2.1.1-2.1.2 平均变化率 瞬时变化率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数及其应用，核心讲解平均变化率与瞬时变化率，通过高台跳水运动情境导入，从函数值改变量与自变量改变量之比入手，逐步引导学生理解从平均变化率到瞬时变化率的“逼近”过程，构建预习、课堂互动、变式训练的学习支架。 其特色在于以真实情境和问题驱动，通过高台跳水、质点运动等实例，培养学生用数学眼光观察变化现象、用数学思维分析变化规律的核心素养。采用“定义梳理-例题解析-变式训练”模式，帮助学生掌握计算方法，教师可借助该资料提升课堂效率，学生能深化对变化率的理解与应用能力。

§1 平均变化率与瞬时变化率 1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第二章 导数及其应用 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课程标准 素养解读 1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率． 2．知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量. 1.通过对变化率是描述函数变化快慢的量的学习，培养了学生直观想象和数学抽象的核心素养． 2．借助求简单函数的平均变化率的学习，养成了学生的数学运算的核心素养. [情境引入] 高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8. 如何利用上述函数关系描述运动员从起跳到入水的过程中运动速度的快慢程度呢？这就是这节课我们要学习的变化率问题． [知识梳理] [知识点一]　平均变化率　 1．定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1, x2] 的平均变化率＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1).通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量的　改变量　，记作　Δx　，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的　改变量　，记作　Δy　.这样，函数的平均变化率就可以表示为　函数值　的改变量与　自变量　的改变量之比，即eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1). 2．作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的　快慢　. 　函数的平均变化率是固定不变的吗？ [提示]　不一定．当x0取定值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx取定值，x0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定． [知识点二]　瞬时变化率　 1．定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx1－fx0,x1－x0)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx). 当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率． 2．作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx＝x2－x1，知Δx可以为0.(　　) (2)Δy＝f(x2)－f(x1)是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．(　　) (3) 瞬时速度刻画某物体在某时刻变化快慢的情况．(　　) (4)平均速度与瞬时速度可能相等．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√(4) √ 2．y＝2x＋1在(1,2)内的平均变化率为(　　) A．3　　　　　　 B．2 C．1 D．0 解析：B　 [eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fb－fa,b－a)＝eq \f(2×2＋1－2×1＋1,2－1)＝2.] 3．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为(　　) A．6＋Δt B．6＋Δt＋eq \f(9,Δt) C．3＋Δt D．9＋Δt 解析：A　[因为Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝6Δt＋(Δt)2，所以eq \f(Δs,Δt)＝6＋Δt.] 4．函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率为　________　. 解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(3Δx,Δx)＝3，∴当Δx趋于0时，eq \f(Δy,Δx)趋于3. 答案：3 求函数的平均变化率 [例1]　求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－eq \f(1,2) 时该函数的平均变化率． 解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为 eq \f(Δy,Δx) ＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) ＝eq \f([2x0＋Δx2＋3]－2x\o\al(2,0)＋3,Δx) ＝eq \f(4x0Δx＋2Δx2,Δx) ＝4x0＋2Δx. 当x0＝2，Δx＝－eq \f(1,2) 时，平均变化率的值为4×2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝7. (1)①求函数值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； ②计算平均变化率：eq \f(Δy,Δx) ＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx) . (2)要注意Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0.若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0. [变式训练] 1．已知运动方程y＝f(x)＝2x2的图像上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)的值为(　　) A．4　　　　　　　　 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx 解析：D　[eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝4＋2Δx.故选D.] 平均变化率的实际应用 [例2]　甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如下图所示，试比较两人的速度哪个快？ [解]　s1(t0)＝s2(t0)，s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)， 故eq \f(s1t0－s1t0－Δt,Δt)<eq \f(s2t0－s2t0－Δt,Δt). 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，即在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快． 平均变化率的意义 (1)本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程相对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论． (2)平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢. [变式训练] 2．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则下列说法不正确的是(　　) A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 解析：ABD　[在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为eq \f(s0,t0)，故A、B错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为eq \f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度为eq \f(s1－s0,t1－t0).因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以eq \f(s2－s0,t1－t0)>eq \f(s1－s0,t1－t0)，故C正确，D错误．] 求瞬时变化率 [例3]　质点P的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)． (1)求质点P在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点P在t＝1时的瞬时速度． [解]　(1)质点P在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为 eq \f(Δs,Δt) ＝eq \f(8－31＋Δt2－8＋3×12,Δt) ＝－6－3Δt(m/s)． (2)由(1)知eq \f(Δs,Δt) ＝－6－3Δt，当Δt趋于0时， eq \f(Δs,Δt) 趋于－6，所以质点P在t＝1时的瞬时速度为－6 m/s. 求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤 (1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)计算eq \f(Δy,Δx) ，并化简，直到当Δx→0或Δx趋于0时有意义为止； (3)将Δx→0或Δx趋于0代入化简后的eq \f(Δy,Δx) 即得瞬时变化率. [变式训练] 3．求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率． 解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1) ＝7Δx＋3(Δx)2. ∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(7Δx＋3Δx2,Δx)＝7＋3Δx. ∴当Δx趋于0时，eq \f(Δy,Δx)＝7＋3Δx趋于7＋3×0＝7. ∴函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7. [当堂达标] 1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 解析：B　[平均变化率为eq \f(1－3,3－1)＝－1.] 2．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是(　　) A．v0 B.eq \f(Δt,st0＋Δt－st0) C.eq \f(st0＋Δt－st0,Δt) D.eq \f(st,t) 解析：C　[由平均变化率的概念知C正确．] 3．观察函数f(x)的图像如图所示，平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)表示(　　) A．直线AB的点斜式方程` B．直线AB的斜截式方程 C．直线AB的两点式方程 D．直线AB的斜率 解析：D　[eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq \f(BC,AC)＝tan ∠BAC＝kAB.] 4．已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，y0)处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为　________　. 解析：Δy＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x0＋Δx2＋1)) －(2xeq \o\al(2,0)＋1)＝4x0Δx＋2(Δx)2，eq \f(Δy,Δx) ＝4x0＋2Δx，当Δx趋于0时，eq \f(Δy,Δx) 趋于4x0＝－8.∴x0＝－2.∴点M的坐标为(－2,9)． 答案：(－2,9) $