2.2.1-2.2.2 导数的概念 导数的几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“导数的概念及其几何意义”核心知识点，属于北师大版选择性必修二第二章导数及其应用。通过课前预习学案衔接函数知识，为后续导数应用搭建学习支架，帮助学生逐步构建知识脉络。 其亮点在于采用“课前预习-课堂互动-课时素养提升”三阶设计，结合数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），如课堂互动学案通过问题链引导逻辑推理，课时作业链接实际应用。学生能提升数学思维与应用能力，教师可系统推进教学，提高课堂效率。

§2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第二章 导数及其应用 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课程标准 素养解读 1.理解导数的概念及导数的几何意义． 2．会求导数及理解导数的实际意义． 3．掌握利用导数求切线方程的方法. 1.通过对导数概念学习，达成数学抽象的核心素养． 2．通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心素养. [情境引入] 前面我们研究了两类变化率问题：平均变化率和瞬时变化率．在解决问题时，采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题． [知识梳理] [知识点一]　函数f(x)在x＝x0处的导数　 1．函数f(x)在x＝x0处的导数 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0 变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx1－fx0,x1－x0) ＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). 当x1趋于 x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数．通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do4(x1→x0)) eq \f(fx1－fx0,x1－x0) ＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). [知识点二]　导数的几何意义　 1．割线的定义 设函数y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线，且函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)，如图，它是经过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 2．切线的定义 当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切． 3．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 　曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？ [提示]　曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)函数在x0处的导数f′(x0)与x0和Δx都有关．(　　) (3)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) (5)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) (6)若f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)＞f′(xB)　　 B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析：B　[由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图像可知f′(xA)＜f′(xB)．] 3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　) A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 解析：A　[由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，所以f′(x0)>0.] 4．由导数的定义可求得，函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的导数 f ′(1)＝　________　. 解析：∵ eq \f(Δy,Δx) ＝ eq \f(f1＋Δx－f1,Δx) ＝eq \f(1＋Δx2－21＋Δx＋1,Δx) 当Δx趋于0时， eq \f(Δy,Δx) 趋于0，∴f ′(1)＝x＝0. 答案：0 求函数在一点处的导数 [例1]　(1)若lieq \o(m,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) ＝k，则lieq \o(m,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(fx0＋2 Δx－fx0,Δx) 等于(　　) A．2k　　　　　　 B．k C.eq \f(1,2) k D．以上都不是 [解析]　 lieq \o(m,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,Δx) ＝2 lieq \o(m,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx) ＝2 lieq \o(m,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) ＝2k. [答案]　A (2)函数y＝eq \r(x) 在x＝1处的导数是　________　. [解析]　∵Δy＝eq \r(1＋Δx) －1，∴eq \f(Δy,Δx) ＝eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx) ＝eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1) ， 当Δx趋于0时，lieq \o(m,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(Δy,Δx) ＝eq \f(1,2) ， ∴函数y＝eq \r(x) 在x＝1处的导数为eq \f(1,2) . [答案]　eq \f(1,2) (3)求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． [解]　∵f(x)＝2x2＋4x， ∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3) ＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx. ∴eq \f(Δy,Δx) ＝eq \f(2Δx2＋16Δx,Δx) ＝2Δx＋16. 当Δx趋于0时，lieq \o(m,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(Δy,Δx) ＝16，∴f′ (3)＝16. 利用导数定义求导数的三步曲 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) (2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx) ＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) (3)取极限，得导数f′(x0)＝lieq \o(m,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(Δy,Δx) . 简记为：一差，二比，三趋近. [变式训练] 1．已知f′(1)＝－2，则eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f1－2Δx－f1,Δx)＝　________　. 解析：∵f′(1)＝－2，∴eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f1－2Δx－f1,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f1－2Δx－f1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×－2Δx)＝－2lieq \o(m,\s\up6(,Δx→0)) eq \f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4. 答案：4 2．求函数f(x)＝eq \f(1,\r(x))在x＝1处的导数． 解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq \f(1,\r(1＋Δx))－1＝eq \f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq \f(－Δx,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))， ∴eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(1,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx)). 当Δx无限趋近于0时，1＋Δx无限趋近于1， ∴eq \f(Δy,Δx)无限趋近于－eq \f(1,2)， ∴f′(1)＝－eq \f(1,2). 导数的实际意义 [例2]　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． [解]　在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)．根据导数的定义，eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq \f(2＋Δx2－72＋Δx＋15－22－7×2＋15,Δx) ＝eq \f(4Δx＋Δx2－7Δx,Δx)＝Δx－3， 当Δx趋于0时，eq \f(Δy,Δx)趋于－3.∴f′(2)＝－3. 同理可得f′(6)＝5. 所以在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速度下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速度上升，f′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况． 要弄清在实际问题中导数的意义，一定要正确计算Δy和Δx，并知道它们的实际意义，再看eq \f(Δy,Δx)，当Δx→0时，eq \f(Δy,Δx)趋于定值的实际意义． [变式训练] 3．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝eq \f(120,t＋5)＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min) (1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？ (3)求T′(5)，并说明它的实际意义． 解：(1)在t＝0 min和t＝10 min时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝eq \f(120,0＋5)＋15＝39，T(10)＝eq \f(120,10＋5)＋15＝23，故从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了39－23＝16 ℃. (2)平均变化率为eq \f(T10－T0,10)＝－eq \f(16,10)＝－1.6， 它表示从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)T′(5)＝eq \o(lim,\s\do4(Δt→0)) eq \f(\f(120,5＋Δt＋5)＋15－\f(120,5＋5)－15,Δt)＝eq \o(lim,\s\do4(Δt→0)) eq \f(－12,10＋Δt)＝－1.2， 它表示t＝5 min时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min. 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 [例3]　已知曲线f(x)＝x2， (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程． [解]　(1)设切点为(x0，y0)，∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝ eq \f(x\o\al(2,0)＋2x0Δx＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx) ＝ 2x0＋Δx， 当Δx→0时，eq \f(Δy,Δx)趋于2x0，∴f′(x0)＝2x0. ∴f′(1)＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)点P(3,5)不在曲线f(x)＝x2上，设切点为(x0，y0)， 由(1)知，f′(x0)＝2x0， ∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)． 由点P(3,5)在所求直线上，得5－y0＝2x0(3－x0)，① 再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上，得y0＝xeq \o\al(2,0)，② 联立①和②得xeq \o\al(2,0)－6x0＋5＝0，x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即10x－y－25＝0. 综上，过点P(3,5)的切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． [变式训练] 4．求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程． 解：设切点为(x0，xeq \o\al(2,0)＋x0＋1)，∵eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(x0＋Δx2＋x0＋Δx＋1－x\o\al(2,0)＋x0＋1,Δx)＝Δx＋2x0＋1. 当Δx→0时，eq \f(Δy,Δx)趋于2x0＋1，则切线的斜率为2x0＋1. 又k＝eq \f(x\o\al(2,0)＋x0＋1－0,x0－－1)＝eq \f(x\o\al(2,0)＋x0＋1,x0＋1)， ∴2x0＋1＝eq \f(x\o\al(2,0)＋x0＋1,x0＋1). 解得x0＝0或x0＝－2. 当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0. 当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0. 故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. [当堂达标] 1．若f(x)＝x3，f ′(x0)＝3，则x0的值为(　　) A．3 B．±1 C．±eq \r(3) D．3eq \r(3) 解析：B　[∵eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \f(x0＋Δx3－x\o\al(3,0),Δx)＝ (Δx)2＋3x0Δx＋3xeq \o\al(2,0)， 当Δx趋于0时，eq \f(Δy,Δx)趋于3xeq \o\al(2,0)，∴ f ′(x0)＝3xeq \o\al(2,0)＝3，∴x0＝±1.] 2．若曲线y＝f(x)上在点(1,3)处的切线过点(0,2)，则有(　　) A．f′(1)>0 B．f′(1)＝0 C．f′(1)<0 D．f′(1)不存在 解析：A　[由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以k＝f ′(1)＝eq \f(3－2,1－0) ＝1>0.] 3．(多选)若f(x)＝x3＋x－1，f′(x0)＝4，则x0的值为(　　) A．1 B．－1 C．3eq \r(3) D．－3eq \r(3) 解析：AB　[∵eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \f(x0＋Δx3＋x0＋Δx－1－x\o\al(3,0)＋x0－1,Δx)＝ 3xeq \o\al(2,0)＋1＋3x0·Δx＋(Δx)2 ，∴当Δx趋于0时，eq \f(Δy,Δx)趋于3xeq \o\al(2,0)＋1，f′(x0)＝3xeq \o\al(2,0)＋1＝4.解得x0＝±1.] 4．设函数f(x)在x＝1处存在导数，其值为2，则eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,3Δx)＝　________　. 解析：由极限的运算法则结合导函数的定义可得eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,3Δx)＝eq \f(1,3) eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \f(1,3)×f′(1)＝eq \f(2,3). 答案：eq \f(2,3) 5．一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T(单位：℃)与时间t(单位：min)间的关系，由函数T＝f(t)给出．请问： (1)f′(t)的符号是什么？为什么？ (2)f′(3)＝－4的实际意义是什么？ 解析：(1)f′(t)是负数．因为f′(t)表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f′(t)为负数． (2)f′(3)＝－4表明在3 min附近时，温度约以4 ℃/min的速度下降． $