第1章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

2.2　等差数列的前n项和 1 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和 通项公式的关系（数学抽象、数学运算）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 （数学建模、数学运算）. 课标要求 第一课时　等差数列的前n项和公式 3 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 4 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国 古代皇室建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京 天坛圜丘的地面由扇环的石板铺成（如图），最高一层 的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第 2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈. 【问题】　文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　等差数列的前n项和公式 1. 数列的前n项和 定义：数列{an}中，从第一项a1到第n项an的和称为数列{an}的前n项和. 记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2. 数列的前n项和公式 定义：如果数列{an}的前n项和Sn能用关于项数n的一个式子g（n）来表 示，那么Sn＝g（n）叫作数列{an}的前n项和公式. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用 公式 Sn＝ ⁠ Sn＝ ⁠ 　 na1＋ d　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：（1）等差数列{an}的前n项和公式的推导方法“倒序相加法” 是解决数列求和问题的一种重要方法.主要适用于具有a1＋an＝a2＋an－1 ＝a3＋an－2＝…特征的数列求和；（2）若已知等差数列{an}的首项a1、 末项an及项数n，则用公式Sn＝ 来求和.这里 是a1与an 的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质；（3）公式Sn＝ 中涉及四个量： 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 Sn，n，a1，an；公式Sn＝na1＋ d中也涉及四个量：Sn，n， a1，d.结合等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d，对于等差数列 中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个量就可以求出另外的 两个量. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　数列中an与Sn的关系 　对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝ 　　提醒：在使用an与Sn的关系求an时，要注意验证n＝1时与n≥2时求 得的通项公式是否可以合并. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法. （　√　） （2）若数列{an}的前n项和Sn＝kn（k∈R），则{an}为常数列. （　√　） （3）等差数列的前n项和等于其首项、第n项的等差中项的n倍. （　√　） （4）若数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意的n∈N＋，an＝Sn－Sn－1. （　×　） √ √ √ × 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝ ，S4＝20，则S6＝（　　） A. 16 B. 24 C. 36 D. 48 解析： 　设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋ d＝20，即4× ＋ d＝20，解得d＝3，∴S6＝6× ＋ ×3＝3＋45＝48. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 等差数列{an}中，若a1＝－1，S25＝30，则公差d＝ ⁠. 解析：由S25＝－25＋ ×24×25×d＝30，解得d＝ . 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜等差数列前n项和的基本运算 【例1】　在等差数列{an}中： （1）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； 解： 解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋ d＝10×（－5）＋5×9×3＝85. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解： 由已知得S8＝ ＝ ＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋（8－1）d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 等差数列中基本计算的两个技巧 （1）利用基本量求值 （2）利用等差数列的性质解题 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 在等差数列{an}中： （1）若a1＝1，a4＝7，求S9； 解： 设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2. 故S9＝9a1＋ d＝9＋ ×2＝81. （2）若a3＋a15＝40，求S17； 解： S17＝ ＝ ＝ ＝340. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）若a1＝ ，an＝－ ，Sn＝－5，求n和d. 解： 由题意得，Sn＝ ＝ ＝－5， 解得n＝15. 又a15＝ ＋（15－1）d＝－ ，所以d＝－ ， 所以n＝15，d＝－ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜由数列{an}的前n项和Sn求an 【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋ n，求这个数列的通项公 式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解：根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知 Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1（n≥2，n∈N＋）， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋ n－［（n－1）2＋ （n－1）］＝2n － ， ① 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 当n＝1时，a1＝S1＝12＋ ×1＝ ，也满足①式. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－ ，n∈N＋. ∵an＋1－an＝2（n＋1）－ －（ 2n－ ）＝2， 故数列{an}是以 为首项，2为公差的等差数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 （变条件、变设问）若将本例中前n项和改为Sn＝n2＋ n＋1，求数列 {an}的通项公式. 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（ n2＋ n＋1）－［（n－1）2＋ （n－ 1）＋1］＝2n－ . ① 当n＝1时，a1＝S1＝12＋ ＋1＝ ，不符合①式. ∴an＝ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式an，先由a1＝S1求得a1，再当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an的表达式，最后验证a1是否符合an的表达 式，若符合则统一用一个式子表示，不符合则分段表示. 2. 数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知在数列{an}中，an≠0（n≥1），a1＝ ，前n项和Sn满足an＝ （n≥2，n∈N＋）. （1）求证：数列{ }是等差数列； 解： 证明：因为an＝ （n≥2），所以Sn－Sn－1＝ ，得Sn－ 1－Sn＝2Sn·Sn－1， 又Sn≠0，方程两边同时除以Sn·Sn－1，得 － ＝2（n≥2）， 故数列{ }是等差数列，且首项为2，公差为2. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求数列{an}的通项公式. 解： 由（1）可知 ＝2＋（n－1）2＝2n，所以Sn＝ ，当n＝1 时，a1＝S1＝ ； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝－ . 又n＝1时，a1＝ 不符合上式， 所以an＝ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜等差数列前n项和的实际应用 【例3】　某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一 种，获奖者可以选择 2 000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月 1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为 110元，以后逐天增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？ 解：从12月20日到第二年的1月1日共13天，每天领取的奖品价值是以100 为首项，以10为公差的等差数列，设为{an}，则a1＝100，d＝10，n＝13， ∴共获奖品价值S13＝13×100＋ ×10＝2 080（元）. ∵2 080＞2 000，∴第二种领奖方式获奖者受益更多. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等 差数列. 2. 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模 型，具体解决要注意以下两点： （1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型； （2）深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn或者求项 数n. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2 排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位. 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构 成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差 数列，且S20＝800. 由S20＝20a1＋ ×2＝800，可得a1＝21. 因此，第1排应安排21个座位. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋5n，则公差d＝（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 解析： 　∵a1＝S1＝6，a1＋a2＝S2＝14，∴a2＝8， ∴d＝a2－a1＝2. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 在等差数列{an}中，S10＝120，则a1＋a10＝（　　） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 解析： 　S10＝ ＝5（a1＋a10）＝120，∴a1＋a10＝24. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可 能少，那么剩余钢管的根数为（　　） A. 9 B. 10 C. 19 D. 29 解析： 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最 上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝ .当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19 时，剩余钢管最少，为10根. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an ＝ ⁠. 解析：设{an}的公差为d，则 解得 故an＝2＋（n－1）×2＝2n. 2n　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 当n＝1时，a1＝S1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（－2n2＋3n＋1）－[－2（n－1）2＋3（n－ 1）＋1]＝－4n＋5. 又因为当n＝1时，a1＝2不满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝ （2）数列{an}是否为等差数列？ 解： 由（1）知，当n≥2时，an＋1－an＝－4（n＋1）＋5－（－4n ＋5）＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm＝ （　　） A. 2 300 B. 2 400 C. 2 600 D. 2 500 解析： 　法一　由am＝a1＋（m－1）d，得99＝1＋（m－1）×2，解 得m＝50，所以Sm＝S50＝50×1＋ ×2＝2 500. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 法二　同法一，得m＝50，所以Sm＝S50＝ ＝ ＝ 2 500.故选D. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1＝ （　　） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 解析： 　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋（1－11）d＝ 0＋（－10）×（－2）＝20. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整 数n为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 解析： 　由S13＝ ＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝ 2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋（n－1）×2＝2n－14，由2n－ 14＞0，得n＞7，即使得an＞0的最小正整数n为8. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺， 今一月日织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开 始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天 计算）共织390尺布.记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14＋ a15＋a16＋a17的值为（　　） A. 55 B. 52 C. 39 D. 26 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由题意可知{an}为等差数列，a1＝5，∴S30＝30×5＋ d＝ 390，解得d＝ ，∴a14＋a15＋a16＋a17＝a1＋13d＋a1＋14d＋a1＋15d ＋a1＋16d＝4a1＋58d＝4×5＋58× ＝52. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为（　　） A. 765 B. 665 C. 763 D. 663 解析：B　因为a1＝2，d＝7，2＋（n－1）×7＜100，所以n＜15，所以 n＝14，S14＝14×2＋ ×14×13×7＝665.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＞0，若S9＝S20，则 下列结论中正确的有（　　） A. a15＝0 B. 当且仅当n＝15时，Sn取得最小值 C. a10＋a22＞0 D. 当Sn＞0时，n的最小值为29 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　∵数列{an}是等差数列，且S9＝S20，∴a10＋a11＋…＋a20＝ 11a15＝0，即a15＝0，故选项A正确；∵d＞0，∴当n≤14时，an＜0，当 n≥16时，an＞0，故当n＝14或n＝15时，Sn取得最小值，故选项B错 误；a10＋a22＝2a16＞0，故选项C正确；∵S29＝29a15＝0，故选项D错误. 故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其首项a1 ＝ ，公差d＝ ⁠. 解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6①，S5＝5a1＋ ×5×（5－1）d＝10 ②，由①②联立解得a1＝1，d＝ . 1　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝Sn·Sn＋1，则Sn＝ ⁠ ⁠. 解析：当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以 ＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝ Sn·Sn＋1，所以 － ＝1，即 － ＝－1，所以{ }是以－1为首 项，－1为公差的等差数列，所以 ＝（－1）＋（n－1）·（－1）＝－ n，所以Sn＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 设正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝ （an＋1）2，则数列{an}的通 项公式为 ⁠. 解析：令n＝1，得a1＝S1＝ （a1＋1）2，解得a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ （an＋1）2－ （an－1＋1）2， 即（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0.因为an＞0，所以an＋an－1≠0，于 是有an－an－1＝2.所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， 因此an＝1＋（n－1）×2＝2n－1. an＝2n－1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知数列{an}是等差数列. （1）若a1＝7，a50＝101，求S50； 解： 因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝ ， 可得S50＝ ＝2 700. （2）若a1＝2，a2＝ ，求S10； 解： 因为a1＝2，a2＝ ，所以d＝ .根据公式Sn＝na1＋ d，可得S10＝10×2＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）若a1＝ ，d＝－ ，Sn＝－5，求n. 解： 把a1＝ ，d＝－ ，Sn＝－5代入Sn＝na1＋ d，得－5 ＝ n＋ × . 整理，得n2－7n－60＝0. 解得n＝12或n＝－5（舍去）. 所以n＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. “嫦娥”奔月，举国欢庆.据科学计算，运载“嫦娥”飞船的“长征三 号甲”火箭点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的 时间大约是（　　） A. 10 min B. 13 min C. 15 min D. 20 min 解析： 　由题设条件知，火箭每分钟通过的路程数构成以2为首项，2为 公差的等差数列，设其前n项和为Sn，则Sn＝2n＋ ×2＝n2＋n ＝n（n＋1）＝240，解得n＝15或n＝－16（舍去）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知等差数列的前n项和为Sn，若S13＜0，S12＞0，则下列说 法正确的有（　　） A. a6＜0 B. a7＜0 C. a6＋a7＜0 D. a6＋a7＞0 解析： 　由题知，S13＝13a7＜0，S12＝ ＝6（a6＋a7）＞ 0，所以a7＜0，a6＋a7＞0.故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝a1 ＋a200 ，且A， B，C三点共线（该直线不过点O），则S200＝ ⁠. 解析：A，B，C三点共线⇔a1＋a200＝1，∴S200＝ （a1＋a200）＝ 100. 100　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m，最 远一根电线杆距离电站1 550 m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施 工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m，共竖立多少根电线杆？第一根电 线杆距离电站多少米？ 解：由题意知汽车逐趟（由近及远）往返运输行程组成一个等差数列，记 为{an}， 则an＝1 550×2＝3 100，d＝50×3×2＝300， Sn＝17 500. 由等差数列的通项公式及前n项和公式， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 得 由①得a1＝3 400－300n. 代入②得n（3 400－300n）＋150n（n－1）－17 500＝0， 整理得3n2－65n＋350＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解得n＝10或n＝ （舍去）， 所以a1＝3 400－300×10＝400. 故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30（根），最近的一趟往返行程 400 m， 第一根电线杆距离电站 ×400－100＝100（m）. 所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知数列{an}满足an＝2n－1，在an，an＋1之间插入n个1，构成数列 {bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{bn}的前100项 和为（　　） A. 211 B. 232 C. 247 D. 256 解析： 　依题意，到an为止，新的数列{bn}共有1＋2＋3＋…＋n＝ 项，由于 ＝91，即截止到a13共有91项，故数列{bn}的前100 项和为 ×13＋ ×12＋9＝256.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数f（x）＝ x2＋ x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn） （n∈N＋）均在函数f（x）的图象上，函数g（x）＝ . （1）求数列{an}的通项公式； 解： 因为点（n，Sn）均在函数f（x）的图象上， 所以Sn＝ n2＋ n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n； 当n＝1时，a1＝S1＝1，适合上式，所以an＝n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求g（x）＋g（1－x）的值； 解： 因为g（x）＝ ， 所以g（1－x）＝ ＝ ， 所以g（x）＋g（1－x）＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）令bn＝g（ ）（n∈N＋），求数列{bn}的前200项和T200. 解： 由（1）知an＝n，所以bn＝g（ ）. 所以T200＝b1＋b2＋…＋b200＝g（ ）＋g（ ）＋…＋g（ ），① 又T200＝b200＋b199＋…＋b1＝g（ ）＋g（ ）＋…＋g（ ），② ①＋②，得2T200＝g（ ）＋g（ ）＋g（ ）＋g（ ）＋…＋g （ ）＋g（ ）＝200×1＝200， 所以T200＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $