1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

§3 等比数列 3.1 等比数列 第1课时 等比数列的概念及其通项公式 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第一章 数 列 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课程标准 素养解读 1.理解等比数列的定义． 2．掌握等比数列的通项公式及其应用． 3．熟练掌握等比数列的判定方法. 在学习等比数列的定义和通项公式的过程中，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列： 9,92,93，…，910　　　　　① 100,1002,1003，…，10010 ② 5,52,53，…，510 ③ 2．《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，eq \f(1,16)，eq \f(1,32)，… ④ 3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64，… ⑤ 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ [知识梳理] [知识点一]　等比数列的概念　 如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前　一项的　比值　都是　同一个　常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的　公比　，通常用字母q表示(q≠0)． 1.能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示]　不能 [知识点二]　等比数列的通项公式　 1．等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝　a1qn－1　(a1≠0，q≠0)． 2．用函数的观点看等比数列的通项 等比数列{an}的图像是函数y＝eq \f(a1,q) ·qx的图像上的一群　孤立的点　. 2.若数列{an}的通项公式为an＝2n，那么{an}是等比数列吗？ [提示]　因为eq \f(an,an－1)＝eq \f(2n,2n－1)＝2，所以数列{an}是等比数列． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．(多选)下列说法中，错误的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列 解析：AB　[根据等比数列的定义可知，A，B错误，C，D正确．] 3．已知数列{an}为等比数列，若a1＝3，a5＝12，则公比q＝(　　) A.eq \f(\r(2),2) B．±eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D．±eq \r(2) 解析：D　[由{an}为等比数列得a5＝a1q4＝12，∴3×q4＝12.∴q＝±eq \r(2) .] 4．等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的通项公式为　________　. 解析：数列{an}的通项公式为an＝2×5n－1. 答案：an＝2×5n－1 等比数列的概念 [例1]　判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,32,33，…，3n－1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…. [解]　(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵eq \f(an,an－1)＝eq \f(3n－1,3n－2) ＝3(n≥2，n∈N＋)，∴该数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵eq \f(a2,a1)＝－1≠eq \f(a3,a2)＝2，∴此数列不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0,0,0，…，是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 判定等比数列，要抓住三个要点 (1)从第2项起． (2)要判定每一项，不能有例外． (3)每一项与它的前一项的比值是同一个常数，且不能为0. [变式训练] 1．(多选)下列各组数中，成等比数列的是(　　) A．1，－2,4，－8　　　 B．－eq \r(2) ,2，－2eq \r(2) ,4 C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4 解析：ABD　[A，B显然是等比数列；因为x可能为0，所以C不是等比数列；a不能为0，D符合等比数列的定义，故D是等比数列．] 等比数列的通项公式及应用 [例2]　在等比数列{an}中． (1)已知a1＝4，q＝－2，求a5； (2)已知a2＝10，a5＝80，求an. [解]　(1)由等比数列的通项公式得，a5＝4×(－2)5－1＝64. (2)设等比数列的公比为q，那么eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q＝10，,a1q4＝80，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝2，,a1＝5.)) 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [变式训练] 2．在等比数列{an}中， (1)已知a2＝4，a5＝－eq \f(1,2) ，求an； (2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝eq \f(1,2) ，求n. 解：(1)方法一　设等比数列的公比为q，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q＝4，,a1q4＝－\f(1,2).)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－8，,q＝－\f(1,2).)) ∴an＝a1qn－1＝(－8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－4. 方法二　设等比数列的公比为q，则eq \f(a5,a2) ＝q3， 即q3＝－eq \f(1,8) ，q＝－eq \f(1,2) .∴an＝a5qn－5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－5＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－4. (2)方法一　设等比数列的公比为q，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a31＋q3＝36，,a41＋q3＝18，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝32，,q＝\f(1,2).)) 从而a1＝eq \f(a3,q2) ＝128.所以an＝128×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1， 由a1qn－1＝eq \f(1,2)，即(eq \f(1,2))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8，得n＝9. 方法二　设等比数列{an}的公比为q. ∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝eq \f(18,36) ＝eq \f(1,2) . ∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18. ∴a4＝16，an＝a4qn－4＝16×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－4. 由16×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－4＝eq \f(1,2) ，得n－4＝5，∴n＝9. 等比数列的判断与证明 [例3]　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． [思路点拨]　①如何由求和公式得通项公式？ ②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？ [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2n,2n－1)＝2； 当n＝1时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(a2,a1)＝eq \f(2,2＋a). 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [母题变式] 1．(变条件)将本例中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列． [证明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝eq \f(1,2)an.又∵S1＝2－a1， ∴a1＝1≠0.又由an＋1＝eq \f(1,2)an知an≠0， ∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2)，∴{an}是等比数列． 2．(变条件，变结论)将本例中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． [解]　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. 所以eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2(n∈N＋)， 所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1. 判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且不为零)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． [变式训练] 3. 在数列{an}中，若an＞0，且an＋1＝2an＋3(n∈N＋)． 证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明：∵an＞0，∴an＋3＞0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝eq \f(2an＋3＋3,an＋3) ＝eq \f(2an＋3,an＋3)＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列． 等比数列的实际应用 [例4]　某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值； (2)当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少元？ [解]　(1)从第一年起，每年这辆车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)， a3＝10(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1qn－1＝10×0.9n－1.所以第n年这辆车的价值为an＝10×0.9n－1万元． (2)当他用满3年时，这辆车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元)． 当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到7.29万元． 等比数列应用题的两种常见类型 (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型． (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决． [变式训练] 4．嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是(Lg 2≈0.3，lg 3.8≈0.6)(　　) A．40 B．41 C．42 D．43 解析：C　[设对折n次时，纸的厚度为an，每次对折厚度变为原来的2倍， 由题意知{an}是以a1＝0.1×2为首项，公比为2的等比数列， 所以an＝0.1×2×2n－1＝0.1×2n，令an＝0.1×2n≥38×104×106， 即2n≥3.8×1012，所以lg 2n≥lg 3.8＋12，即n lg 2≥0.6＋12， 解得n≥eq \f(12.6,0.3)＝42，所以至少对折的次数n是42，故选：C.] [当堂达标] 1．若等比数列的首项为eq \f(9,8) ，末项为eq \f(1,3) ，公比为eq \f(2,3) ，则这个数列的项数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：B　[因为eq \f(9,8) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) n－1 ＝eq \f(1,3) ，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) n－1 ＝eq \f(8,27) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) 3 ，所以n＝4.] 2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　) A．a≠1　　　　　 B．a≠0且a≠1 C．a≠0 D．a≠0或a≠1 解析：B　[由a1≠0，q≠0，得，1－a≠0，所以a≠0且a≠1.] 3．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于　________　平方厘米． 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，eq \r(2)为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝aeq \o\al(2,10)＝22×29＝211＝2 048. 答案：2 048 4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 解：依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n.而eq \f(bn,bn－1)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4－n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2. 又b1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－1＝eq \f(1,4)， ∴数列{bn}是首项为eq \f(1,4)，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3. $