1.2.1 第2课时 等差数列的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

§2 等差数列 2.1 等差数列的概念及其通项公式 第2课时 等差数列的性质 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第一章 数 列 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课程标准 素养解读 1.掌握等差中项的概念及其应用． 2．掌握等差数列的项与序号的性质． 3．理解等差数列的项的对称性． 4．能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题. 1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的核心素养． 2．通过学习等差中项的概念提升数学运算的核心素养. [情境引入] 请同学们思考以下问题： 若等差数列{an}为1,3,5,7，…，2n－1，则数列{an＋2}，{2an}是等差数列吗？ 提示： {an＋c}，{can}也是等差数列，这是等差数列的一个性质，你还知道等差数列的其他性质吗？ [知识梳理] [知识点一]　等差数列的单调性与图像　 从函数角度研究等差数列的性质与图像 由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些　等间隔的点　，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的　斜率　，即自变量每增加1，函数值增加d. 当　d＞0　时，{an}为　递增数列　，如图(甲)所示． 当　d＜0　时，{an}为　递减数列　，如图(乙)所示． 当　d＝0　时，{an}为　常数列　，如图(丙)所示． 甲　　　　　乙　　　　　　丙 1.(1)等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列，还是递减数列？ (2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？ [提示]　(1)因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列． (2)等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率． [知识点二]　等差中项　 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么　A　叫作　a与b　的等差中项． 如果A是a与b的等差中项，那么A－a＝b－A.所以A＝eq \f(a＋b,2). 2.若数列{an}中，an是an－1和an＋1的等差中项，那么数列{an}是等差数列吗？为什么？ [提示]　是．因为an是an－1和an＋1的等差中项，所以an－1，an，an＋1成等差数列，故an－an－1＝an＋1－an，由等差数列的定义知数列{an}是等差数列． [知识点三]　等差数列的性质　 若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的．(　　) (2)等差数列{an}中，a3＋a4＝a2＋a5.(　　) (3)任何两个数都有等差中项．(　　) (4)已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)(√) 2．已知等差数列{an}的公差为d，若{an}为递增数列，则(　　) A．d＞0　　　　　　 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜0 解析：A　[数列{an}是递增数列，则an＋1－an＝d＞0.故选：A.] 3.eq \r(2) ＋1和eq \r(2) －1的等差中项为　________　. 解析： eq \f(\r(2)＋1＋\r(2)－1,2) ＝eq \r(2) . 答案：eq \r(2) 4．等差数列{an}中，a3＝1，则a2＋a3＋a4＝　________　. 解析：a2＋a3＋a4＝(a2＋a4)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝3. 答案：3 等差数列的单调性与图像 [例1]　已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图像上的两点． (1)求这个数列的通项公式； (2)画出这个数列的图像； (3)判断这个数列的单调性． [解]　(1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图像上的两点，所以a1＝1，a3＝5. 由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1. (2)图像是直线y＝2x－1上一些等间隔的点，如图所示． (3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列． 理解等差数列的通项与一次函数的关系，强化数学的本质，渗透数形结合思想、转化与化归思想及函数与方程思想，解完本例后，要让学生领悟反思这些思想方法，充分挖掘本例的训练价值． [变式训练] 1．已知数列{an}为等差数列，则下面不一定成立的是(　　) A．若a2＞a1，则a3＞a1 B．若a2＞a1，则a3＞a2 C．若a3＞a1，则a2＞a1 D．若a2＞a1，则a1＋a2＞a1 解析：D　[利用等差数列的单调性可得，若a2＞a1，所以公差d＞0，所以等差数列{an}是递增数列，所以a3－a1＝2d＞0，a3－a2＝d＞0成立，∴A，B正确；若a2＞a1，则a1＋a2＞a1不一定成立，例如a1＜0时不一定成立，∴D不一定成立； 若a3＞a1，则a3－a1＝2d＞0，所以a2－a1＝d＞0成立，∴C正确．故选：D.] 等差中项 [例2]　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． [解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝eq \f(－1＋7,2)＝3.又a是－1与3的等差中项， ∴a＝eq \f(－1＋3,2)＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝eq \f(3＋7,2)＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7. 三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝eq \f(a＋c,2)(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如果要证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋). [变式训练] 2．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为　________　，　________　，　________　. 解析：因为8，a,2，b，c是等差数列，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8＋2＝2a，,a＋b＝2×2，,2＋c＝2b.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－1，,c＝－4.)) 答案：5　－1　－4 (2))已知eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，求证：eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)也成等差数列． 证明：因为eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，所以eq \f(2,b)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)， 即2ac＝b(a＋c)．因为eq \f(b＋c,a)＋eq \f(a＋b,c)＝eq \f(cb＋c＋aa＋b,ac) ＝eq \f(c2＋a2＋ba＋c,ac)＝eq \f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq \f(2a＋c2,ba＋c)＝eq \f(2a＋c,b)， 所以eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)成等差数列． 等差数列性质的应用 [例3]　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． [解]　方法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5. 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋； 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－3若an＝13－2n(n∈N＋)． 方法二　设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.① 由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，② 联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N＋；或an＝11－2(n－1)＝13－2n，n∈N＋. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－3若an＝13－2n(n∈N＋)． [母体变式] 在本例中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as? [解]　设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d， an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d， ∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d， ∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as. 等差数列的性质 1．若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2．由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) [变式训练] 3．已知等差数列{an}的公差为d. (1)若a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求d. 解：方法一　(1)化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12. (2)化成a1和d的方程组如下： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＝34，,a1＋da1＋4d＝52，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝16，,d＝－3.))∴d＝3或d＝－3. 方法二　(1)由等差数列的性质知a2＋a24＝a3＋a23， 又a2＋a3＋a23＋a24＝48，∴a3＋a23＝24＝2a13.∴a13＝12. (2)由等差数列的性质知，a2＋a5＝a3＋a4，又a2＋a3＋a4＋a5＝34， ∴a2＋a5＝17.又∵a2a5＝52， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a5＝13))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝13，,a5＝4.))∴d＝eq \f(13－4,5－2) ＝3或d＝eq \f(4－13,5－2) ＝－3. [当堂达标] 1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是(　　) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 解析：D　[(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.] 2．设{an}是等差数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[因{an}是等差数列，若a1＜a2＜a3，可得d＝a2－a1＝a3－a2＞0， 所以数列{an}是递增数列，即充分性成立； 若数列{an}是递增数列，则必有a1＜a2＜a3，即必要性成立， 所以“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件．故选：C.] 3．若3，a，b，c,15成等差数列，则a＋b＋c＝　________　. 解析：由等差数列的对称性知，b是3,15的等差中项且a＋c＝3＋15，∴a＋b＋c＝3＋15＋eq \f(3＋15,2)＝27. 答案：27 4．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231. (1)求该数列中a2的值； (2)求该数列的通项公式an. 解：(1)由等差数列的性质可知，a1＋a3＝2a2，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝21，解得a2＝7. (2)依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a3＝14，,a1a3＝33，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝11，,a3＝3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝3，,a3＝11.)) 所以公差d＝eq \f(3－11,3－1) ＝－4或d＝eq \f(11－3,3－1) ＝4. 所以an＝11＋(n－1)×(－4)＝－4n＋15或an＝3＋(n－1)×4＝4n－1. $