex)在(0，＋∞)上是增函数． 利用导数证明或判断函数单调性的思路 [变式训练] 2．(1)利用导数判断下列函数的单调性： ①f(x)＝x3＋3x；②f(x)＝sin x－x，x∈(0，π); ③f(x)＝eq \f(x－1,x). 解：①因为f(x)＝x3＋3x, 所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0， 所以函数f(x)＝x3＋3x在R上单调递增． ②因为f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)，所以f′(x)＝cos x－1＜0， 所以f(x)＝sin x－x在(0，π)上单调递减． ③因为f(x)＝1－eq \f(1,x)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f′(x)＝eq \f(1,x2)＞0， 所以函数f(x)＝1－eq \f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增． (2)证明函数f(x)＝eq \f(ln x,x) 在区间(0,2)上单调递增． 证明：因为f(x)＝eq \f(ln x,x)，所以f′(x)＝eq \f(\f(1,x)·x－ln x,x2)＝eq \f(1－ln x,x2). 因为0<x<2，所以ln x<ln 2<1. 所以f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)>0，即函数在区间(0,2)上单调递增． 求函数的单调区间 [例3]　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋eq \f(1,x). [解]　 (1)函数的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)＝6x－eq \f(2,x)，令f′(x)＝0，得x1＝eq \f(\r(3),3)，x2＝－eq \f(\r(3),3)(舍去)，当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表： x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))) eq \f(\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ ↗ ∴函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)). (2)函数的定义域为(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x ＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f′(x) ↘ ↗ ↘ ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)． (3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f′(x)＝1－eq \f(1,x2)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) ↗ ↘ ↘ ↗ ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数． (4)结合定义域写出单调区间． [变式训练] 3．求函数f(x)＝x＋eq \f(b,x) (b>0)的单调区间． 解：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,x)))′＝1－eq \f(b,x2)， 令f ′(x)>0，则eq \f(1,x2)(x＋eq \r(b) )(x－eq \r(b) )>0，∴x>eq \r(b)或x<－eq \r(b) . ∴函数的单调递增区间为(－∞，－eq \r(b) )和(eq \r(b) ，＋∞)． 令f ′(x)<0，则eq \f(1,x2)(x＋eq \r(b) )(x－eq \r(b) )<0， ∴－eq \r(b) <x<eq \r(b) ，且x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－eq \r(b) ,0)和(0，eq \r(b) )． 综上所述，函数的单调递增区间为(－∞，－eq \r(b) )和(eq \r(b) ，＋∞)，单调递减区间为(－eq \r(b) ,0)和(0，eq \r(b) )． [当堂达标] 1．设函数f(x)的图像如图所示，则导函数f′(x)的图像可能为(　　) 解析：C　[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.] 2．下列函数中，在其定义域上为增函数的是(　　) A．y＝x4 B．y＝2－x C．y＝x＋cos x D．y＝－xeq \f(1,2) 解析：C　[对于A选项，函数y＝x4为偶函数，在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减；对于B选项，函数y＝2－x在R上递减；对于C选项，y′＝1－sin x≥0在R上恒成立，则函数y＝x＋cos x在其定义域R上递增；对于D选项，函数y＝－xeq \f(1,2)在(0，＋∞)上递减．故选：C.] 3．若函数f(x)＝sin x－eq \f(1,2)x，则函数f(x)在区间(0，π)上的单调增区间为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) 解析：D　[f′(x)＝cos x－eq \f(1,2)，由f′(x)＞0得cos x＞eq \f(1,2)，在区间(0，π)上，当0＜x＜eq \f(π,3)时，满足cos x＞eq \f(1,2).] 4．求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间． 解：f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如表： x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ －ek－1 ↗ 所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间是(k－1，＋∞)． $