1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

§2 等差数列 2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和公式 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第一章 数 列 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课程标准 素养解读 1.探索并掌握等差数列前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 1.经过等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养． 2．通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 高斯(Gauss,1777－1855)，德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献． 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋…＋100＝？　　你准备怎么算呢？ 提示：高斯的算法：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050. [知识梳理] [知识点一]　等差数列的前n项和公式　 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝eq \f(na1＋an,2) Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d 　等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？ [知识点二]　等差数列的前n项和公式与二次函数的关系　 将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2) d整理成关于n的函数可得Sn＝eq \f(d,2) n2＋(a1－eq \f(d,2) )n. [提示]　S3＝eq \f(3a1＋a3,2)＝3a2＝21. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．(　　) (2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和．(　　) (3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(　　) (4)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则数列{an}一定不是等差数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　　) A．72　　　　　　 B．54 C．36 D．18 解析：A　[由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18，所以S8＝eq \f(8a1＋a8,2)＝4(a4＋a5)＝4×18＝72.] 3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝　________　. 解析：S19＝eq \f(19a1＋a19,2)＝eq \f(19×2a10,2)＝190. 答案：190 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝10，S5＝5，求S8. 解：设等差数列{an}的公差为d，由已知得a1＋5d＝10, 5a1＋eq \f(5×4,2) ×d＝5，解得a1＝－5，d＝3， 所以S8＝8×(－5)＋eq \f(8×7,2) ×3＝－40＋84＝44. 等差数列前n项和的有关计算 [例1]　在等差数列{an}中， (1)已知a1＝eq \f(5,6)，an＝－eq \f(3,2)，Sn＝－5，求n和d； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. [解]　(1)由题意得，Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)－\f(3,2))),2)＝－5，解得n＝15. 又a15＝eq \f(5,6)＋(15－1)d＝－eq \f(3,2)，∴d＝－eq \f(1,6).∴n＝15，d＝－eq \f(1,6). (2)由已知得S8＝eq \f(8a1＋a8,2)＝eq \f(84＋a8,2)＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5. a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用． [变式训练] 1．在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17. 解：(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S5＝5a1＋\f(5×4,2)d＝5，,a6＝a1＋5d＝10，))解得a1＝－5，d＝3. ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)S17＝eq \f(17×a1＋a17,2)＝eq \f(17×a3＋a15,2)＝eq \f(17×40,2)＝340. 等差数列前n项和有关的性质问题 [例2]　(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　) A．130　　　　　　 B．170 C．210 D．260 [解析]　利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列． 所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)， 解得S3n＝210. 答案：C (2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于　________　. [解析]　因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝eq \f(S2n＋1,2n＋1)，即132－120＝eq \f(132＋120,2n＋1)，解得n＝10. [答案]　10 (3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(7n,n＋3)，则eq \f(a5,b5)＝　________　. [解析]　eq \f(a5,b5)＝eq \f(\f(a1＋a9,2),\f(b1＋b9,2))＝eq \f(S9,T9)＝eq \f(7×9,9＋3)＝eq \f(21,4). [答案]　eq \f(21,4) [母体变式] 将本例(3)条件变为：an∶bn＝(2n＋1)∶(3n－2)，则eq \f(S9,T9)＝　________　. [解析]　∵{an}，{bn}均为等差数列，则eq \f(S9,T9)＝eq \f(9a5,9b5)＝eq \f(2×5＋1,3×5－2)＝eq \f(11,13). [答案]　eq \f(11,13) 1．等差数列前n项和的有关性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq \f(d,2). (2)若Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1). (4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an). (5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n,n＋1). 2．等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用eq \f(Sn,n)是关于n的一次函数，设eq \f(Sn,n)＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解． [变式训练] 2．(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝(　　) A．18 B．17 C．16 D．15 解析：A　[设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝eq \f(1,4)，a11＋a12＋a13＋a14＝a1＋10d＋a2＋10d＋a3＋10d＋a4＋10d＝S4＋40d＝18.] (2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前10项和为　________　. 解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝eq \f(n3＋2n＋1,2)＝n2＋2n，所以eq \f(Sn,n)＝n＋2，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋eq \f(10×9,2)×1＝75. 答案：75 [当堂达标] 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　) A．49 B．42 C．35 D．28 解析：B　[2a6－a8＝a4＝6，S7＝eq \f(7,2)(a1＋a7)＝7a4＝42.] 2．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝72，a7＝10，则(　　) A．an＝n＋3 B．an＝2n－4 C．Sn＝eq \f(1,2)n2＋eq \f(7,2)n D．Sn＝n2－n 解析：AC　[∵S9＝72，a7＝10， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9a1＋\f(9×8,2)×d＝72,a1＋6d＝10))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝4,d＝1))，∴an＝4＋(n－1)×1＝n＋3，则Sn＝eq \f(n4＋n＋3,2)＝eq \f(1,2)n2＋eq \f(7,2)n.故选AC.] 3．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝　________　. 解析：由2S3＝3S2＋6可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2. 答案：2 4．已知等差数列{an}中，a1＝eq \f(3,2)，d＝－eq \f(1,2)，Sn＝－15，求n及a12. [解]　∵Sn＝n·eq \f(3,2)＋eq \f(nn－1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝eq \f(3,2)＋(12－1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4. $