2.3 导数的计算-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“导数的计算”，涵盖导函数概念、基本初等函数导数公式及应用。通过情境引入，从导数定义出发，联系基本初等函数，引出导数运算法则的必要性，搭建从定义到公式应用的学习支架。 其亮点在于“课前-课堂-课后”一体化设计，通过预习自测夯实基础，课堂互动题型（如切线方程求解、物理中速度加速度计算）强化应用，结合逻辑推理与数学运算核心素养。实例丰富，如利用导数几何意义解决切线问题，助力学生提升运算与推理能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

§3 导数的计算 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第二章 导数及其应用 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课程标准 素养解读 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数． 2．能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. 通过运用基本初等函数导数公式解决简单的问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. [情境引入] 由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的．在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的．由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数．本节我们就来研究这些问题． [知识梳理] [知识点一]　导函数的概念　 一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数f′(x)＝　eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)　，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数．有时也将导数记作y′. 1.f ′(x0)与f ′(x)有什么区别？ [提示]　 f′(x0)是一个确定的数，而f ′(x)是一个函数． [知识点二]　导数公式表　 函数 导函数 y＝c(c是常数) y′＝　0　 y＝xα(α是实数) y′＝　αxα－1　 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝　axln_a　，特别地(ex)′＝　ex　 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝　eq \f(1,xln a)　，特别地(ln x)′＝　eq \f(1,x)　 y＝sin x y′＝　cos_x　 y＝cos x y′＝　－sin_x　 y＝tan x y′＝　eq \f(1,cos2 x)　 2.常数函数的导数为0，说明什么？ [提示]　说明常数函数y＝c图像上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数函数的导数是它本身．(　　) (2)指数函数的导数还是指数函数．(　　) (3)正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选)下列结论正确的是(　　) A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5 C．若y＝x－1，则y′＝－x－2 D．若y＝xeq \f(1,2) ，则y′＝eq \f(1,2) xeq \f(1,2) 答案：ABC 3．若f(x)＝coseq \f(π,4) ，则f′(x)＝(　　) A．－sin eq \f(π,4)　　　　 B．sin eq \f(π,4) C．0 D．－cos eq \f(π,4) 解析：C　[f(x)＝cos eq \f(π,4) ＝eq \f(\r(2),2) ，故f′(x)＝0.] 4．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标是　________　. 解析：(x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴，则切线斜率k＝0，即3x2＝0，得x＝0，∴y＝0，即切点为(0,0)． 答案：(0,0) 用求导公式求函数的导数 [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝x－3；(2)y＝3x; (3)y＝log5x；(4)y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))；(5)y＝sin eq \f(π,6)；(6)y＝ln x；(7)y＝ex. [解]　(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3. (3)y′＝eq \f(1,xln 5). (4)∵y＝sin x，∴y′＝cos x．(5)y′＝0.(6)y′＝eq \f(1,x). (7)y′＝ex. 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [变式训练] 1．(多选)下列结论错误的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝cos eq \f(π,3) C．若y＝eq \f(1,x2)，则y′＝－eq \f(1,x) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝eq \f(1,2x\r(x)) 解析：ABC　[因为(cos x)′＝－sin x，所以A错误；sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))′＝0，所以B错误；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝(x－2)′＝－2x－3，所以C错误；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝(－x－eq \f(1,2))′＝eq \f(1,2)x－eq \f(3,2)＝eq \f(1,2x\r(x))，所以D正确．] 利用导数公式求切线方程 [例2]　求曲线y＝ln x在点P(e,1)处的切线方程． [解]　因为y′＝eq \f(1,x)，所以当x＝e时，y′＝eq \f(1,e)，即切线斜率为eq \f(1,e)，所以切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0. [母题变式] 1．求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线． [解]　因为点O(0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率k＝eq \f(1,a)，又因为k＝eq \f(b－0,a－0)，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，所以切线方程为x－ey＝0. 2．若方程ln x＝mx恰有一个根，求m的取值范围． 解：问题可以转化为函数y＝ln x与y＝mx的图像有且仅有一个公共点．由图像易知m≤0满足条件．另外就是y＝mx是y＝ln x的切线时满足条件．因为y＝mx图像过(0,0)，设切点为Q(a，b)，则切线斜率m＝eq \f(1,a)，又因为m＝eq \f(b－0,a－0)，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，m＝eq \f(1,e)，即m的取值范围为(－∞，0]∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,e))). 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． [变式训练] 2．在曲线y＝f(x)＝eq \f(1,x2)上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解：设切点坐标为P(x0，y0)，f′(x0)＝－2xeq \o\al(－3,0)＝tan 135°＝－1，即－2xeq \o\al(－3,0)＝－1，∴x0＝2eq \f(1,3).代入曲线方程得y0＝2－eq \f(2,3)，∴点P的坐标为(2eq \f(1,3)，2－eq \f(2,3))． 导数的简单应用 [例3]　(1)若质点的运动方程是s＝sin t，则质点在t＝eq \f(π,3) 时的速度为　________　；质点运动的加速度为　________　. [解析]　v(t)＝s′(t)＝cos t，∴veq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝cos eq \f(π,3) ＝eq \f(1,2) ，即质点在t＝eq \f(π,3) 时的速度为eq \f(1,2) . ∵v(t)＝cos t，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t，－sin eq \f(π,3) ＝－eq \f(\r(3),2) . [答案]　eq \f(1,2) 　－eq \f(\r(3),2) (2)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在两条曲线的一个公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． [解]　设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 要使两条切线互相垂直，必须满足cos x0(－sin x0)＝－1，即sin x0cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 导数的简单应用 (1)导数在物理中的应用：位移对时间t的导数就是速度，速度对时间t的导数即为加速度． (2)导数在函数中的应用：利用导数的几何意义，即切线的斜率建立切点的横坐标与切线斜率之间的关系解决问题． [变式训练] 3．(1)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝eq \r(5,t) ，则质点在t＝4时的速度为(　　) A.eq \f(1,2\r(5,23))　　　　　　 B.eq \f(1,10\r(5,23)) C.eq \f(2,5) eq \r(5,23) D.eq \f(1,10) eq \r(5,23) 解析：B　[∵s′＝eq \f(1,5)t－eq \f(4,5)，∴当t＝4时， s′＝eq \f(1,5) ×eq \f(1,\r(5,44)) ＝eq \f(1,10\r(5,23)) .] (2)如图，已知曲线f(x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线g(x)＝eq \r(x)(x≥0)相切于点P，且在点P处有相同的切线l，求点P的坐标及a的值． 解：设切点P(x0，y0)，由直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，得切线l的斜率为f′(x0)＝4x0. 由直线l与曲线y＝g(x)也相切于点P，得切线l的斜率为g′(x0)＝eq \f(1,2\r(x0)). 由f′(x0)＝g′(x0)，得4x0＝eq \f(1,2\r(x0))，解得x0＝eq \f(1,4). ∴y0＝eq \r(x0)＝eq \f(1,2)，即点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))). 由点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))在曲线y＝f(x)上，得2×(eq \f(1,4))2＋a＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(3,8). ∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))，a的值为eq \f(3,8). [当堂达标] 1．已知f(x)＝cos x，f′(α)＝eq \f(1,2)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则角α等于(　　) A.eq \f(5π,6)　　　　　　　　 B.eq \f(7π,6) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(4π,3) 解析：B　[由题意得f ′(x)＝－sin x，故sin α＝－eq \f(1,2).又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，故α＝eq \f(7π,6).] 2．(多选)下列求导运算错误　的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．(3x)′＝3xlog3e C．(lg x)′＝eq \f(1,x ln 10) D．(x－2)′＝－2x－1 解析：ABD　[(cos x)′＝－sin x，故A不正确；(3x)′＝3x·ln 3，故B不正确；(lg x)′＝eq \f(1,x ·ln 10)，故C正确；(x－2)′＝－2x－2－1＝－2x－3，故D不正确．] 3．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为　________　. 解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－eq \f(1,3). 答案：1或－eq \f(1,3) 4．求过曲线y＝sin x上点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2))) 且与在这一点处的切线垂直的直线方程． 解：因为y＝sin x，所以y′＝cos x. 因为曲线在点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2))) 处的切线斜率是cos eq \f(π,6) ＝eq \f(\r(3),2) ， 所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为－eq \f(2,\r(3)) . 所以所求的直线方程为y－eq \f(1,2) ＝－eq \f(2,\r(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) ，即2x＋eq \r(3) y－eq \f(\r(3),2) －eq \f(π,3) ＝0. $