2.5 简单复合函数的求导法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦简单复合函数求导法则，通过“如何求y=ln(2x-1)的导数”情境引入，衔接基本求导公式与四则运算法则，构建“问题驱动—概念梳理—法则应用”的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于以情境创设激发探究欲，通过分解复合关系、分步求导步骤培养数学抽象与运算素养，如例1中分解y=e^(x²-1)为y=e^u和u=x²-1，结合变式训练与错误辨析（如判断y=sin(πx)复合过程），助力学生深化理解，教师可依托系统学案提升教学效率。

§5 简单复合函数的求导法则 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第二章 导数及其应用 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课程标准 素养解读 1.能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 2．能利用复合函数的求导公式解决简单的实际问题. 1.在运用复合函数求导公式解题过程中提升数学抽象和数学运算的核心素养． 2．在解决实际问题的过程中培养数学建模的核心素养. [情境引入] 如何求函数y＝ln(2x－1)的导数？ 现有方法无法求出它的导数． (1)用定义不能求出极限； (2)不是基本初等函数，没有求导公式； (3)不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题． 这节课我们就来研究这类函数的求导问题。 [知识梳理] [知识点一]　复合函数的概念　 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成 　x的函数　，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的　复合函数　，记作　y＝f(φ(x))　，其中u为中间变量． 1.函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示]　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． [知识点二]　复合函数的求导法则　 y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．其中u＝φ(x) [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx.(　　) (2)函数y＝eq \f(1,3x－12)的导数是y′＝－eq \f(6,3x－13).(　　) (3)f(x)＝ln(3x－1)，则f ′(x)＝eq \f(1,3x－1).(　　) (4)f(x)＝x2cos 2x，则f ′(x)＝2xcos 2x＋2x2sin 2x.(　　) 答案：(1)√　 (2) √ (3)×　(4)× 2．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　) A．y＝un，u＝x2－1　　 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案：A 3．已知f(x)＝x3＋sin 3x，则其导函数f′(x)＝(　　) A．3x2＋3cos x B．x3＋3cos x C．x3＋3cos 3x D．3x2＋3cos 3x 解析：D　[f ′(x)＝3x2＋cos 3x·(3x)′＝3x2＋3cos 3x.] 4．函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))的导数为　________　. 解析：y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))))′＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))·(－3)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x)). 答案：3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x)) 复合函数的导数 [例1]　求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝eq \f(1,2x－13)； (3)y＝5log2(1－x)；(4) y＝sin (πx＋φ)． [解]　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数y＝eq \f(1,2x－13)可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数， ∴yx′＝yu′·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝ －6(2x－1)－4＝－eq \f(6,2x－14). (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴yx′＝yu′·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝eq \f(－5,uln 2)＝eq \f(5,x－1ln 2). (4) 函数y＝sin (πx＋φ)可以看成函数y＝sin u，u＝πx＋φ的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝(sin u)′·(π x＋φ)′＝cos u·π＝πcos(πx＋φ)． 1．解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数． (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤 [变式训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)； (3)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))；(4)y＝eq \f(1,\r(1－2x)). 解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u， 所以y′x＝y′u·ux′＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10. (2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u， 所以y′x＝y′u·u′x＝eq \f(1,u)·(ex＋x2)′＝eq \f(1,ex＋x2)·(ex＋2x)＝eq \f(ex＋2x,ex＋x2). (3)设y＝2sin u，u＝3x－eq \f(π,6)， 则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))). (4)设y＝u－eq \f(1,2)，u＝1－2x， 则y′x＝y′u·u′x＝(u－eq \f(1,2))′·(1－2x)′＝－eq \f(1,2)u－eq \f(3,2)×(－2)＝(1－2x)－eq \f(3,2) 复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2]　求下列函数的导数． (1)y＝eq \f(ln 3x,ex)；(2)y＝xeq \r(1＋x2)； (3)y＝xcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))). [解]　(1)∵(ln 3x)′＝eq \f(1,3x)×(3x)′＝eq \f(1,x)， ∴y′＝eq \f(ln 3x′ex－ln 3xex′,ex2)＝eq \f(\f(1,x)－ln 3x,ex)＝eq \f(1－xln 3x,xex). (2)y′＝(xeq \r(1＋x2))′＝x′eq \r(1＋x2)＋x(eq \r(1＋x2))′ ＝eq \r(1＋x2)＋eq \f(x2,\r(1＋x2))＝eq \f(1＋2x2\r(1＋x2),1＋x2). (3)∵y＝xcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－eq \f(1,2)xsin 4x， ∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)xsin 4x))′＝－eq \f(1,2)sin 4x－eq \f(x,2)cos 4x·4＝－eq \f(1,2)sin 4x－2xcos 4x. 1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的． 2．对于复合函数的求导，在熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． [变式训练] 2．求下列函数的导数． (1)y＝sin2eq \f(x,3)；(2)y＝sin3x＋sin x3； (3)y＝xln(1＋x)． 解：(1)∵y＝eq \f(1－cos\f(2,3)x,2) ， ∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)cos\f(2,3)x)) ′＝eq \f(1,3) sin eq \f(2,3) x. (2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. (3)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′＝ln(1＋x)＋eq \f(x,1＋x). 复合函数导数法则的综合应用 [例3]　(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A.eq \r(5)　　　　　　　 B．2eq \r(5) C．3eq \r(5) D．0 (2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝　________　. [思路点拨] (1)eq \x(设Px0，y0)→eq \x(由y′|x＝x0＝2求Px0，y0) →eq \x(点到直线的距离求最小值) (2)eq \x(求y′|x＝0)→eq \x(由y′|x＝0＝2求a的值) [解析]　(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝eq \f(2,2x－1)，∴y′|x＝x0＝eq \f(2,2x0－1)＝2， 解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)． ∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5). (2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2. [答案]　(1)A　(2)2 [母题探究] 1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2eq \r(5)”，求m的值． [解]　由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝eq \f(2,2x0－1)＝2，∴x0＝1，即切点P(1,0)， ∴eq \f(|2－0＋m|,\r(5))＝2eq \r(5)，解得m＝8或－12. 即实数m的值为8或－12. 2．(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积． [解]　由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0. 令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－eq \f(1,2).∴S△＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,4). 本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键． [变式训练] 3．(1)设f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝eq \f(3,2)x在(0,0)点相切．求a，b的值． 解：由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b，得f′(x)＝eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,2\r(x＋1))＋a，则f′(0)＝1＋eq \f(1,2)＋a＝eq \f(3,2)＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得eq \f(3,2)＋a＝eq \f(3,2)，故a＝0. (2)曲线y＝f(x)＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(2) ，求直线l的方程． 解：设u＝sin x，则f′(x)＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cos xesin x，f′(0)＝1，切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0. 因为直线l与切线平行，所以可设直线l的方程为x－y＋c＝0. 两平行线间的距离d＝eq \f(|c－1|,\r(2)) ＝eq \r(2) ，解得c＝3或c＝－1. 故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0. [当堂达标] 1．函数y＝(2 023－8x)8的导数为(　　) A．y′＝8(2 023－8x)7　 B．y′＝－64x C．y′＝64(8x－2 023)7 D．y′＝64(2 023－8x)7 解析：C　[y′＝8(2 023－8x)7(2 023－8x)′＝－64(2 023－8x)7＝64(8x－2 023)7.] 2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 解析：B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝ 2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.] 3．函数y＝xln (2x＋5)的导数为(　　) A．ln(2x＋5)－eq \f(x,2x＋5) B．ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5) C．2xln (2x＋5) D.eq \f(x,2x＋5) 解析：B　[y′＝[xln (2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln (2x＋5)]′＝ln (2x＋5)＋x·eq \f(1,2x＋5) ·(2x＋5)′＝ln (2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5) .] 4．求下列函数的导数． (1)y＝ln (2x2＋x)；(2)y＝x·eq \r(2x－1) . 解：(1)设u＝2x2＋x，则yx′＝yu′ux′＝(ln u)′(2x2＋x)′＝eq \f(1,u)(4x＋1)＝eq \f(4x＋1,2x2＋x) . (2)y′＝x′eq \r(2x－1) ＋x(eq \r(2x－1) )′. 先求t＝eq \r(2x－1) 的导数．设u＝2x－1，则t＝ueq \f(1,2) ， tx′＝tu′ux′＝eq \f(1,2)u－eq \f(1,2)(2x－1)′＝eq \f(1,2) ×eq \f(1,\r(2x－1)) ×2＝eq \f(1,\r(2x－1)) . ∴y′＝eq \r(2x－1) ＋eq \f(x,\r(2x－1)) ＝eq \f(3x－1,\r(2x－1)) . $